Fizyka fazy skondensowanej I

Fizyka fazy skondensowanej I
Zadania na konwersatorium lista 1 (5 pa¹dziernika 2016)
1. Pokaza¢, »e:
(a) liczby caªkowite (wª¡czaj¡c zero) tworz¡ grup¦ z dodawaniem jako dziaªaniem grupowym. Co jest elementem jednostkowym?
(b) liczby dodatnie, wymierne tworz¡ grup¦ wzgl¦dem mno»enia.
(c) zbiór wektorów tworzy grup¦ z dodawaniem jako dziaªaniem grupowym.
2. Omówi¢ grup¦ symetrii trójk¡ta równobocznego; ile elementów ma grupa? (odp. 6); znale¹¢
relacje mi¦dzy elementami tej grupy.
3. Omówi¢ grupy symetrii kwadratu i sze±cioboku foremnego.
4. Udowodni¢, »e sie¢ nie mo»e mie¢ symetrii obrotowej, pi¦ciokrotnej. (Rozwa»y¢ najkrótszy
(niezerowy) wektor sieciowy ~a i pokaza¢, »e wektor ~a0 + ~a00 jest krótszy od ~a. ~a0 i ~a00 s¡
wektorami otrzymanymi z ~a przez obrót o k¡t ± 2π
).
5
5. Omówi¢ grup¦ symetrii sze±cianu wymieni¢ elementy tej grupy (grupa zawiera 48 elementów).
6. Skonstruowa¢ komórki Wignera-Seitza dla sieci pªaskich: prostok¡tnej centrowanej (inaczej
rombowej) oraz heksagonalnej.
7. Narysuj dwuwymiarowe komórki Wignera-Seitza dla sieci Bravais'ego zbudowanych na nast¦puj¡cych wektorach
prymitywnych: (a) ~a1 = ax̂ i ~a2 = aŷ , (b) ~a1 = 2ax̂ i ~a2 = aŷ , (c) ~a1 = ax̂
√
1
i ~a2 = 2 a(x̂ + 3ŷ), (d) ~a1 = 3ax̂ i ~a2 = a(x̂ + ŷ).
8. Niech ax̂, aŷ , aẑ b¦d¡ wektorami prymitywnymi sieci prostej regularnej (sc). Poka», »e sie¢
bcc mo»na zbudowa¢ na wektorach prymitywnych ax̂, aŷ , i 12 a(x̂ + ŷ + ẑ) lub na wektorach
1
a(−x̂ + ŷ + ẑ), 12 a(x̂ − ŷ + ẑ) i 21 a(x̂ + ŷ − ẑ), natomiast sie¢ fcc na wektorach prymitywnych
2
1
a(ŷ + ẑ), 12 a(x̂ + ẑ) i 12 a(x̂ + ŷ). Oblicz obj¦to±ci komórek prymitywnych sieci bcc i fcc,
2
zbudowanych na powy»szych wektorach i porównaj je z obj¦to±ci¡ komórki sc.
9. Ile atomów znajduje si¦ w komórce prymitywnej gratu?
10. Podaj liczby koordynacyjne oraz odlegªo±¢ najbli»szych s¡siadów w trójwymiarowych strukturach krystalicznych sieci regularnej centrowanej (fcc i bcc), heksagonalnej g¦sto upakowanej (hcp), diamentu, soli kuchennej i tlenku cynku.
11. W w¦zªach sieci regularnej prostej umieszczono sztywne kule tak, »e a = 2r (kule stykaj¡
si¦). Pokaza¢, »e cz¦±¢ obj¦to±ci komórki elementarnej zaj¦ta przez kule wynosi π6 =0,523.
12. W
√w¦zªach sieci regularnej centrowanej wewn¦trznie (bcc) umieszczono sztywne kule tak, »e
a 3 = 4r (kule le»¡ce na przek¡tnej komórki
elementarnej stykaj¡ si¦). Pokaza¢, »e cz¦±¢
√
π 3
obj¦to±ci komórki zaj¦ta kulami wynosi 8 =0,68.
13. Pokaza¢, »e je±li komórk¦ sieci regularnej
centrowanej powierzchniowo (fcc) wypeªni¢ sztyw√
nymi kulami,
stykaj¡cymi si¦ (a 2 = 4r) to cz¦±¢ obj¦to±ci komórki wypeªniona kulami
√
π 2
wynosi 6 =0,74.
14. Pokaza¢, »e dla struktury heksagonalnej g¦sto upakowanej
c
a
=
q
8
3
=1,633.