Algebra liniowa B2 – lista 1 (wykład 25.02, ćwiczenia 27.02) 0

Algebra liniowa B2 – lista 1 (wykład 25.02, ćwiczenia 27.02)
~0. Niektóre zera na tej liście oznaczają wektor zerowy. Znajdź je wszystkie i dorysuj nad nimi strzałki.
1. Używając jedynie aksjomatów przestrzeni liniowej (i arytmetyki liczb) uzasadnij precyzyjnie, że
5(u + w) + 2w = 7(u + w) + (−2)u.
2. Uzasadnij, że jeśli K jest ciałem, zaś a ∈ K \ {0}, to istnieje jedyne b ∈ K (zwane elementem odwrotnym
do a i oznaczane a−1 lub a1 ), takie że ab = ba = 1. Definujemy xy = x · y1 .
3. Wykaż, że w dowolnym ciele zachodzą tożsamości:
x−y
z
=
x
z
(−1)x = −x
− yz (z 6= 0)
− (−x) = x
(−1)(−1) = 1
(−x)y = −xy
zy+tx
1 1
1
z
t
·
=
(x,
y
=
6
0)
+
=
(x, y 6= 0)
x y
xy
x
y
xy
(x − y)z = xz − yz
x − (y − z) = (x − y) + z
4. Udowodnij, że w przestrzeni liniowej V nad ciałem K zachodzi (dla dowolnych a, b ∈ K, v, w ∈ V ):
−(v − w) = (−v) + w
av = 0 ⇐⇒ (a = 0 ∨ v = 0)
(a − b)v = av − bv
a(−v) = (−a)v = −av
5. Sprawdź starannie, że przestrzeń F (A, R) wszystkich funkcji z A w R jest (z działaniami zdefiniowanymi
na wykładzie) przestrzenią liniową.
6. Podaj przykład trójki V1 , V2 < W , takiej że ani V1 ∪ V2 , ani V1 \V2 nie jest podprzestrzenią W .
7. Znajdź Lin((1, 2, 3)> , (4, 5, 6)> ) w R3 (opisz ten zbiór równaniem).
8. Uzasadnij, że jeśli w układzie v1 , . . . , vn pewne dwa wektory są równe, to układ ten jest lz. Uzasadnij, że
jeśli w układzie v1 , . . . , vn pewien wektor jest równy 0, to układ ten jest lz.
9. Które z następujących zbiorów są podprzestrzeniami przestrzeni:
a) C(R): {f ∈ C(R) : f (7) = 0}, {f ∈ C(R) : f (12) ­ f (−12)}, {f ∈ C(R) : (∀x ∈ R)(f 0 (x) ­ 0)},
{f ∈ C 1 (R) : (∀x ∈ R)(3f 0 (x) + x2 f (x) = 0)};
3
b) c = {(an )∞
n=0 : an ∈ R} wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych: {(an ) : a17 = a100 = 0},
3
{(an ) : (∀n ­ 0)(an+3 = an+1 − 3an )}, {(an ) : a17 + a100 = 0}, {(an ) : a5 + a7 + a15 = 0};
c) R3 : podzbiory określone przez równania: z 2 = x2 +2y 2 , x+y+2z = 0, x2 +y 2 +z 2 = 0, 2x+3y+z = 0;
d) R[X]: wielomiany stopnia 7, {P ∈ R[X] : P 0 (2) = 0}, {P ∈ R[X] : P 00 (−1) + P (4) = 0}, {P ∈ R[X] :
P 00 (2) + P (0)2 = 0},
10. Odwołując się do wiedzy z I semestru opisz wszystkie podprzestrzenie R3 .
11. Uzasadnij lub obal (A, B to dowolne podzbiory dowolnej przestrzeni liniowej):
Lin(A ∪ B) = Lin(A) + Lin(B)
A ⊆ B ⇒ Lin(A) ⊆ Lin(B)
Lin(A ∩ B) = Lin(A) ∩ Lin(B)
Lin(Lin(A)) = Lin(A)
12. Uzasadnij, że jeśli v1 , . . . , vn są lnz, a vn+1 nie jest ich kombinacją liniową, to v1 , . . . , vn , vn+1 są lnz. Czy
jest też odwrotnie?
13. Wskaż możliwie duży liniowo niezależny podzbiór przestrzeni V = {P ∈ R[X] : P 0 (−1) = 0}.
14. W zbiorze A = {(0, 0, 0, 0)> , (1, 0, 1, 0)> , (1, 2, 1, 3)> , (2, 2, 2, 3)> , (0, 0, 0, 1)> } wskaż podzbiór, który jest
bazą Lin(A) (rzecz dzieje się w R4 ).
(
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0
5
15. Znajdź bazę podprzestrzeni R zadanej układem równań:
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0
16. W każdej przestrzeni liniowej, której baza została wskazana na wykładzie, wskaż inną bazę (o ile się da).
Czy istnieje przestrzeń liniowa (nad R), która ma jedyną bazę?
17. Uzasadnij, że jeśli 3-elementowy zbiór {u, v, w} jest bazą V , to również {u + v, u + 2v + w, w} jest bazą V .
18. Uzasadnij, że wielomian o współczynnikach rzeczywistych, który ma przynajmniej jeden niezerowy współczynnik, nie zadaje funkcji zerowej.
19. Niech V = R3 [X], A = {1 + X − X 2 − X 3 , 1 + 2X 2 − 3X 3 , X − 2X 2 + X 3 }. Spróbuj możliwie prosto opisać
Lin(A): podaj warunek, pozwalający łatwo stwierdzić dla danych a, b, c, d, czy wielomian aX 3 +bX 2 +cX+d
należy do Lin(A). Przetestuj swój warunek na wielomianach 5X 3 + 4X − 8, X 2 + 2X − 3.
20. Udowodnij, że B jest bazą przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy jest minimalnym podzbiorem
V liniowo generującym V [tzn. B ⊆ V jest bazą V ⇐⇒ ∀C ⊆ B (Lin(C) = V ) ⇒ (C = B) ].
Wykład (Tomasz Elsner): środa 10–13, s. B
Ćwiczenia (Roman Wencel): piątek 8–10, s. B
Konwersatorium (Tomasz Elsner): środa 13–14, s. B
Konsultacje wykładowcy: poniedziałek 8.45–9.45, środa 9–10
Zasady zaliczenia ćwiczeń
W semestrze odbędą się 2 kolokwia (17.04 oraz 5.06) oraz 12 kartkówek. Każda kartkówka będzie się odbywała
pod koniec ćwiczeń i będzie się składała z dwóch zadań z omawianej na tych ćwiczeniach listy (lub też zadań
bardzo podobnych do zadań z omawianej listy). Z kartkówki można uzyskać maksymalnie 4 pkt., z kolokwium
maksymalnie 30 pkt. Progi na poszczególne oceny są następujące:
3,0 – 45 pkt.
3,5 – 55 pkt.
4,0 – 65 pkt.
4,5 – 75 pkt.
5,0 – 85 pkt.
Studentom, którzy uzyskają przynajmniej 45 pkt. prowadzący ćwiczenia może podnieść ocenę o pół stopnia
biorąc pod uwagę aktywność na zajęciach, systematyczność pracy, czynione postępy w nauce oraz odległość od
progu na wyższą ocenę.
W przypadku nieobecności na kartkówce spowodowanej chorobą (udokumentowaną zwolnieniem lekarskim) progi
na poszczególne oceny zostaną proporcjonalnie obniżone. Zwolnienie należy przedstawić prowadzącemu ćwiczenia najpóźniej tydzień po ustaniu choroby. W przypadku usprawiedliwionej nieobecności na kolokwium decyzję
o sposobie zaliczenia opuszczonego kolokwium podejmuje prowadzący ćwiczenia.
Program wykładu
Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i metod algebry liniowej w przestrzeniach liniowych
(głównie skończonego wymiaru, nad R i C).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie liniowe, liniowa niezależność, baza.
Lemat Steinitza o wymianie, wymiar przestrzeni liniowej, izomorficzność przestrzeni tego samego wymiaru.
Przekształcenia liniowe, jądro, obraz, tw. o indeksie.
Konstrukcje przestrzeni liniowych: suma prosta, przestrzeń dualna, przestrzeń ilorazowa; przestrzeń bidualna.
Układy równań, tw. Kroneckera–Capellego, rząd macierzy, równość rzędu wierszowego i rzędu kolumnowego, Gaussa metoda eliminacji.
Macierz przekształcenia liniowego, składanie i odwracanie przekształceń, rząd iloczynu macierzy.
Wyznacznik i jego własności, minory a rząd macierzy, wzory Cramera.
Podprzestrzenie niezmiennicze, diagonalizacja, tw. Jordana zespolone i rzeczywiste, kompleksyfikacja.
Formy kwadratowe, diagonalizacja metodą Lagrange’a, dodatnia określoność, kryterium Sylvestera, sygnatura.
Przestrzeń euklidesowa, rzut prostopadły, baza ortonormalna, proces Grama–Schmidta.
Kompleksyfikacja iloczynu skalarnego, przestrzeń unitarna; klasyfikacja przekształceń ortogonalnych i unitarnych.
Przekształcenie sprzężone, operator samosprzężony, twierdzenie spektralne.
Diagonalizacja formy kwadratowej w bazie ortonormalnej, rozkład biegunowy.
Objętość i macierz Grama.
Literatura pomocnicza
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A.Kostrikin, Wstęp do algebry, tom I: Podstawy algebry, tom II: Algebra liniowa.
A.Kostrykin, Yu.Manin, Algebra liniowa z geometrią.
skrypt L. Newelskiego, Algebra liniowa II.
Zbiór zadań z algebry, pod red. A. Kostrykina.
A.Mostowski, M.Stark, Algebra liniowa.
A.Mostowski, M.Stark, Elementy algebry wyższej.
A.Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią.
A.Białynicki-Birula, Algebra.
B.Gleichgewicht, Algebra.
G.Banaszak, W.Gajda, Elementy algebry liniowej.
G.Birkhoff, S.MacLane, Przegląd algebry współczesnej.
J.Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk.
skrypt W. Więsława, Algebra geometryczna.