Zadanie 1

Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Urna zawiera 5 kul o numerach: 0, 1, 2, 3, 4. Z urny ciągniemy kulę, zapisujemy
numer i kulę wrzucamy z powrotem do urny. Czynność tę powtarzamy, aż kula z
każdym numerem zostanie wyciągnięta co najmniej raz. Oblicz wartość oczekiwaną
liczby powtórzeń.
(A)
17
(B)
21
(C)
10
(D)
7
(E)
11
5
12
5
12
5
12
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X1, X 2 ,K, X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
jednostajnego na przedziale (0,θ ) , gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem.
Rozważamy estymator Tn parametru θ postaci
Tn = (n + 1) min{ X 1 , X 2 ,K , X n } .
Jeżeli θ = 1 , to dla każdego ε ∈ (0,1) granica lim P( Tn − 1 > ε ) jest równa
n → +∞
(A)
0
(B)
1 − eε −1 + e −ε −1
(C)
1
(D)
1 − eε −1
(E)
1 − eε −1 − e −ε −1
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech X1, X 2 ,K, X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
o wartości oczekiwanej 0 i nieznanej wariancji σ 2 . Rozważamy estymatory
n
odchylenia standardowego σ postaci σ̂ c = c∑ X i . Niech σ̂ c oznacza estymator o
i =1
najmniejszym błędzie średniokwadratowym w klasie rozważanych estymatorów.
Wtedy c jest równe
A)
2 2π
2π + n − 1
(B)
1
n −1
(C)
1
n
(D)
2π
π + 2n − 2
(E)
2π
π + 2n
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech X1, X 2 ,K, X n ,K, I1, I2 ,K, In ,K,N będą niezależnymi zmiennymi losowymi.
Zmienne X1, X 2 ,K, X n ,K mają rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1.
1
Zmienne I1, I2 ,K, In ,K mają rozkład dwupunktowy P ( I i = 1) = 1 − P( I i = 0) = .
2
2
n
⎛ n + 1⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dla
Zmienna N ma rozkład ujemny dwumianowy P( N = n ) = ⎜⎜
⎝ n ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
n = 0,1,2,K .
⎧ 0
⎪
Niech S N = ⎨ N
Ii X i
⎪⎩∑
i =1
gdy N = 0
gdy N > 0
Wtedy współczynnik zmienności
(A)
9
2
(B)
7
2
(C)
13
2
(D)
7
6
(E)
17
2
.
Var (S N )
jest równy
ES N
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładów o gęstościach
⎧32 x 2 e −4 x
gdy x > 0
f X ( x) = ⎨
w przeciwnym przypadku,
⎩ 0
⎧16 xe −4 x
gdy x > 0
f Y ( x) = ⎨
w przeciwnym przypadku.
⎩ 0
Wtedy E ( X − Y | X + Y = s ) jest równa
(A)
0
(B)
1
s
4
(C)
1
s
5
(D)
2
s
5
(E)
3
s
4
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X 1 , X 2 ,..., X 8 będzie próbką z rozkładu prawdopodobieństwa Pareto o
dystrybuancie
1
⎧
⎪⎪1 − xθ dla x ≥ 1;
Fθ ( x) = ⎨
⎪
⎪⎩ 0 dla x < 1,
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem.
Rozpatrzmy zadanie testowania hipotezy H 0 : θ = 4 przeciwko alternatywie
H1 : θ = 2 . Zbudowano taki test, dla którego suma prawdopodobieństw błędów I i II
rodzaju, oznaczanych odpowiednio przez α i β , jest najmniejsza. Oblicz tę
najmniejszą wartość α + β .
(A) 0,2668
(B) 0,3336
(C) 0,8075
(D) 0,1000
(E) 0,3667
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Niech X 1 , X 2 , K, X 10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie o nieznanej medianie m. Budujemy przedział ufności dla parametru m
postaci [ X 3:10 , X 7:10 ] , gdzie X k :10 oznacza k-tą statystykę pozycyjną z próby
X 1 , X 2 , K, X 10 . Prawdopodobieństwo P (m ∈ [ X 3:10 , X 7:10 ]) jest równe
(A)
114
128
(B)
121
128
(C)
99
128
(D)
115
128
(E)
120
128
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Weibulla o gęstości
⎧3θx 2 exp(−θx 3 ) gdy x > 0
,
fθ ( x ) = ⎨
0
gdy
x
0
≤
⎩
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem.
Niestety nie obserwujemy zmiennej X, ale zmienną Y równą X − 1 , gdy X > 1 . W
wyniku tych obserwacji otrzymujemy prostą próbę losową Y1 , Y2 ,K, Y10 (nie wiemy ile
razy pojawiły się wartości zmiennej X z przedziału (0,1] ) i na jej podstawie
wyznaczamy estymator największej wiarogodności θˆ parametru θ .
Dobierz stałą c tak, aby zachodziła równość
Pθ (θ < cθˆ) = 0,95
(A)
6,28
(B)
1,83
(C)
3,14
(D)
1,57
(E)
3,06
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Zmienne losowe X 1 , X 2 , K , X n , K są niezależne o jednakowym rozkładzie
1
P ( X n = 1) = P ( X n = 2) = P ( X n = 3) = P( X n = 4) = .
4
Niech Y0 = 2 oraz niech dla n = 1,2,3, K zachodzi
4
gdy X n = 4
⎧
Yn = ⎨
⎩min(Yn −1 , X n ) gdy X n < 4
Oblicz lim P(Yn ≤ 3)
n → +∞
(A)
1
3
(B)
3
4
(C)
1
4
(D)
1
2
(E)
2
3
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Zakładamy, że zależność czynnika Y od czynnika x (nielosowego) opisuje model
regresji liniowej Yi = β 0 + β1 xi + ε i , gdzie błędy ε i są niezależne i mają rozkłady
normalne o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. Obserwujemy zmienne losowe
Y1 , Y2 ,K , Yn przy danych wartościach x1 , x 2 , K , xn . Test najmocniejszy dla
weryfikacji hipotezy
H 0 : β 0 = 0 i β1 = 1
przy alternatywie
H1 : β 0 = −1 i β1 = 2
na poziomie istotności 0,05 odrzuca hipotezę H 0 , gdy spełniona jest nierówność
n
(A)
∑ (Y − x )( x − 1)
i
i =1
i
i
n
∑ (1 − x )
> 1,645
2
i
i =1
n
(B)
∑ (Y − 1)( x − 1)
i
i =1
i
n
∑ (1 − x )
> 1,645
2
i
i =1
n
(C)
∑ Y ( x − 1)
i
i =1
i
n
∑ (1 − x )
> 1,645
2
i
i =1
n
(D)
∑ (Y − x )(1 − x )
i =1
i
i
i
n
∑ (1 − x )
> 1,645
2
i
i =1
n
(E)
∑ (Y − 1)(1 − x )
i =1
i
i
n
∑ (1 − x )
i =1
> 1,645
2
i
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
20.06.2011 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi *
Imię i nazwisko : .......................K L U C Z O D P O W I E D Z I...............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
E
B
D
C
C
B
C
D
B
A
Punktacja ♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11