Zagadnienia teoretyczne na egzamin z Analizy

Zagadnienia teoretyczne na egzamin z Analizy Matematycznej 1
grudzień 2014
1. Definicje (sens) sumy, iloczynu, róznicy, inkluzji, iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B.
2. Definicje (sens) kwantyfikatorów.
3. Klasy liczb i ich wzajemne relacje
4. Zbiór liczbowy ograniczony, kraniec i kres zbioru.
5. Reguły zaokrąglania liczb.
6. Wielokrotności i powielokrotności wielkości mianowanych
7. Ciąg liczbowy, ciąg monotoniczny, ciag ograniczony
8. Zbieżność i granica ciągu
9. Twierdzenia o granicach ciągów
10. Pojecie liczby i zmiennej
11. Odwzorowanie, funkcja, funkcja wzajemnie jednoznaczna
12. Klasy funkcji (np. parzyste, okresowe, ograniczone, monotoniczne,...)
13. Własności funkcji elementarnych
14. Granica i ciągłośc funkcji, twierdzenia o granicach i ciągłości funkcji
15. Definicja i sens geometryczny pochodnej funkcji
16. Podstawowe wzory dla pochodnych
17. Pojęcie i sens różniczki funkcji, różniczka zupełna
18. Definicja szeregów Taylora i Maclaurina
19. Reguły de l’Hospitala
20. Pojęcia całki nieoznaczonej i funkcji pierwotnej
21. Podstawowe własności całki nieoznaczonej
22. Uzasadnienie metody całkowania przez podstawienie
23. Uzasadnienie metody całkowania przez części
24. Definicja i sens geometryczny całki oznaczonej
25. Własności całki oznaczonej
26. Brzmienie i sens twierdzenia o wartości średniej
27. Podstawowy wzór rachunku całkowego
28. Pojęcie równania różniczkowego
29. Istota rozwiązania równania o rozdzielonych zmiennych
30. Równanie różniczkowe liniowe (definicja, klasy, sposób rozwiązywania, itp.)
31. Istota metody uzmienniania stałej
32. Pojęcie funkcji wielu zmiennych
33. Granice funkcji wielu zmiennych, granice iterowane
34. Pochodne cząstkowa, pochodne cząstkowe wyższych rzędów
35. Różniczka zupełna funkcji, interpretacja geometryczna
36. Definicja całki wielokrotnej, całki iterowane, interpretacja geometryczna całki podwójnej
37. Metoda zamiany zmiennych w całkach wielokrotnych
38. Definicje, sens geometryczny i wzory definiujące współrzędne biegunowe, cylindryczne i sferyczne.
39. Całka krzywoliniowa I rodzaju
40. Całka krzywoliniowa II rodzaju, w tym zależność od drogi całkowania (związek z różniczką zupełną)
41. Całka powierzchniowa I rodzaju
42. Element skierowany (zorientowany) powierzchni
43. Całka powierzchniowa II rodzaju, strumień pola wektorowego
44. Pole skalarne i wektorowe
45. Operatory nabla ∇ i laplasjan 4
46. Gradient funkcji, jego własności i interpretacja
47. Dywergencji pola wektorowego, jej własności i interpretacjcja
48. Rotacja pola wektorowego, jej własności i interpretacjcja
49. Twierdzenia - Greena, Stokesa, Gaussa-Ostrogradskiego
50. Zastosowanie tych wzorów do wyrażeń z gradientem, dywergencją i rotacją