Analiza matematyczna 1 Lista 7 We wzorze Taylora f(x) = ∑ f(k)(a) k

Analiza matematyczna 1
Lista 7
We wzorze Taylora
f (x) =
n−1
X
k=0
wielomian
f (n) (cn )
f (k) (a)
(x − a)k +
(x − a)n
k!
n!
f (k) (a)
k
k=0
k! (x−a)
Pn−1
nazywa się często wielomianem Taylora stopnia n−1
(n)
funkcji f wokół punktu a, a reszta Rn = f n!(cn ) (x − a)n n-tą resztą Taylora tej
P∞ (k)
funkcji wokół a. Szereg k=0 f k!(a) (x − a)k nazywamy szeregiem Taylora funkcji
f wokół a. Szereg Taylora jest równy f (x), gdy lim Rn = 0. Szereg (wielomian)
Taylora wokół 0 nazywa sie niekiedy szeregiem (wielomianem) Maclaurina.
P∞
(1) Uzasadnij, że jeśli f (x) = n=0 an xn , to f jest ∞-różniczkowalna i an =
f (n) (0)
n! ,
czyli jesli funkcja rozwija sie w szereg potęgowy, to jest to jej szereg
Maclaurina.
(2) Z ogólnego wzoru na rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji (1 + x)α , gdzie
|x| < 1 √
i α ∈
/ N, wyprowadź podane na wykładzie rozwinięcia w szeregi
1
1
. Korzystając z tego ostatniego, uzasadnij, że
funkcji: 1 + x, √1+x
, √1−x
2
arc sin x = x +
1 x3
1 · 3 x5
1 · 3 · 5 x7
+
+
+ ...
2 3
2·4 5
2·4·6 7
dla |x| < 1.
(3) Oblicz sume szeregu 1−x2 +x4 −x6 +. . . dla |x| < 1, a następnie uzasadnij,
że
x5
x7
x3
+
−
+ ...
arctg x = x −
3
5
7
1
(4) Znajdź wielomian Maclaurina stopnia
4 funkcji (8 + x) 3 . Zastosuj go do
√
3
obliczenia przybliżonej wartości 9. Szacując resztę ze wzoru Maclaurina,
oblicz dokładność uzyskanego przybliżenia.
(5) Rozwiń każdą z poniższych funkcji w szereg Taylora wokół podanego punktu
i wyznacz zbiór wartości x, dla których ten szereg jest zbieżny:
1
, 1;
x
ex , 2;
sin(x + 1), −1;
1
ln x, 2