Algorytm MES rozwiązania zagadnienia

Algorytm MES rozwiązania
zagadnienia swobodnego skręcania
pręta o dowolnym przekroju
mgr inż. Jakub Lewandowski
Politechnika Wrocławska
Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego
Zakład Wytrzymałości Materiałów
Plan prezentacji
 Założenia i cele
 Podstawy matematyczne
 Algorytm
 Przykłady, weryfikacja
 Literatura
2/10
Założenia i cele
Założenia i cele:
- wyznaczenie sztywności na skręcanie wg teorii skręcania swobodnego
- wyznaczenie rozkładu naprężeń stycznych
- uniwersalność (dowolny przekrój)
- przystępność programu
- kompleksowe rozwiązanie (od generacji siatki po wyniki końcowe)
Ograniczenia:
- przekroje zwarte
- przekroje jednospójne
Zastosowanie:
- projektowanie belek o zwartych przekrojach, obciążonych momentem skręcającym
(dźwigary mostowe, wieńce żelbetowe, …)
3/10
Podstawy matematyczne
Teoria skręcania swobodnego pręta pryzmatycznego

  2G (wewnątrz przekroju)

(na brzegu przekroju)
  0

 M s  2   dA
A

 xz 
4/10


, yz  
y
x
G - moduł Kirchoffa
gdzie  - jednostkowy kąt skręcenia
M s - moment skręcający
K s  GI s 
Ms

 sztywność na skręcanie
Podstawy matematyczne
Funkcjonał i równania MES

1
2
2

 dA  2G   dA  ...



(

)
(

)
x
y


2A
A
  0    2G
Zastosowano trójkątne ES o liniowych funkcjach kształtu:
  L11  L2 2  L33
i  wartości funkcji w wierzchołkach ES
gdzie 
 Li  współrzędne trójkątne
Postać funkcjonału po dyskretyzacji  i przekształceniach:

5/10
1 T
Φ KΦ  f T Φ
2
K ij 
fi 
1
bi b j  ci c j 

4A
2
GA
3
1 
 
Φ   2   wektor wartości węzłowych
 
 3
  0  KΦ  f
Algorytm MES
Mathemtica 10.0
Dane
wejściowe
Obliczenia
Wyniki
6/10
• Zadanie konturu przekroju
• Zadanie oczka siatki
•
•
•
•
Podział na elementy skończone
Wygenerowanie macierzy K i wektora f dla każdego ES
Agregacja K i f
Wstawienie warunków brzegowych do macierzy K. Wyznaczenie Φ=K-1f
• Wyznaczenie naprężeń stycznych
• Wyznaczenie momentu bezwładności na skręcanie
Algorytm
Dane wejściowe
 Zadanie konturu przekroju poprzez podanie listy wierzchołków
 Automatyczna generacja siatki
4 (0, b0)
1 (0,0)
7/10
3 ( a 0, b0)
2 ( a 0,0)
Algorytm
 Wyznaczenie naprężeń w elementach:

1

 c11  c2 2  c33 
y 2 A
 xze 
 yze  

1

 b11  b2 2  b33 
x
2A
 Uśrednione naprężenia w węzłach (pozwala to wygenerować wykres naprężeń):
np. 
i
węzłowe

 el1   el2   el3   el4   el5
5
 Uśredniona wartość  w elementach:
śer 
1   2  3
3
 Sztywność na skręcanie przekroju:
Is  2
8/10
ilość el .

i 1
śer  Ae ,
K s  GI s
τ1
5
τ
τ
3 τ4
τ
2
i
Przykłady, weryfikacja
Wymiary [j]
a 1
r1  1
r2  2
a3
b 1
9/10
Moment bezwładności na skręcanie [j4]
rozw. MES
rozw. ścisłe
0,0216506
0,0216307 (6774 ES)
5,02655
5,02256 (9721 ES)
 0,789
0,788582 (4673 ES)
Literatura
1. Zienkiewicz OC, Taylor RL (2000) The Finite Element Method,
Vol. 1: The Basis
2. Gawęcki A (2003) Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych
3. online coursebook for Advanced Variational Methods In Mechanics,
Department of Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at
Boulder,
www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/AVMM.d/
Program dostępny na stronie:
www.zwm.pwr.wroc.pl/lewandowski/
10/10