funkcja niezawodności

ISSN 1733-8670
ZESZYTY NAUKOWE NR 6(78)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
I N Ż Y N I E R I A R U C H U M O R S K I E G O 2 00 5
Krzysztof Kołowrocki, Joanna Soszyńska
Ocena niezawodności i gotowości
portowego elewatora zbożowego
Słowa kluczowe: portowe systemy transportowe, niezawodność, gotowość.
Zaproponowano użycie granicznych funkcji do oceny niezawodności i gotowości systemów oraz zastosowanie procesów Semi-Markova do modelowania ich
procesu eksploatacji. Analizowano też podejście do rozwiązania bardzo ważnego,
praktycznego problemu powiązania niezawodności systemów z ich procesem eksploatacji. Zastosowanie przedstawionej metody omówiono na przykładzie oceny
niezawodności i gotowości portowego systemu transportu zboża.
The Evaluation of Reliability and Availability
of a Port Grain Transportation System
Keywords: port transportation systems, reliability, availability.
The paper proposes the use of the limit reliability functions in the systems’ reliability and availability evaluation and semi-markov processes application for
their operation modelling. The paper offers an approach to the solution of a practically very important problem of linking the systems’ reliability and their operation processes. An application of the proposed method is illustrated in the evaluation of reliability, risk and availability of the port grain transportation system.
Krzysztof Kołowrocki, Joanna Soszyńska
1. Opis działania systemu
Elewator zbożowy jest podstawowym obiektem Bałtyckiego Terminalu
Zbożowego Portu Gdynia przeznaczonym do obsługi eksportu i importu zboża.
Rozwiązania technologiczne elewatora pozwalają na łączenie różnych relacji załadunkowych i wyładunkowych statków, samochodów i wagonów. Jego wydajność w procesie przyjmowania zboża wynosi około 400 ton/godz., a w procesie
wydawania około 360 ton/godz. Cały proces technologiczny sterowany jest elektronicznie. Stanowisko komputerowe dostarcza pełnej wizualnej informacji
o przebiegu strumienia zboża, jego bilansie i stanie pracy urządzenia.
Jedną z podstawowych funkcji elewatora jest załadunek wagonów zbożem.
Załadunek wagonów odbywa się w kolejno po sobie następujących etapach:
 grawitacyjne podanie zboża z miejsca składowania znajdującego się na
8 piętrze elewatora poprzez 45 komór na przenośniki poziome, znajdujące się w suterenie elewatora;
 transport zboża poprzez przenośniki poziome do podnośników kubełkowych pionowych transportujących zboże do rozdzielni głównej, znajdującej się na 9 piętrze elewatora;
 grawitacyjny przesyp zboża przez rozdzielnię główną do wagi, znajdującej się na 6 piętrze elewatora;
 przesyp zważonego zboża przez zespół klap, znajdujących się na 4 piętrze elewatora na przenośniki poziome, znajdujące się na 2 piętrze elewatora;
 przesyp zboża z przenośników poziomych na przenośniki ślimakowe;
 przesyp zboża z przenośników ślimakowych do wagonów kolejowych.
W procesie załadunku wagonów zbożem uczestniczą następujące podsystemy transportowe elewatora (rys. 1): S1  poziome przenośniki taśmowe typu 1,
S2  pionowe podnośniki kubełkowe, S3  poziome przenośniki taśmowe typu 2,
S4  przenośniki ślimakowe oraz rozdzielnia i waga.
2. Identyfikacja parametrów procesu eksploatacji systemu
Biorąc pod uwagę opinię ekspertów w procesie eksploatacji Z(t), t  0 rozpatrywanego systemu zostały wyróżnione 3 stany eksploatacyjne, a mianowicie:
stan 1 – eksploatacja systemu z najwyższą wydajnością, kiedy wszystkie
jego podsystemy S1, S2, S3 i S4 są używane;
stan 2 – eksploatacja systemu z mniejszą wydajnością, kiedy pierwszy
transporter podsystemu S1, pierwszy i drugi podnośnik podsystemu
S2, pierwszy transporter podsystemu S3 oraz pierwszy i drugi transporter podsystemu S4 są używane;
212
Ocena niezawodności i gotowości portowego elewatora zbożowego
stan 3 – eksploatacja systemu z najmniejszą wydajnością, kiedy pierwszy
transporter podsystemu S1, pierwszy podnośnik podsystemu S2,
pierwszy transporter podsystemu S3 oraz pierwszy transporter podsystemu S4 są używane.
Warunkowe dystrybuanty czasów θbl przebywania procesu Z(t) w stanie
eksploatacyjnym zb przy warunku, że następne przejście nastąpi do stanu eksploatacyjnego zl b, l  1,2,3 są dane w postaci następującej macierzy [1]:

0

bl
[ H (t )]   1  e  20t
1  e 12,5t

1  e 2.78t
0
1  e  20t
1  e 5t 

1  e 5t .
0 
Oszacowane przez ekspertów, zdefiniowane w pracy [1], prawdopodobieństwa
przejść pomiędzy stanami eksploatacyjnymi dane są w następującej macierzy:
0.357 0.643
 0
[ p bl ]   0.8
0
0.2 .
0.385 0.615
0 
Tak więc, bezwarunkowe dystrybuanty czasów θb przebywania procesu Z(t)
w stanach eksploatacyjnych zb, określone są wzorami:
H 1 (t )  1  0.357 exp[ 2.78t ]  0.643 exp[ 5t ],
H 2 (t )  1  0.8 exp[ 20t ]  0.2 exp[ 5t ],
H 3 (t )  1  0.385 exp[ 12.5t ]  0.615 exp[ 20t ],
natomiast wartości oczekiwane i wariancje tych zmiennych wynoszą odpowiednio:
M 1  E[ 1 ]  0.357  0.36  0.643  0.2  0.25712 ,
M 2  E[ 2 ]  0.8  0.05  0.2  0.2  0.08,
M 3  E[ 3 ]  0.385  0.08  0.615  0.05  0.06155,
D1  D[ 1 ]  0.357  0.1296  0.643  0.04  0.072,
D 2  D[ 2 ]  0.8  0.0025  0.2  0.04  0.01,
D 3  D[ 3 ]  0.385  0.0064  0.615  0.0025  0.004.
213
Krzysztof Kołowrocki, Joanna Soszyńska
Z układu równań:

0.357 0.643
 0
 1 2 3
1
2
3 
0
0.2 
[ ,  ,  ]  [ ,  ,  ] 0.8

0 
0.385 0.615

 1   2   3  1

otrzymujemy  1  0.3742,  2  0.321,  3  0.3048. Wtedy, niezbędne w dalszych rozważaniach, graniczne wartości prawdopodobieństw chwilowych przebywania procesu Z (t ) w poszczególnych stanach eksploatacyjnych, wynoszą
odpowiednio:
p 1  0.684, p 2  0.1826, p 3  0.1334.
(1)
3. Oszacowanie charakterystyk niezawodności nieodnawialnego
portowego elewatora zbożowego
Ze względu na jakość pracy systemu transportowego wyróżniamy trzy stany niezawodnościowe jego elementów:
stan 2 – zapewniający największą jakość pracy elewatora,
stan 1 – zapewniający gorszą jakość pracy elewatora wymuszoną przez wysypywanie się zboża z taśmy,
stan 0 – powodujący niezdatność elewatora.
W artykule, na podstawie wyników badań [1], oszacowane zostaną funkcje
niezawodności systemu w poszczególnych stanach eksploatacyjnych oraz wyznaczone będą wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania
systemu w podzbiorach stanów niezawodnościowych. Następnie wyznaczona
zostanie bezwarunkowa funkcja niezawodności portowego elewatora zbożowego
oraz jego bezwarunkowe wartości średnie czasów przebywania elewatora w poszczególnych stanach niezawodnościowych. Oszacowana zostanie również funkcja ryzyka systemu, przy założeniu, że stanem krytycznym systemu jest stan 2.
W stanie eksploatacyjnym 1, system jest systemem szeregowym zbudowanym z 4 niejednorodnych podsystemów szeregowo-równoległych.
Podsystem S1 składa się z:
 1 taśmy gumowej, której warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) ] (1) = exp[0.1262t], [R(1,1)(t,2) ] (1) = exp[0.1674t],
 2 bębnów, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach
stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
214
Ocena niezawodności i gotowości portowego elewatora zbożowego
[R(1,2)(t,1) ] (1) = exp[0.044t], [R(1,2)(t,2) ] (1) = exp[0.048t],
 117 rolek nieckowych, których warunkowe funkcje niezawodności
w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,4)(t,1) ] (1) = exp[0.0714t], [R(1,4)(t,2) ] (1) = exp[0.0798t].
Rys. 1. Schemat struktury niezawodnościowej portowego elewatora zbożowego
w stanie eksploatacyjnym 1
Podsystem S2 składa się z:
 1 taśmy, której warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) ] (1) = exp[0.178t], [R(1,1)(t,2) ] (1) = exp[0.182t],
 2 bębnów, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach
stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,2)(t,1) ] (1) = exp[0.0437t], [R(1,2)(t,2) ] (1) = exp[0.0479t],
 740 kubełków, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,3)(t,1) ] (1) = exp[0.1954t], [R(1,3)(t,2) ] (1) = exp[0.2764t].
Podsystem S3 składa się z:
 1 taśmy gumowej, której warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) ] (1) = exp[0.126t], [R(1,1)(t,2) ] (1) = exp[0.167t],
 2 bębnów, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach
stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,2)(t,1) ] (1) = exp[0.0437t], [R(1,2)(t,2) ] (1) = exp[0.0479t],
215
Krzysztof Kołowrocki, Joanna Soszyńska
 117 rolek nieckowych, których warunkowe funkcje niezawodności
w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,3)(t,1) ] (1) = exp[0.0798t], [R(1,3)(t,2) ] (1) = exp[0.0978t],
 19 rolek podtrzymujących, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio
wynoszą:
[R(1,4)(t,1) ] (1) = exp[0.0714t], [R(1,4)(t,2) ] (1) = exp[0.0798t].
Podsystem S4 składa się z 3 przenośników zgrzebłowych (łańcuchowych).
W dwóch przenośnikach podsystemu znajdują się:
 2 koła napędowe, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) ] (1) = exp[0.0798t], [R(1,1)(t,2) ] (1) = exp[0.101t],
 160 ogniw, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach
stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,2)(t,1) ] (1) = exp[0.124t], [R(1,2)(t,2) ] (1) = exp[0.151t],
 80 elementów z funkcjami „niezawodności”:
[R(1,3)(t,1) ] (1) = exp[  1 (1) t], [R(1,3)(t,2) ] (1) = exp[  2 (2) t],
gdzie 1 (1) =  2 (2) = 0.
W trzecim transporterze znajdują się:
 2 koła napędowe, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(2,1)(t,1) ] (1) = exp[0.167t], [R(2,1)(t,2) ] (1) = exp[0.182t],
 240 ogniw, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach
stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(2,2)(t,1) ] (1) = exp[0.208t], [R(2,2)(t,2) ] (1) = exp[0.231t].
Zatem funkcja niezawodności całego systemu, w stanie eksploatacyjnym 1 określona jest wzorem:
R (1) (t , )  [ R (1) (t ,1), R (1) (t ,2)], t  0,
gdzie:
(1)
(1)
(1)
R (1) (t ,1)  R 2,129 (t ,1) R 3,743 (t ,1) R 2,139 (t ,1) R
(1)
3, 242
(t ,1)
= 24 exp[185.9767t ] – 24 exp[330.8617t ] – 12 exp[205.9659t ]
– 12 exp[196.8882t ] + 12 exp[350.8509t ] + 12 exp[341.7732t ]
– 12 exp[196.1677t ] + 12 exp[341.0527t ] + 8 exp[475.7474t ]
216
Ocena niezawodności i gotowości portowego elewatora zbożowego
+ 6 exp[216.8774t ] – 6 exp[361.7624t ] + 6 exp[216.1569t ]
+ 6 exp[207.0792t ] – 6 exp[361.0419t ] – 6 exp[351.9642t ]
– 4 exp[495.7366t ] – 4 exp[486.6589t ] – 4 exp[485.9384t ]
+ 3 exp[371.9534t ] – 3 exp[227.0684t ] + 2 exp[506.6481t ]
+ 2 exp[505.9276t ] + 2 exp[496.8499t ] – exp[516.8391t ], (2)
)
)
(t ,2) R 3(1, )743 (t ,2) R (21,139
(t ,2) R 3(1, )242 (t ,2)
R (1) (t ,2)  R (21,129
= 24 exp[254.8318t ] – 24 exp[459.6768t ] – 12 exp[279.177t ]
– 12 exp[268.0507t ] + 12 exp[484.022t ] + 12 exp[472.8957t ]
– 12 exp[267.2545t ] + 12 exp[472.0995t ] + 8 exp[664.5218t ]
+ 6 exp[292.3959t ] – 6 exp[497.2409t ] – 6 exp[496.4447t ]
+ 6 exp[291.5997t ] + 6 exp[280.4734t ] – 6 exp[485.3184t ]
– 4 exp[688.867t ] – 4 exp[677.740t ] – 4 exp[676.9445t ]
+ 3 exp[509.6636t ] – 3 exp[304.8186t ] + 2 exp[702.0859t ]
+ 2 exp[701.2897t ] + 2 exp[690.1634t ] – exp[714.5086t ] (3)
natomiast wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania systemu w podzbiorach stanów wynoszą odpowiednio:
M (1) (1)  0.01197 , M (1) (2)  0.0086,
(4)
 (1)  0.0073,  (2)  0.0052 .
(5)
(1)
(1)
W stanie eksploatacyjnym 2, system jest systemem szeregowym zbudowany z 2 niejednorodnych podsystemów szeregowych i 2 niejednorodnych podsystemów szeregowo-równoległych. Przy założeniu, że funkcje niezawodności
elementów tych podsystemów są takie same jak w stanie eksploatacyjnym 1,
funkcja niezawodności całego systemu jest określona wzorem:
R ( 2) (t , )  [ R ( 2 ) (t ,1), R ( 2 ) (t ,2)], t  0,
gdzie:
)
)
)
)
(t ,1) R 1(,2139
(t ,1)
(t ,1) R (22, 743
(t ,1) R (22, 242
R ( 2) (t ,1) = R 1(,2129
= 4 exp[185.9945t ] – 2 exp[206.0015t ]
– 2 exp[330.8795t ] + exp[350.8865t ]
(6)
( 2)
)
)
)
(t , 2 )
R ( 2 ) (t ,2) = R 1(,2129
(t,2) R 2, 743 (t ,2) R 1(,2139
(t,2) R (22, 242
= 4 exp[254.8676t ] – 2 exp[279.2486t ]
– 2 exp[459.711t ] + exp[484.092t ] ,
(7)
217
Krzysztof Kołowrocki, Joanna Soszyńska
natomiast wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania systemu w podzbiorach stanów wynoszą odpowiednio:
M ( 2 ) (1)  0.0086 , M ( 2 ) (2)  0.0062,

( 2)
(1)  0.0065, 
( 2)
(8)
(2)  0.0048 .
(9)
W stanie eksploatacyjnym 3, system jest systemem szeregowym zbudowanym z 4 niejednorodnych podsystemów szeregowych. Przy założeniu, że funkcje
niezawodności elementów tych podsystemów są takie same jak w stanie eksploatacyjnym 1, funkcja niezawodności całego systemu określona jest wzorem:
R ( 3) (t , )  [ R (3) (t ,1), R (3) (t ,2)], t  0 ,
gdzie:
)
)
)
)
(t ,1) R 1(,3743
(t ,1) R 1(,3242
R ( 3) (t ,1) = R 1( ,3129
(t ,1) R 1( ,3139
(t ,1)  exp[185.9545t ] ,
)
)
)
)
(t ,2) R 1(,3139
(t ,2)  exp[254.8676t ] ,
R ( 3) (t ,2) = R 1(,3129
(t,2) R 1( ,3743
(t,2) R 1( ,3242
(10)
(11)
natomiast wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania systemu w podzbiorach stanów wynoszą odpowiednio:
M ( 3) (1)  0.0054, M ( 3) (2)  0.0039,
(12)
 (1)  0.0054  (2)  0.0039.
(13)
( 3)
(3)
Ostatecznie więc [1] bezwarunkowa funkcja niezawodności portowego elewatora zbożowego ma postać:
R (t , ) = [1, R (t ,1), R (t ,1)], gdzie
R (t ,1)  0.684  R (t ,1) + 0.1826  R
(14)
(t ,1) + 0.1334  R (t ,1),
R (t ,2)  0.684  R (t ,2) + 0.1826  R (t ,2) + 0.1334 R ( 3) (t ,2),
(1)
(1)
( 2)
( 2)
( 3)
(15)
(16)
oraz R (1) (t ,1), R ( 2) (t,1), R (3) (t ,1) i R (1) (t ,2), R ( 2 ) (t ,2), R ( 3) (t ,2) są odpowiednio określone przez wzory (2), (6), (10) i przez (3), (7), (11).
Uwzględniając natomiast wzory (4), (5), (8), (9) oraz (12) i (13), otrzymujemy bezwarunkowe wartości średnie i odchylenia standardowe czasów przebywania elewatora w podzbiorach stanów niezawodnościowych:
(17)
(1)  0.684  0.01197  0.1826  0.0086  0.1334  0.0054  0.0104782
2
2
2
2
 (1)  0.684  (0.0073)  0.1826  (0.0065)  0.1334  (0.0054)  0.000048
218
Ocena niezawodności i gotowości portowego elewatora zbożowego
 (1)  0.000048  0.0069321,
(18)
(19)
(2)  0.684  0.0086  0.1826  0.0062  0.1334  0.0039  0.0075347
 2 (2)  0.684  (0.0052) 2  0.1826  (0.0048) 2  0.1334  (0.0039) 2  0.0000247
 (2)  0.0000247  0.004973.
(20)
Następnie [1], bezwarunkowe wartości średnie czasów przebywania elewatora
w poszczególnych stanach niezawodnościowych wynoszą:
̂ (1)  (1)  (2)  0.0029435 , ˆ (2)   (2)  0.0075347 .
(21)
Jeśli krytycznym stanem niezawodnościowym jest r = 2, to jego funkcja ryzyka
przyjmuje postać r(t)  1  R (t ,2) , gdzie R (t ,2) określona jest wzorem (16).
Stąd, chwila kiedy ryzyko przekroczy poziom krytyczny  = 0.05 jest
 = r1()  0.00106 lat.
4. Oszacowanie charakterystyk gotowości odnawialnego portowego
elewatora zbożowego
Na podstawie danych uzyskanych od ekspertów ustalono, że czas odnowy
systemu jest niepomijalny, natomiast jego przybliżone wartości średnie wynoszą
odpowiednio  0 (1)  0.005,  0 (2)  0.005, natomiast ich odchylenia standardowe  0 (1)  0.005,  0 (2)  0.005.
Zatem dla ustalonego niezawodnościowego stanu krytycznego r  2 , mamy [1]:

 czas S N (2) do N-tej odnowy systemu, dla dostatecznie dużego N, ma
w przybliżeniu rozkład normalny N (0.0125347 N ,0.0070498 N ), tzn.
dla N  1,2,... , mamy:
 (N)

t  0.0125347 N
F (t ,2)  P( S N (2)  t )  FN ( 0,1) (
),
0.0070498 N

 wartość oczekiwana i wariancja czasu S N (2) do N-tej odnowy systemu, dla dostatecznie dużego N, w przybliżeniu odpowiednio wynoszą:


E[S N (2)]  0.0125347 N , D[S N (2)]  0.0000496 N ,

 czas S N (2) do N-tego przekroczenia niezawodnościowego stanu krytycznego systemu, dla dostatecznie dużego N, ma w przybliżeniu postać:
t  0.0125347 N  0.005
),
F ( N ) (t ,2)  P(S N (2)  t )  FN ( 0,1) (
0.0000496 N  0.000025
219
Krzysztof Kołowrocki, Joanna Soszyńska

 wartość oczekiwana i wariancja czas S N (2) do N-tego przekroczenia
niezawodnościowego stanu krytycznego systemu, dla dostatecznie dużego N, w przybliżeniu odpowiednio wynoszą:

E[S N (2)]  0.0075347 N  ( N  1)0.005,

D[S N (2)]  0.0000247 N  ( N  1)0.000025,

 rozkład liczby N (t ,2) odnów systemu do chwili t , t  0, dla dostatecznie dużego t , jest w przybliżeniu postaci:

P ( N (t ,2)  N )  FN ( 0,1) (
0.0125347 N  t
)
0.0070498 79.778535t
0.0125347 ( N  1)  t
 FN ( 0,1) (
),
0.0070498 79.778535t

 wartość oczekiwana i wariancja liczby N (t ,2) odnów systemu do chwili
t , t  0, dla dostatecznie dużego t , w przybliżeniu odpowiednio wynoszą:


H (t ,2)  79.778535t , D(t ,2)  25.235654 t ,

 rozkład liczby N (t ,2) przekroczeń niezawodnościowego stanu krytycznego systemu, dla dostatecznie dużego t , t  0, jest w przybliżeniu postaci:
0.0125347 N  t  0.005
P ( N (t ,2)  N )  FN ( 0,1) (
)
0.0070498 79.778535 (t  0.005)
 FN ( 0,1) (
0.0125347 ( N  1)  t  0.005
0.0070498 79.778535 (t  0.005)
),

 wartość oczekiwana i liczby N (t ,2) przekroczeń niezawodnościowego
stanu krytycznego systemu, dla dostatecznie dużego t , t  0, odpowiednio wynoszą:
H (t ,2)  79.778535 (t  0.005), D (t ,2)  25.235654 (t  0.005),
 asymptotyczna wartość współczynnika gotowości, dla dostatecznie dużego t , wynosi:
K (t ,2) 
220
0.0075347
 0.6011073,
0.0075347  0.005
Ocena niezawodności i gotowości portowego elewatora zbożowego
 współczynnik gotowości systemu w przedziale  t , t   ),   0, dla dostatecznie dużego t , wynosi:

K (t ,  ,2)  79.778535  R (t ,2)dt, gdzie R (t ,2) określone jest wzorem (16).

Literatura
1. Kołowrocki K. et al., Asymptotic approach to reliability analysis and optymisation of complex transport system. Project founded by the Polish Committee for Scientific Research, Gdynia 2002.
2. Grabski F., Semi-Markov Models of Systems Reliability and Operations. Systems Research Institute, Polish Academy of Sciences, Warsaw 2002.
3. Kołowrocki K., Reliability of large Systems. Elsevier. Amsterdam-BostonHeidelberg-London-New York-Oxford-Paris-San Diego-San FranciscoSingapore-Sydney-Tokyo 2004.
4. Kołowrocki K., Asymptotic Approach to System Reliability Analysis. Monograph, System Research Institute, Polish Academy of Sciences, Warsaw
2001.
Recenzenci
dr hab. inż. Roman Śmierzchalski, prof. AM w Gdyni
prof. dr hab. inż. Krzysztof Chwesiuk
Adres Autorów
prof. dr hab. Krzysztof Kołowrocki 1
mgr Joanna Soszyńska 2
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Matematyki
ul. Morska 81-87
81-225 Gdynia
1
2
[email protected]
[email protected]
221