wyznaczenie naprężeń monta¯owych dla połączeń skurczowych w

wyznaczenie naprężeń monta¯owych dla połączeń skurczowych w

MECHANICS
Vol. 24 No. 3 2005
MECHANICS Vol. 24 No. 3 2005
Krzysztof MICHALCZYK*
WYZNACZENIE NAPRʯEÑ MONTA¯OWYCH
DLA PO£¥CZEÑ SKURCZOWYCH W STANACH PRZEJŒCIOWYCH**
STRESZCZENIE
W pracy przedstawiono metodê obliczeñ po³¹czeñ skurczowych bazuj¹ca na bilansie cieplnym. Wykazano, ¿e
w pewnych warunkach naprê¿enia w trakcie monta¿u znacznie przewy¿szaj¹ naprê¿enia w po³¹czeniu po zmontowaniu. Zaproponowana metoda obliczeñ z du¿¹ dok³adnoœci¹ okreœla wartoœæ tych naprê¿eñ. Poprawnoœæ rozwa¿añ zweryfikowano analiz¹ numeryczn¹.
S³owa kluczowe: po³¹czenia skurczowe, bilans cieplny, naprê¿enia termiczne
ASSEMBLING STRESSES FOR CONTRACT PRESS-FIT IN TRANSITION CONDITIONS
In this paper the method of calculating contract press-fit, based on thermal balance was presented. It was indicated that in certain conditions, stresses during assembling contract press-fit are much higher than after mounting.
Proposed calculation method determines, with high accuracy the maximum value of these stresses. Correctness of
presented method was verified by numerical analysis.
Keywords: contract press-fit connection, thermal balance, thermal stresses
1. WSTÊP
Obliczenia wytrzyma³oœciowe po³¹czeñ skurczowych prowadzi siê zwykle przy za³o¿eniu ustalonego jednorodnego pola
temperatur w warunkach koñcowych, po powrocie do znamionowej temperatury pracy po³¹czenia. W rzeczywistoœci,
w trakcie monta¿u wystêpuje w obu elementach niestacjonarne, gradientowe pole temperatur, powoduj¹ce powstanie
naprê¿eñ termicznych w ka¿dym z elementów, rzutuj¹ce na
ich wzajemn¹ wspó³pracê. Oprócz zjawisk zwi¹zanych z gradientem pola temperatur, w pewnym momencie wystêpuje
stan quasi-ustalony, charakteryzuj¹cy siê w przybli¿eniu
wyrównaniem temperatur obu cia³ na poziomie wy¿szym ni¿
temperatura pracy ustalonej. W szczególnoœci wykazaæ
wówczas mo¿na, ¿e przy odpowiedniej kombinacji materia³ów czopa i piasty oraz ich stosunków wymiarowych, ciœnienie miêdzy nimi osi¹gnie wy¿sz¹ wartoœæ, ni¿ okreœla to tra-
dycyjna metoda obliczeniowa tego typu po³¹czeñ. W przypadku po³¹czeñ silnie obci¹¿onych, w których zak³ada siê, ¿e
naprê¿enia po zmontowaniu bliskie s¹ granicy plastycznoœci, w trakcie monta¿u mo¿e dojœæ do miejscowego uplastycznienia materia³u, a w rezultacie czêœciowej relaksacji
naprê¿eñ i zmniejszenia obci¹¿alnoœci z³¹cza b¹dŸ te¿ pêkniêcia dla materia³ów kruchych.
Za przyk³ad do analizy wybrano po³¹czenie skurczowe
¿eliwnej piasty ze stalowym czopem (rys. 1) ze wzglêdu na to,
¿e œredni wspó³czynnik rozszerzalnoœci liniowej dla ¿eliwa
jest prawie dwukrotnie ni¿szy ni¿ dla stali.
Dane materia³owe:
Modu³ Younga: E1 = 2,05·105 MPa, E2 = 1·105 MPa.
Liczba Poissona: ν1 = 0,3,
ν2 = 0,25.
Wspó³czynnik przewodzenia ciep³a:
λ1 = 0,04 W/(mm·K), λ2 = 0,05 W/(mm·K).
Ciep³o w³aœciwe: c1 = 480 J/(kg·K),
Gêstoœæ:
ρ1 = 7830 kg/m3,
c2 = 540 J/(kg·K).
ρ2 = 7250 kg/m3.
Wspó³czynnik rozszerzalnoœci liniowej:
α1 = 16·10–6 K–1, α2 = 9·10–6 K–1.
Temperatura pocz¹tkowa piasty: T20 = 673 K, temperatura
pocz¹tkowa czopa: T10 = 293 K.
2. NAPRʯENIA W PO£¥CZENIU
W STANIE USTALONYM (METODA TRADYCYJNA)
Obliczenie wspó³czynników wydr¹¿enia:
Rys. 1. Szkic po³¹czenia: b mm; dw mm; ds mm; D mm
*
**
x1 =
dw
d
; x2 = s .
ds
D
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie, Zak³ad Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn
Pracê zrealizowano w ramach dzia³alnoœci statutowej nr 11.11.130.961
205
Krzysztof MICHALCZYK
WYZNACZENIE NAPRʯEÑ MONTA¯OWYCH DLA PO£¥CZEÑ SKURCZOWYCH ...
Ciœnienie po z³¹czeniu elementów wyniesie [1]
p=
Wnom − ( Rz1 + Rz 2 ) + (α1ΔT1 − α 2 Δ T2 ) d s
k −ν
k + ν2
2 rs ( 1 1 + 2
)
E1
E2
(1)
W warunkach rzeczywistych równoczeœnie zachodzi zjawisko wyrównywania temperatur obu cia³ i utrata ciep³a do otoczenia. Szczególnie niekorzystnym przypadkiem jest sytuacja, w której wyrównywanie temperatur obu cia³ zachodzi
przy pomijalnych stratach ciep³a do otoczenia. Wówczas bilans energetyczny uk³adu zapisaæ mo¿na w postaci:
gdzie:
k1 =
k2 =
1 + x12
,
1 + x22
.
1 − x12
1 − x22
3. MAKSYMALNE NAPRʯENIA MONTA¯OWE
DLA PRZYPADKU
POMIJALNIE MA£EJ UTRATY CIEP£A
DO OTOCZENIA, DO CZASU WYRÓWNANIA SIÊ
TEMPERATUR OBU CIA£
T1m1c1 + T2 m2c2 = Tk ( m1c1 + m2 c2 ) ,
Dla uproszczenia przyjmujemy, ¿e powierzchnie styku s¹
idealnie g³adkie
Tk =
T1m1c1 + T2 m2 c2
,
m 1 c1 + m2 c2
gdzie:
Rz1 = Rz 2 = 0 μm.
m1 = ρ1 A1b; m2 = ρ2 A2 b,
Zak³adamy równie¿, ¿e w pierwszej chwili monta¿u œrednice styku obu elementów s¹ sobie równe a wiêc wcisk nominalny Wnom = 0 mm.
Wcisk pochodz¹cy od zmian temperatur wyniesie:
(
)
(
)
A1 = π rs 2 − rw2 ; A2 = π R 2 − rs 2 .
St¹d:
Tk = 437 K = 164o C,
(α1ΔT1 − α 2ΔT2 )2rs = 0, 684 mm.
ΔT1 = Tk − T10 = 164 − 20 = 144 K,
Podstawiaj¹c powy¿sze dane do (1) otrzymamy
ΔT2 = Tk − T20 = 164 − 400 = −236 K.
p = 26,615 MPa.
Z teorii Lamego wiadomo, ¿e najwiêksze naprê¿enia radialne wyst¹pi¹ na powierzchniach styku, natomiast najwiêksze
naprê¿enia obwodowe na wewnêtrznych powierzchniach
pierœcieni, zatem:
– naprê¿enia radialne:
σ r1 = σ r 2 = − p = −26, 615 MPa
(2)
σϕ1 = − p(1 + k1 ) = −147,846 MPa
(3)
σϕ2 = p ⋅ k2 = 280, 096 MPa
(4)
– naprê¿enia zredukowane wed³ug hipotezy Hubera-Misesa-Hencky′ego dla wewnêtrznej powierzchni piasty
[3]
1
2
(σr − σϕ )2 + (σϕ − σ z )2 + (σ z − σr )2
σred = 294,31 MPa.
206
(α1ΔT1 − α 2 ΔT2 )2rs = 0,8856 mm.
St¹d:
p = 34,460 MPa,
– naprê¿enia obwodowe:
σred =
Swobodna zmiana œrednicy styku ds (tj. taka, która wyst¹pi³aby pod wp³ywem zmian temperatur obu cia³ przy braku
ich wzajemnego, mechanicznego oddzia³ywania) dla czopa
i piasty pod wp³ywem powy¿szych zmian temperatury wynios³aby
(5)
– naprê¿enia radialne
σ r1 = σ r 2 = − p = −34, 460 MPa,
– naprê¿enia obwodowe:
σϕ1 = p(1 + k1 ) = −191, 4253 MPa,
σϕ2 = p ∗ k 2 = 362, 657 MPa,
– naprê¿enia zredukowane wed³ug hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego dla wewnêtrznej powierzchni piasty
σred = 381, 06 MPa.
MECHANICS Vol. 24 No. 3 2005
Jak widaæ z wymienionych wartoœci, naprê¿enia w elementach ³¹czonych w trakcie monta¿u, przy za³o¿eniu, ¿e pomijalnie ma³a jest wymiana ciep³a uk³adu z otoczeniem do
momentu wyrównania temperatur pomiêdzy czopem i piast¹,
s¹ o oko³o 30% wy¿sze ni¿ po zmontowaniu.
Poniewa¿ proponowany tok obliczeñ stanowi oszacowanie „od góry” naprê¿eñ w okresie przejœciowym (ze wzglêdu
na pominiêcie strat ciep³a do otoczenia), a ponadto zastosowany aparat teorii Lamego nie pozwala na uwzglêdnienie
naprê¿eñ termicznych pochodz¹cych od gradientowego
pola temperatur, weryfikacjê powy¿szej zale¿noœci przeprowadzimy metod¹ elementów skoñczonych.
4. ANALIZA METOD¥ ELEMENTÓW SKOÑCZONYCH
Przed przyst¹pieniem do analizy za³o¿ono, ¿e monta¿ po³¹czenia przebiega w pomieszczeniu zamkniêtym, czynnikiem
ch³odz¹cym – jest powietrze o temperaturze 20oC. Dla takich
warunków mo¿na przyj¹æ orientacyjnie wartoœæ wspó³czynnika wnikania ciep³a
α wnik = 20 W/(m 2 ⋅ K).
Ze wzglêdu na skrócenie czasu obliczeñ zanalizowano
jedn¹ czwart¹ po³¹czenia, uzupe³nion¹ o odpowiednie warunki brzegowe (symetria) (rys. 2).
Analiza po³¹czenia zosta³a przeprowadzona dwuetapowo.
W pierwszym etapie zasymulowano warunki monta¿u
i program wygenerowa³ rozk³ad temperatur w elementach
jako funkcjê czasu. Drugi etap stanowi³ szereg analiz statycznych naprê¿eñ, powsta³ych na skutek gradientów temperatur i ró¿nicy w wartoœciach wspó³czynników rozszerzalnoœci
liniowej.
W analizie termicznej za warunki pocz¹tkowe przyjêto temperatury czopa i piasty ( kolejno 20oC i 400oC), natomiast
obci¹¿eniem by³a konwekcja na zewnêtrznych powierzchniach piasty i czopa.
D³ugoœæ czasu trwania analizy termicznej dobrano wstêpnie na 1800 s, a wartoœæ œredniego kroku czasowego na 20 s.
Wyniki analizy zapisano w osobnym pliku. Nastêpnie przeprowadzono drug¹ analizê, trwaj¹c¹ 600 s o œrednim kroku
czasowym 5 s. Ostatnia analiza trwa³a 200 s, a kroki czasowe
skrócono do 2 s, gdy¿ w tym okresie naprê¿enia powinny
zmieniaæ siê najszybciej. Najwy¿sza, jednorodna temperatura
w ca³ym uk³adzie wyst¹pi³a oko³o 74 sekundy procesu och³adzania i wynios³a, z dok³adnoœci¹ do 1 K, oko³o Tk = 152oC,
co widaæ na wykresie konturowym (rys. 3).
W drugim etapie analizy numerycznej zbadano stan naprê¿eñ zredukowanych (HMH) dla wybranych kroków czasowych.
Celem weryfikacji poprawnoœci wyników zbudowano
nowy model rozwa¿anego po³¹czenia o siatce elementów
skoñczonych dwukrotnie gêstszej w kierunku promieniowym. Model ten przedstawiono na rysunku 4.
Rys. 2. Siatka elementów skoñczonych na modelu po³¹czenia (siatka A)
207
Krzysztof MICHALCZYK
WYZNACZENIE NAPRʯEÑ MONTA¯OWYCH DLA PO£¥CZEÑ SKURCZOWYCH ...
Rys. 3. Rozk³ad temperatur w ³¹czonych elementach po czasie t = 73,63 s, temperatura maksymalna:
Tmax=152,474oC, temperatura minimalna: Tmin=151,521oC
Rys. 4. Zagêszczona siatka elementów skoñczonych na modelu po³¹czenia (siatka B)
208
MECHANICS Vol. 24 No. 3 2005
Naprê¿enia HMH maksymalne
600
naprê¿enia [MPa]
500
400
siatka A
siatka B
300
200
100
0
0
500
1000
1500
2000
czas [s]
Rys. 5. Naprê¿enia maksymalne zredukowane w funkcji czasu
Na modelu tym przeprowadzono analogiczne analizy. Naprê¿enia zredukowane maksymalne w funkcji czasu dla obydwu modeli przedstawiono na rysunku 5.
Na wykresie lini¹ ci¹g³¹ oznaczono wyniki analiz dla modelu o zagêszczonej siatce, a lini¹ przerywan¹ wyniki z analiz
modelu pierwotnego. Rozbie¿noœci w wartoœciach naprê¿eñ
poza pierwszymi kilku sekundami s¹ prawie niezauwa¿alne,
co potwierdza poprawnoœæ wykonania modeli. Ró¿nice wystêpuj¹ce na samym pocz¹tku spowodowane s¹ gwa³townymi zmianami temperatur na gruboœci elementów, a wiêc du¿ymi gradientami. W pierwszych sekundach rzeczywiste
zmiany rozk³adów temperatur zale¿¹ od takich czynników, jak
chropowatoœæ powierzchni, luzu œrednicowego, odchy³ki
walcowoœci i prêdkoœci nasuwania piasty na czop. W rzeczywistoœci zagadnienie nieustalonej wymiany ciep³a na styku
dwóch elementów jest bardzo z³o¿one. W niniejszej pracy
zagadnienia te zostan¹ pominiête i bêd¹ przedmiotem dalszych badañ.
Teza postawiona na pocz¹tku pracy, i¿ dla odpowiedniej
kombinacji materia³ów, w trakcie monta¿u po³¹czenia wciskowego metod¹ skurczow¹ wyst¹pi¹ wy¿sze naprê¿enia ni¿
w po³¹czeniu ju¿ zmontowanym, zosta³a potwierdzona. Co
wiêcej, okaza³o siê, ¿e zaproponowana analityczna metoda
obliczeñ sprawdzaj¹cych stan naprê¿eñ daje wyniki bardzo
zbli¿one do wyników symulacji.
Jak widaæ na rysunku 6, maksymalne naprê¿enia zredukowane wyst¹pi³y na wewnêtrznej powierzchni piasty i osi¹gnê³y wartoœæ σred = 384,17 MPa. Naprê¿enia te s¹ wy¿sze o ponad 30% od obliczonych w punkcie pierwszym i prawie identyczne ( ró¿nica 0,8% ) z obliczonymi w punkcie drugim.
Rys. 6. Rozk³ad naprê¿eñ zredukowanych HMH w po³¹czeniu po czasie 53,63 s
209
Krzysztof MICHALCZYK
WYZNACZENIE NAPRʯEÑ MONTA¯OWYCH DLA PO£¥CZEÑ SKURCZOWYCH ...
Rys. 7. Rozk³ad naprê¿eñ zredukowanych HMH, dla temperatury wynosz¹cej 20oC w ca³ym po³¹czeniu
Na rysunku 7 przedstawiono rozk³ad naprê¿eñ zredukowanych w po³¹czeniu po ca³kowitym ostygniêciu elementów
do 20oC.
Powy¿szy wykres konturowy pokazuje, ¿e nawet po
zmontowaniu naprê¿enia zredukowane mog¹ osi¹gn¹æ wy¿sze wartoœci, ni¿ wynika to z równania (1). Ró¿nica ta spowodowana jest wystêpowaniem tarcia pomiêdzy ³¹czonymi
elementami.
5. PODSUMOWANIE
Projektowanie po³¹czeñ wciskowych obecnie opiera siê na
teorii cylindrów gruboœciennych. Wzory wynikaj¹ce z tej
teorii i bêd¹ce rozwi¹zaniem zagadnienia Lamego pozwalaj¹
znaleŸæ, przy zachowaniu pewnych upraszczaj¹cych za³o¿eñ,
rozk³ady naprê¿eñ pochodz¹cych od zadanego ciœnienia na
powierzchniach cylindrów. W praktyce in¿ynierskiej jednak
nie wszystkie za³o¿enia poczynione przez Lamego mog¹ byæ
spe³nione. W przypadku po³¹czeñ wt³aczanych niespe³nione
s¹ za³o¿enia o niezmiennie pierœcieniowym przekroju czopa
i piasty i pomijalnie ma³ych naprê¿eniach osiowych. Wynika
to z faktu, i¿ w trakcie wt³aczania wystêpuj¹ du¿e naprê¿enia
poosiowe, a rozk³ad odkszta³ceñ promieniowych na d³ugoœci
po³¹czenia równie¿ ulega zmianie. W przypadku po³¹czeñ
skurczowych lub rozprê¿nych i du¿ych stosunków d³ugoœci
do œrednicy po³¹czenia, naprê¿enia poosiowe (w piaœcie rozrywaj¹ce, a w czopie œciskaj¹ce) równie¿ mog¹ osi¹gaæ znacz¹ce wartoœci, z uwagi na wystêpowanie tarcia.
210
W niniejszej pracy udowodniono, ¿e w pewnych przypadkach stosowanie standardowych metod obliczeniowych dla
po³¹czeñ skurczowych przyniesie wyniki obarczone du¿ym
b³êdem. Co wiêcej, b³¹d ten nie zwiêkszy zapasu bezpieczeñstwa, lecz go zmniejszy. Zwa¿ywszy na fakt, ¿e w przedstawionym w artykule przyk³adzie naprê¿enia zredukowane
w trakcie monta¿u okaza³y siê wy¿sze od naprê¿eñ w stanie
ustalonym, uzasadnione jest w pewnych przypadkach obliczanie bilansu cieplnego uk³adu, na podstawie którego mo¿na oszacowaæ „od góry” (z pominiêciem strat ciep³a do otoczenia) maksymalne naprê¿enia powstaj¹ce w ³¹czonych elementach. Szczególnie dotyczy to po³¹czeñ skurczowych
b¹dŸ rozprê¿nych silnie obci¹¿onych.
Literatura
[1] Ryœ J.: Podstawy konstrukcji maszyn. Kraków, Wyd. Polit. Krak.
1999, ISBN 83-7242-057-2
[2] Walczak J.: Wytrzyma³oœæ materia³ów oraz podstawy teorii sprê¿ystoœci i plastycznoœci, t. 2. Warszawa, PWN 1971
[3] Lisowski A., Siemieniec A.: Wytrzyma³oœæ materia³ów – przyk³ady obliczeñ – zadania. Warszawa-Kraków, PWN 1975
[4] Krukowski A., Tutaj J.: Po³¹czenia odkszta³ceniowe. Warszawa,
PWN 1987, ISBN 83-01-07115-X
[5] Pietrzyk W.: Po³¹czenia w konstrukcji maszyn. Poznañ, Wydawnictwo Politechniki Poznañskiej 1985
[6] Ma³y Poradnik Mechanika, t. 1. Warszawa, WNT 1984, ISBN
83-204-0434-7
[7] PN-75/H-84024
[8] Œroda P., Pacyna J.: Analiza naprê¿eñ w koszulkach walców oporowych walcowni blach. Hutnik – Wiadomoœci Hutnicze, 1993