gdy wszystko

Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 1
Niech
N
 X i gdy N  0
i N 0  N  N1 ,
N1  
i 1

gdy N  0
 0
gdzie N jest zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym
2
n
1  2
P( N  n)  (n  1)    , gdzie n  0,1,2, ,
 3  3
zaś X 1 , X 2 ,... X n ,... są zmiennymi losowymi niezależnymi od N i od siebie
nawzajem. Zakładamy, że każda że zmiennych X i ma rozkład Bernoulli’ego:
3
1
P( X i  1)  i P( X i  0)  . Wtedy
4
4
 N 
E 1 
 N 0 1
jest równe
(A)
8
3
(B)
4
3
(C)
2
(D)
9
4
(E)
5
3
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 2
Niech X 1 ,..., X 10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
prawdopodobieństwa o gęstości
(1  ) e  ( x  ) /  dla x   ;
f , ( x)  
0 dla x   .

Wyznaczono estymatory największej wiarogodności ˆ, ˆ parametrów  ,  w
sytuacji, gdy oba parametry są nieznane (   0 ). A następnie zbudowano przedział
ufności dla parametru  , w oparciu o estymator ̂ , postaci [cˆ , dˆ ] , taki że
P , (  cˆ )  P , (  dˆ )  0,05 .
Liczba c jest równa
 
(A) c  0,69
(B) c  0,64
(C) c  0,98
(D) c  0,62
(E) c  0,76
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 3
Niech ( X , Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
e  x
gdy x  0 i y  (0;1)
f ( x, y )  
 0 w przeciwnymprzypadku.
Niech Z  X  2Y . Wtedy E ( X | Z  3) jest równa
(A)
2  4e 3
1  e 3
(B)
2  e 2
1  e 2
(C)
2  4e 2
1  e 2
(D)
2  e 3
1  e 3
(E)
2  e 3
1  e 2
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 4
Niech X 1 , X 2 , X 3 , X 4 będzie próbą z rozkładu jednostajnego o gęstości
1

gdy x  (0; )
f  ( x)  

 0 w przeciwnymprzypadku.
Zakładamy, że nieznany parametr  jest zmienną losową o rozkładzie z funkcją
gęstości daną wzorem
 4 4  2
  e
gdy   0
 ( )   3

gdy   0.
 0
Hipotezę H 0 :   3 przy alternatywie H 1 :   3 odrzucamy dla tych wartości
( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) , dla których prawdopodobieństwo a posteriori zbioru  :   3  jest
1
większe niż .
2
Rozmiar tego testu jest równy
(A)
0,003
(B)
0,050
(C)
0,388
(D)
0,274
(E)
0,500
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 5
Załóżmy, że X 1 ,..., X n , są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym,
ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa, mającymi momenty rzędu 1, 2 i 3. Znamy
  E( X i )
 2  Var ( X i ) .
i
Niech f (x) oznacza gęstość rozkładu pojedynczej zmiennej X i . Wiemy, że rozkład
jest symetryczny w tym sensie, że f (  x)  f (  x) dla każdego x .
 X  ...  X n gdy N  n  0
Niech S N   1
,
0
gdy N  0

gdzie N jest zmienną o rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej 1.
Trzeci moment E S N3 jest równy
 
 
(A) E S N3  6 3  6 2
 
(B) E S N3  5 3  6 2
(C) E S N3   5 3  3 2
(D) E S N3    3  6 2
(E) E S N3    3  3 2
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 6
Pan A przeznaczył 6 zł na pewna grę. W pojedynczej kolejce gry pan A wygrywa 1
zł z prawdopodobieństwem 1/3 lub przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem 2/3. Pan
A kończy grę, gdy wszystko przegra lub gdy będzie miał 9 zł.
Prawdopodobieństwo, że pan A wszystko przegra jest równe
(A)
0,88
(B)
0,67
(C)
0,50
(D)
0,97
(E)
0,77
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 7
Rozważmy następujący schemat urnowy:
W każdej z 10 urn znajdują się 2 kule, oznaczone liczbami:




W urnie 1 znajdują się 2 kule oznaczone liczbą 1,
w urnie 2 znajdują się 2 kule oznaczone liczbą 2,
..................................................................
w urnie 10 znajdują się 2 kule oznaczone liczbą 10.
Losujemy kulę z urny 1 i przekładamy ją do urny 2. Następnie (po wymieszaniu kul)
losujemy kulę z urny 2 i przekładamy do urny 3, itd., kulę wylosowaną z urny 9
przekładamy do urny 10, wreszcie losujemy
kulę z urny 10. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że ta ostatnia wylosowana kula ma numer większy niż 6 ?
(A)
54
81
(B)
80
81
(C)
44
81
(D)
72
81
(E)
26
81
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 8
Rozpatrzmy następujący model regresji liniowej bez wyrazu wolnego:
Yi    xi   i
i  1,2,,25 ,
gdzie xi  0 są znanymi liczbami,  jest nieznanym parametrem, zaś  i są błędami
losowymi. Zakładamy, że  i są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
normalnych i
E[ i ]  0 i Var[ i ]  xi2 ,
i  1,2,,25 .
Niech ˆ będzie estymatorem parametru  o następujących własnościach:
25
ˆ jest liniową funkcją obserwacji, tzn. jest postaci ˆ   ciYi ,
i 1
ˆ jest nieobciążony,
ˆ ma najmniejszą wariancję spośród estymatorów liniowych i nieobciążonych.
Wyznaczyć stałą c taką, że spełniony jest warunek
P ˆ    c  0,95 .

(A)
c  1,96
(B)
c

9,8
25
x
i 1
(C)
i
25
x
c  0,392
i 1
(D)
c  0,392
(E)
c
i
1,96
25
x
i 1
i
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 9
Niech Z1 , Z 2 ,, Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi
jednostajnego na przedziale (0,1). Niech Z1:n  minZ1 , Z 2 ,, Z n  .
Wtedy E (Z1  Z 2    Z n | Z1:n  0,5) jest równa
(A)
2n  1
2
(B)
n 1
4
(C)
5n  3
4
(D)
3n  1
4
(E)
n
2
9
z
rozkładu
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Zadanie 10
Z rozkładu normalnego N (  ,  2 ) , gdzie oba parametry są nieznane, wylosowano
niezależnie dwie próbki losowe: X 11, X 12 ,..., X 1n oraz X 21, X 22 ,..., X 2 m . Dla obu
1 n
1 m
i
X
X

 1i
 X 2i oraz wariancje
2
n i 1
m i 1
1 m
1 n
próbkowe: S12   ( X 1i  X 1 ) 2 i S 22   ( X 2i  X 2 ) 2 . Po czym wstępne dane
m i 1
n i 1
zostały zniszczone. Estymator nieobciążony o minimalnej wariancji parametru  jest
równy
próbek wyznaczono średnie: X 1 
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
((m  n  1) / 2)
nS12  mS22
2((m  n) / 2)
(m  n  1)
nS12  mS22
2(m  n) m  n  1
(m  n  1)
mn
nS12  mS22 
( X1  X 2 )2
nm
2(m  n)
(m  n  1)
mn
nS12  mS22 
( X1  X 2 )2
n

m
2(m  n) m  n  1
((m  n  1) / 2)
mn
nS12  mS22 
( X1  X 2 )2
nm
2((m  n) / 2)
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
29.09.2014r.
Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : .......................K L U C Z O D P O W I E D Z I...............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*

Odpowiedź
E
A
C
C
B
A
B
D
D
E
Punktacja
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11