Pochodna i granica funkcji

Pochodna i granica funkcji
Zadanie 1.
Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie x0 . Oblicz z definicji pochodną funkcji f (x) = 2x + 1 w punkcie
x0 = 2.
Zadanie 2.
Podaj definicję ciągłości funkcji w punkcie x0 . Sprawdź czy funkcja f (x) =
4x + 2,
x2 + 2,
dla x < 0
jest ciągła
dla x ­ 0
w punkcie x0 = 0.
Zadanie 3.
Podaj interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie x0 . Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji
f (x) = x2 − 2x + 1 w punkcie x0 = 21 .
Zadanie 4.
√
Wyznacz pochodną funkcji f (x) = (3x2 − 1)( 3 − x). Z jakich twierdzeń korzystasz?
Zadanie 5.
Zbadaj monotoniczność funkcji f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 27.
Zadanie 6.
Który z prostokątów o obwodzie 20 cm ma największe pole?
Zadanie 7.
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x3 + 3x2 − 9x − 2 w przedziale [−3; 2].
Zadanie 8.
Dana jest pochodna funkcji f : f 0 (x) = −2x2 +16x−14. Zbadaj monotoniczność tej funkcji i określ jej ekstremum.
Zadanie 9.
Oblicz pochodną funkcji f (x) =
x−1
2x+3 .
Z jakich twierdzeń korzystasz?
Zadanie 10.
Napisz równanie stycznej do krzywej y = x2 w danym punkcie x0 = 1.
Zadanie 11.
Jaką funkcję nazywamy ciągłą w punkcie x0 ? Zbadaj ciągłość funkcji f (x) =
x,
x2 − 2x + 2,
dla x ¬ 2
dla x > 2
w punkcie x0 = 2.
Zadanie 12.
Dana jest rodzina funkcji fa (x) =
1
1−x ,
a,
dla x 6= 1
. Wykaż, że żadna funkcja tej rodziny nie jest ciągła
dla x = 1
w punkcie x = 1.
Zadanie 13.
Co to jest granica funkcji w punkcie? Oblicz granicę funkcji f (x) =
Zadanie 14.
Funkcja f (x) =
ax+b
(x−b)(x−4)
x−2
x2 −4
w punkcie x0 = 2.
ma ekstremum y = − 21 dla x = 2. Znajdź a i b.
Zadanie 15.
Naszkicuj wykres funkcji f o następujących własnościach:
a) dziedziną tej funkcji jest zbiór [−4; 7];
b) f (−4) = 21 , f (−1) = f (3) = f (5) = 0,f (1) = −2;
c) zbiorem wartości funkcji jest [−2; 4];
d) funkcja jest rosnąca w przedziałach: (1; 4) oraz (5; 7), a malejąca w przedziałach: (−4; 1) oraz (4; 5).
Zadanie 16.
Naszkicuj wykres funkcji f (x) = 2 − |x|. Opisz jej własności.