Próbkowanie impulsowe (interpolacja)
Transkrypt
Próbkowanie impulsowe (interpolacja)
Próbkowanie impulsowe (interpolacja) dr hab. inz·. Przemys÷ aw Śliwiński 4 marca 2015 1 Próbkowanie impulsowe (za pomoca¾delty Diraca) Próbkowaniu impulsowemu funkcji ciag÷ ¾ ej (wyznaczeniu jej wartości w punkcie ) odpowiada formalnie operacja splotu z delta¾ Diraca Z 1 f = f (x) (x ) dx = f ( ) : 1 Spróbkować równomiernie (tj. w równoodleg÷ych punktach) funkcje¾ f (x) = sin y 1 x 1.0 0.5 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x -0.5 -1.0 w przedziale T3 ; T4 : 4; 4 z wybranymi odstepami ¾ pomiedzy ¾ próbkami T1 ; T2 ; Uzyskany ciag ¾ wartości funkcji f (n) uz·yć do jej interpolacji za pomoca¾ sumy przesunietych ¾ (i odpowiednio przeskalowanych) funkcji sinc (x) = sin (x) x 1 1 1.0 y 0.8 0.6 0.4 0.2 -30 -20 -10 10 20 30 x -0.2 wykorzystujac ¾ formu÷e¾ (wzór interpolacyjny) f (x) = N X f (xn ) sinc ( x xn ) n= N i dobierajac ¾ w nim liczbe¾ punktów pomiarówych N , ich po÷oz·enie xn , n = 0; : : : ; N , oraz sta÷a¾ , tak aby kaz·dorazowo odpowiada÷y odstepom ¾ T1 ; T2 ; T3 ; T4 . – Przedstawić przebiegi f (x) oraz f (x) oraz b÷ad ¾ interpolacji f (x) f (x). – Zinterpretować wyniki wskazujac ¾ zniekszta÷cenia wynikajace ¾ z: nieskończonego nośnika funkcji interpolujacej ¾ oraz niespe÷ nienia warunków twierdzenia Whittakera-Whittakera-NyquistaKotielnikova-Shannona). Powtórzyć eksperyment dla obcietej ¾ funkcji sinc sinc (x; t) = sinc (x) 1 (jxj < t) i wybranych wartości t = t1 ; t2 ; t3 < 1: Porównać wyniki i sformu÷ować wnioski. 2 2 Próbkowanie impulsowe (za pomoca¾ funkcji prostych) Funkcje¾ (skoku) Heaviside’a de…niujemy (na przyk÷ad) jako 1 0 1 (x) = if if x 0 : x<0 Wykonać powyz·sze zadania odtwarzajac ¾ (interpolujac) ¾ sygna÷funkcja¾okna w (x) = 1 (x) 1 (x 1) y 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 o szerokości dobranej do odstepów ¾ T1 ; T2 ; T3 ; T4 . Porównać z wynikami interpolacji uzyskanymi dla funkcji sinc (x) Sformu÷ ować wnioski. 3 5 x