Notacja i definicje.

Notacja i definicje.
• Urzadzenie
Sterna-Gerlacha (SG) to uklad dwóch magnesów, które wy֒
twarzaja֒ niejednorodne pole magnetyczne. Przepuszczona przez nie
wiazka
atomów o spinie 21 zostaje rozdzielona na dwie oddzielne wiazki.
֒
֒
Niech ~n oznacza wersor skierowany zgodnie z gradientem pola magnetycznego. Różne wersory ~n daja֒ nam różne aparaty Sterna-Gerlacha
— SG(~n).
Wektor ~n daje nam pojecia
,,góra” — ,,dól”. O atomach odchyanych
֒
przez aparat SG(~n) ,,do góry” mówimy, że sa֒ w stanie ↑~n . Odpowiedno
o atomach odchylanych ,,do dolu”. że sa֒ w stanie ↓~n .
• Aby nie martwić sie֒ o efekty zwiazane
z ruchem czastek
i kierowaniem
֒
֒
strumienia w czasie wykonywania naszych myślowych eksperymentów,
bedziemy
sie֒ czasem poslugiwać wyidealizowanymi urzadzeniami
Sterna֒
֒
Gerlacha: Bierzemy atomy w spoczynku i przepuszczamy je przez takie
urzadzenie.
Po przejściu przez nie otrzymujemy dwie grupy atomów w
֒
spoczynku — odpowiednio w stanach ↑~n i ↓~n .
• Kwantowy opis ukladu:
stan ukladu — unormowane wektory w przestrzeni Hilberta
obserwable — operatory Hermitowskie
wyniki pomiarów — wartości wlasne operatorów
W naszym przypadku, atomy moga֒ znajdować sie֒ w stanie odchylanym ze 100% prawdopopodobieństwem w określonym kierunku przez
pewien aparat SG. Jedyne urzadzenia
pomiarowe jakimi dysponujemy
֒
to aparaty SG, a wynikiem pomiaru może być odchylenie w góre֒ lub w
dól. Stad
nasze urzadzenia
pomia֒ operatory hermitowskie opisujace
֒
֒
rowe musza֒ mieć dwie różne wartości wlasne: +1 — pomiar do góry,
−1 — pomar do dolu. Przestrzeń Hilberta bedzie
2-wymiarowa.
֒
1
stany ukladu
— wektory w przestrzeni
Hilberta
v1
H = {|vi =
: v1 , v2 ∈ C} = C2
v2
z iloczynem skalarnym
(v, w) = hv|wi = v1∗ w1 + v2∗ w2
aparaty pomiarowe — bezśladowe operatory hermitowskie
(suma warości wlasnych równa zero)
Aparatowi SG(~n) odpowiada operator S~n
wyniki pomiarów — Wartości wlasne operatorów +1 i −1 czyli do góry i do dolu
Odpowiednie wektory wlasne:
S~n |↑~n i = |↑~n i
S~n |↓~n i = − |↓~n i
• Fakt W skończeniewymiarowej przestrzeni Hilberta unormowane wektory wasne
stanowia֒ baze֒ ortonormalna.֒
֒
W naszym przypadku. Wybieramy konkretny aparat SG(~n) opisywany
operatorem S~n . Jego wektory wlasne stanowia֒ baze֒ w przestrzeni H:
h↑~n | ↑~n i = h↓~n | ↓~n i = 1
h↓~n | ↑~n i = 0
Dowolny wektor w H możemy zapisać w postaci |vi = α |↑~n i+β| ↓~n i .
Dokonujac
n) otrzymamy
֒ pomiaru na stanie |vi za pomoca֒ aparaty SG(~
jeden z dwóch wyników: +1 czyli czastak
odchyla sie do góry z praw֒
2
dopodobieństwem |α| lub −1 czyli czastka
odchyli sie֒ do dolu z praw֒
dopodobieństwem |β|2.
v1
• Majac
oraz wektor dualny hw| = (w1 w2 ) możemy
֒ wektor |vi =
v2
utworzyć operator
v1 w1 v1 w2
v1
(w1 w2 ) =
|vi hw| =
v2 w1 v2 w2
v2
2
Zadania.
Zadanie 1
Pokazać, że gdy wektor |vi jest unormowany (hv|vi = 1) to operator  =
|vi hv| jest operatorem rzutowym, tzn. takim, że Â2 = Â.
Zadanie 2
Pokazać, że
S~n = |↑~n i h↑~n | − |↓~n i h↓~n |
oraz
id = |↑~n i h↑~n | + |↓~n i h↓~n | .
Zadanie 3
A. Pokazać, że dowolna bezśladowa macierz hermitowska 2 × 2 jest postaci
S~n = n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3
gdzie ni ∈ R dla i = 1, 2, 3, natomiast macierze
0 1
0 1
0 1
σ1 =
, σ1 =
, σ1 =
1 0
1 0
1 0
sa֒ macierzami Pauliego (wektor ~n = (n1 , n2 , n3 ) określa orientacje֒ aparatu
SG).
B. Pokazać, że dowolna֒ macierz hermitowska֒ 2 × 2 można przedstawić w
postaci
σ = n0 σ0 + n1 σ1 + n2 σ2 + n3 σ3
gdzie σ0 jest macierza֒ jednostkowa.֒
Zadanie 4
Znaleźć wartości i unormowane wektory wlasne macierzy Pauliego.
Zadanie 5
Niech czastka
bedzie
w stanie |↑z i. Jakkie jest prawdopodobieństwo, że
֒
֒
czastka
zostanie
odchylona
przez aparat SG(x) w kierunku +, a jakie, że
֒
w kierunku −?
Zadanie 6
Przez aparat SG przepuszczono strumień czastek,
z których cześć
po przejściu
֒
֒
3
przez aparat znalazla sie֒ w stanie
1
|vi = √
5
−i
2
√1
2
1
−1
• Jakie jest prawdopodobieństwo, że czastka
w stanie: (a)
֒
−i
2
√
(b) 5
po przejściu przez aparat znajdzie sie֒ w stanie |vi?
1
,
2
• Znaleźć operator odpowiadajacy
aparatowi z zadania.
֒
Zadanie 7
Dla unormowanego stanu |vi = α |↑z i + β |↓z i oblicz wartości oczekiwane
hσx i, hσy i i hσz i.
Zadanie 8
WYkazać nastepuj
ace
wlasności macierzy pauliego:
֒
֒
• σi σj = δij 1 + iǫijk σk
• [σi , σj ] = 2iǫijk σk
Zadanie 9
Czastka
znajduje sie֒ w stanie |↑x i. Jakie jest prawdopodobieństwo, że apa֒
rat SG o osi ustawionej w kierunku ~n = (0, 1, 0) zarejestruje czastk
e֒ w stanie
֒
|↑y i, a jakie, że czastk
e֒ w stanie |↓y i?
֒
Zadanie 10
Filtr SG SG+,~n definiujemy, jako aparat SG, w którym oś skierowana jest
wzdluż wersora ~n, a wyjście strumienia czastek
w stanie |↓~n i zostalo zablo֒
kowane. Analogicznie definiujemy filtr S−,~n . Strumień czastek
o nateżeniu
I
֒
֒
znajdujacych
si
e
w
stanie
|↑
i
zosta
l
przepuszczony
przez
uk
lad
filtrów
SG:
z
֒
֒
najpierw S+,x , a potem S−,z . Jakie jest nateżenie
strumienia wychodzacego?
֒
֒
4