Matematyka ubezpieczeń majątkowych

 13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech T
T 0 gdy
T 1 T 2 T !
j
Pr T j 0
0.1
1
0.3
2
0.3
3
0.2
4
0.1
Niech nt "
t. Mamy dane na ten temat z
roku t 0 oraz kilku lat poprzednich:
t
t0
500
nt
t0 1
500
t0 2
400
t0 3
300
t0 4
200
Oznaczmy przez A
#
# t 0 4 do t 0 $
t 0 .
" E T A wynosi:
(A)
1.340
(B)
1.411
(C)
1.625
(D)
1.770
(E)
1.900
1
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
%"
&
z
'
0.3
Y
F "
minm : F m 1 10 ,
"
E Y 5
(
")*
!
+"
#
c 10 . „Doubezpieczenie” po
(ewentualnej) i-tej szkodzie o warto Yi )pro rata
capita*
c Yi .
Parametr c
,-."
#
/,--
#
c wynosi:
(A)
15.0%
(B)
16.4%
(C)
18.0%
(D)
19.5%
(E)
20.7%
2
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
"
Y
'
f Y y y 1e y ,
6 ; 2
"
"'
E Y EY !'
(A)
0.48
(B)
0.61
(C)
0.74
(D)
0.87
(E)
1.00
3
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
%"
&
1
3
danym na przedziale 0, 10 '
2
fY y 10 y .
100
Ubezpieczyciel pokrywa pierwsz
!
/0X
"'
0
gdy N 0
X Y1
gdy N 1
N
Y 1 i 2 Yi 1 gdy N 1
1
#
i
")2*
( E X wynosi:
(A)
1.111
(B)
1.066
(C)
1.009
(D)
0.952
(E)
0.909
4
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
%"
'
X Y1 YN N 0 ).
& zmienna X&
E N szkody E Y e .
1 #
'
f 5 e 5 .
"a E Y N 1 wynosi:
(A)
1
exp 3
(B)
6
7
(C)
1
exp 4
(D)
1
exp 5
(E)
5
6
2
5
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
%"
2S równa jest sumie S1 S 2 #
"
#
2
3"
N 1 2#
1
100,
#
-stwem 0.2).
5
3"
N 2 2 !
ujemny dwumianowy o parametrach r, q .
2##
Yi nymi zmiennymi
4 E Y i
4 VARY 2#
!
N 1 i N 2 .
0 E S1 E S 2 VARS E N 1 N 2 E Y 2 , to parametr q
N 2 wynosi:
(A)
1
2
(B)
1
3
(C)
1
4
(D)
1
5
(E)
1
6
6
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
1
"
'
S Y1 YN ,
&
ynczej szkody Y
F F 0 0
E S Niech M minm : F m 1 ywanych
ryzyk.
5c#"'
M c E S S nie przekroczy 10%:
VARS 10%
E S 1$c*
c
(A)
c* 0.1
(B)
c* 0.1
(C)
c* 0.1 0.1
(D)
c* 0.01
(E)
c* 0 dodatni limit c# VARS 10% E S 7
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech S"
2X
"
5
dodatkowego ryzyka do podstawowego portfela ryzyk,S oraz X
Oznaczmy przez:
S2 oraz S S
X2 oraz X zmiennej X
S2 X oraz S X S X
& S 0
1$G
'
S X X G ,
S S
X X G
S S
"–
S X S zachodzi:
S
X
X X
S S
0
lim
X
S
(A)
G0
(B)
G
(C)
G 1
(D)
G
(E)
G2
G
1
2
3
2
8
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
5
'
U n u c n S n , n 0,1,2,...
gdzie S n W1 W2 ... Wn ##
normalnym.
6'
Wi ~ N , 2 , 2 0
u dodatni c ,
N
#
# U n 0 ( N n
!
Niech oznacza standardowe górne oszacowanie (Lundberga) dla
4
1
'
proces U nX X, o parametrach u X , c X , X , X2 ,
proces U nY
i ubezpieczyciela Y, o parametrach u
Y
, cY , Y , Y2 ;
U oraz U 5
X oraz Y2S, co da w
rezultacie #'
u S , c S , S , S2 u X u Y , c X cY , X Y , X2 Y2 .
Niech teraz X , Y oraz S 7!4
#'
ubezpieczyciela X, ubezpieczyciela YS.
X
n
Y
n
8"'
S X Y
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy:
(A)
nigdy nie zachodzi
(B)
u X u Y c X X cY Y
2 2 2
Y2
Y X
X
0
(C)
u X u Y c X X cY Y
2 2 2
Y2
X Y X
0
(D)
u X uY c X X cY Y
X
Y
X
Y 0
(E)
u X uY c X X cY Y
X
Y
X
Y 0
9
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
5
Y
#
#
"
'
1
f Y x 5 exp 5 x 17 exp 17 x 2
5
9
&
, a
6 11 oczekiwany przyrost
17
"
c E Y .
11
adjustment coefficient) R wynosi:
(A)
1
(B)
2
(C)
4
(D)
7
(E)
15
10
13.10.2001 r.
___________________________________________________________________________
Matematy !
Arkusz odpowiedzi*
3
................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ...............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
:$
A
C
A
B
B
E
D
D
C
B
Punktacja
Arkuszu odpowiedzi.
11