Wykład 1

J. Szantyr - Wykład 1: Repetytorium z kinematyki i dynamiki
przepływów
Metody opisu ruchu plynu
Podejście Lagrange’a (inaczej metoda wędrowna) polega na
opisywaniu ruchu w przestrzeni pewnej wydzielonej masy płynu
składającej się zawsze z tych samych molekuł.
V - objętość pewnej masy
płynu (objętość płynna)
otoczona powierzchnią S,
która jest nieprzenikliwa
dla elementów płynu
Masa płynu przemieszcza
się od położenia V0 w
chwili t0 do położenia V
w chwili t.
Joseph Lagrange
1736 - 1813
Element płynu P stanowiący część objętości V przemieszcza
zakreślając w przestrzeni tor elementu, który może być opisany
równaniami parametrycznymi z czasem t jako parametrem:
x = x(a, b, c, t )
y = y ( a , b, c , t )
Zmieniając w równaniach wielkości a, b i
c opisujemy coraz to inne elementy płynu
z = z ( a , b, c , t )
Wielkości opisujące ruch płynu są w taki sam sposób zależne od
a, b, c, t:
u = u (a, b, c, t )
p = p(a, b, c, t )
ρ = ρ (a, b, c, t )
gdzie:
u = i u + jv + k w
dx
u=
dt
dy
v=
dt
dz
w=
dt
Metoda Euler’a (metoda lokalna) polega na wybraniu w
przestrzeni nieruchomej objętości kontrolnej V ograniczonej
powierzchnią kontrolną S. Przez tę objętość przepływają kolejno
różne elementy płynu z różnymi wartościami takich wielkości jak
prędkość, ciśnienie, gęstość itd. Przedmiotem opisu są wartości
tych wielkości w wybranych punktach objętości kontrolnej.
u = u ( x, y , z , t )
p = p ( x, y , z , t )
ρ = ρ ( x, y , z , t )
Leonhard Euler
1707 - 1783
gdzie:
u = i u x ( x , y , z , t ) + ju y ( x , y , z , t ) + k u z ( x , y , z , t )
Pochodna materialna (substancjalna)
Pochodna materialna jest szczególną interpretacją pochodnej
funkcji wielu zmiennych, związaną z eulerowskim sposobem opisu
ruchu płynu. Pokazuje ona, w jaki sposób zmienia się w czasie
dowolny parametr charakteryzujący element płynu poruszający się
w polu tego parametru. Wyjaśnimy to na przykładzie dowolnego
parametru skalarnego H, będącego jawną i złożoną funkcją czasu.
Jeżeli H jest funkcja zmiennych Eulera to mamy:
H = H (t , x(t ), y (t ), z (t ))
Zgodnie z definicją różniczki zupełnej funkcji wielu zmiennych mamy:
DH ∂H ∂H dx ∂H dy ∂H dz
=
+
+
+
Dt
∂t
∂x dt ∂y dt ∂z dt
Ale mamy: dx = u
x
dt
dy
= uy
dt
dz
= uz
dt
co prowadzi do:
∂H
∂H
∂H
∂H
DH ∂H ∂H
=
+
ux +
uy +
uz =
+ u • ∇H =
+ u • gradH
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
∂t
Pochodna materialna=pochodna lokalna+pochodna unoszenia
Pochodna lokalna pokazuje zmianę
parametru H w czasie w punkcie (x, y,
z) wynikającą z niestacjonarności pola
H.
Pochodna unoszenia pokazuje zmianę
parametru H w czasie na skutek
przemieszczenia się elementu płynu z
prędkością u z punktu o jednej
wartości H do punktu o innej wartości
H.
Zastosowanie operatora pochodnej materialnej do składowych pola
prędkości pozwala obliczyć przyspieszenie materialne, czyli
przyspieszenie elementu płynu poruszającego się w niestacjonarnym
i niejednorodnym polu prędkości.
Du x ∂u x
∂u x
∂u x
∂u x
=
+ ux
+ uy
+ uz
= ax
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
Du y
Dt
=
∂u y
∂t
+ ux
∂u y
∂x
+ uy
∂u y
∂y
+ uz
∂u y
∂z
= ay
Du z ∂u z
∂u
∂u
∂u
=
+ u x z + u y z + u z z = az
Dt
∂z
∂t
∂x
∂y
lub w zapisie wektorowym:
Du ∂u
∂u
=
+ u • gradu =
+ (u ∇ )u
Dt ∂t
∂t
Linia prądu jest to linia pola wektorowego prędkości, czyli linia
styczna do wektora prędkości w każdym punkcie pola w danej
chwili czasu. Jeżeli ds jest elementem linii prądu, a u – wektorem
prędkości, to mamy:
ds × u = 0 warunek styczności
czyli:
u z dy − u y dz = 0
u x dz − u z dx = 0
u y dx − u x dy = 0
co prowadzi do równania linii prądu:
dx dy dz
=
=
ux u y uz
Na ogół przez każdy punkt pola prędkości przechodzi jedna linia prądu
dająca się wyznaczyć w sposób jednoznaczny. Jeżeli w jakimś punkcie
pola zbiega się więcej linii prądu, to jest to punkt osobliwy. Jeżeli przez
krzywą nie będącą linią prądu poprowadzimy linie prądu, to uzyskamy
powierzchnię prądu. Jeżeli jest to krzywa zamknięta, to uzyskamy
rurkę prądu. Jeżeli przekrój tej rurki jest infinitezymalny, to uzyskamy
włókno prądu. Rurka prądu jest dobrym modelem rurociągu, dla
którego można wyznaczyć:
objętościowe
rurka prądu
Q = ∫ un dS
S
natężenie przepływu:
1
objętościową
~
u = ∫ un dS
SS
prędkość średnią:
masowe natężenie
przepływu:
masową prędkość
średnią:
gdzie:
un
M = ∫ ρun dS
S
∫ ρu dS
n
u~ =
S
∫ ρdS
S
jest składowa prędkości normalną do przekroju rurki S
Tor elementu płynu lub trajektoria jest to miejsce geometryczne
punktów w polu przepływu przez które przechodzi element w
kolejnych chwilach czasu.
Wektorowe równanie toru:
dr
= u (r , t )
dt
W postaci skalarnej:
dx
= u x ( x, y , z , t )
dt
dz
= u z ( x, y , z , t )
dt
dy
= u y ( x, y , z , t )
dt
Rozwiązanie wymaga uwzględnienia
warunków początkowych dla t = t0
x(t ) = x0
y (t ) = y0 z (t ) = z0
W przepływie niestacjonarnym linie prądu, tory elementów płynu
i linie wysnute nie pokrywają się.
Linie prądu – kolor
szary
Tor elementu – kolor
czerwony
Linia wysnuta – kolor
niebieski
Linia wysnuta jest to
ślad ruchu elementu
płynu „znoszony”
przez zmieniające się
pole prędkości.
Ruch ogólny elementu płynu
Ruch ogólny ciała sztywnego można przedstawić jako sumę
przemieszczenia liniowego i obrotu. Ponieważ płyny nie mają
sztywności postaciowej, w ruchu płynu dochodzi dodatkowo do
odkształcenia elementu płynu.
Ruch ogólny elementu płynu można więc
traktować jako superpozycję
przemieszczenia liniowego (translacji),
obrotu względem chwilowego bieguna
oraz odkształcenia (deformacji), które z
kolei można podzielić na liniowe
(objętościowe) i kątowe (postaciowe).
Odkształcenia w przypadku dwuwymiarowym
Prędkość ruchu płynu zapisujemy jako:
u = i u + jv
Do odkształcenia liniowego elementu płynu dochodzi gdy składowa
prędkości u zmienia się w kierunku x i/lub składowa prędkości v
zmienia się w kierunku y (lewa strona rysunku). Prowadzi to do
przyrostu objętości elementu w czasie dt o wartość:
 ∂u ∂v 
 + dxdydt
 ∂x ∂y 
gdzie wielkości w nawiasie są prędkościami
odkształcenia liniowego
∂u
ε xx =
∂x
ε yy
∂v
=
∂y
Do odkształcenia postaciowego elementu płynu dochodzi gdy
składowa prędkości u zmienia się w kierunku y i/lub składowa
prędkości v zmienia się w kierunku x (prawa strona rysunku).
Prowadzi to do obrotu ścianek elementu płynu o kąty:
∂v
dα = dt
∂x
∂u
dβ =
dt
∂y
Miarą prędkości łącznego odkształcenia postaciowego jest
wyrażenie:
1  ∂u ∂v 
ε xy =  + 
2  ∂y ∂x 
Sztywny obrót elementu płynu można traktować jako sumę dwóch
odkształceń postaciowych tak dobranych, że kąty pomiędzy bokami
elementu pozostają proste. Prędkość kątową takiego obrotu można
zapisać jako:
1  ∂v ∂u 
Ω z =  − 
2  ∂x ∂y 
Tensor symetryczny opisujący deformację elementu płynu nosi
nazwę tensora prędkości deformacji:
ε xx , ε xy , ε xz
[D] = ε yx , ε yy , ε yz
ε zx , ε zy , ε zz
gdzie poszczególne składowe wyrażają się zależnościami:
∂u
ε xx =
∂x
ε xy = ε yx
1  ∂v ∂u 
=  + 
2  ∂x ∂y 
∂v
=
∂y
1  ∂w ∂v 
ε yz = ε zy =  + 
2  ∂y ∂z 
∂w
ε zz =
∂z
1  ∂u ∂w 
ε xz = ε zx =  + 
2  ∂z ∂x 
ε yy
Ostatecznie ogólny ruch elementu płynu można opisać następującą
zależnością:
u A = u0 + ω0 × ∂r + [D ]0 ⋅ ∂r
Pierwsze twierdzenie Helmholtza
Prędkość dowolnego punktu elementu płynu składa
się z:
-prędkości postępowej punktu obranego za biegun
-prędkości obrotowej wokół osi przechodzącej przez
biegun (wektor tej prędkości wyznacza oś obrotu)
-prędkości deformacji elementu płynu – [D] – tensor Hermann von Helmholtz
1821 - 1894
predkości deformacji.
W porównaniu z analogicznym ruchem ciała sztywnego można
stwierdzić następujące różnice:
-wzór dla płynu jest ważny tylko w bliskim otoczeniu bieguna
-w płynie dodatkowo występuje prędkość deformacji
Zamknięty układ równań mechaniki płynów
Przedstawione poniżej równania tworzą zamknięty układ równań
mechaniki płynów, który może być zastosowany do opisu konkretnych
przepływów i uzyskania, w drodze rozwiązania tego układu, informacji
o wartościach interesujących nas parametrów tego przepływu.
Konkretna postać układu równań zależy od przyjętego modelu płynu.
Przypadek 1: płyn nieściśliwy o stałej lepkości
Zamknięty układ równań tworzą:
- równanie zachowania masy
divu = 0
- równanie zachowania pędu
ρ
Du
= ρf − gradp + µ∆u
Dt
Razem są to cztery równania skalarne z czterema niewiadomymi:
- ciśnienie p
- składowe prędkości
ux , u y , uz
W tym przypadku pole temperatury nie wpływa na przepływ, ale
samo jest uzależnione od pola prędkości przepływu poprzez równanie
bilansu entropii w postaci:
 ∂T
∂T
∂T
∂T 
 = TsɺM + λ∆T
ρc
+ ux
+ uy
+ uz
∂x
∂y
∂z 
 ∂t
Tę postać równania można uzyskać podstawiając do oryginalnego
równania zależność dla energii wewnętrznej:
e = cT + e0
W przypadku gdy lepkość płynu zależy od temperatury, równanie
bilansu entropii jest sprzężone z równaniami zachowania masy i
zachowania pędu poprzez zależność:
µ = µ (T )
Mamy wtedy układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi:
- ciśnienie p
- składowe prędkości u x , u y , u z
- temperatura T
- współczynnik lepkości µ
Przypadek 2: płyn ściśliwy
W tym przypadku zamknięty układ równań tworzą:
- równanie zachowania masy
∂ρ
+ div(ρu ) = 0
∂t
- równanie zachowania pędu ρ
Du
2

= ρf − gradp − grad  µdivu  + div(2µ [D ])
Dt
3

- równanie bilansu entropii
De
p Dp
ɺ
ρ
= Ts M +
+ λ∆T
Dt
ρ Dt
T
- równanie energii wewnętrznej e = ∫ cv (T )dT
T0
- równanie stanu
p
ρ
= Z ( p, T )RT
- dodatkowe zależności
µ = µ (T )
Z – funkcja ściśliwości
R – stała gazowa
cV = cV (T )
W tym przypadku mamy układ dziewięciu równań z dziewięcioma
niewiadomymi:
- gęstość ρ
- ciśnienie p
- energia wewnętrzna e
- temperatura T
- współczynnik lepkości µ
- składowe prędkości
ux , u y , uz
- ciepło właściwe
cV
Założono, że współczynnik przewodnictwa cieplnego λ ma wartość
stałą.
Warunki brzegowe i początkowe
Dla umożliwienia rozwiązania powyższych układów równań
konieczne jest określenie odpowiednich warunków brzegowych
oraz (dla przepływów niestacjonarnych) warunków początkowych.
Warunki te są potrzebne do wyznaczenia dowolnych stałych i
dowolnych funkcji wprowadzonych podczas całkowania równań.
Równanie zachowania masy
Prawo zachowania masy: w zamkniętym układzie fizycznym masa
nie może powstać ani nie może ulec anihilacji.
Założenia:
-rozpatrujemy nieustalony trójwymiarowy przepływ płynu ściśliwego,
-płyn w całości wypełnia przestrzeń (brak nieciągłości, pęcherzy itp.),
-stosujemy opis Eulera – nieruchoma objętość kontrolna ograniczona
powierzchnią kontrolną.
Przy tych założeniach prawo zachowania masy brzmi:
przyrost masy w objętości = przepływ masy przez powierzchnię
Przyrost masy w objętości kontrolnej wynosi:
∂
∂ρ
(ρδxδyδz ) = δxδyδz
∂t
∂t
Z kolei przepływ przez powierzchnię
kontrolną wynosi:
∂ (ρu ) 1 
∂ ( ρu ) 1 


δx δyδz −  ρu +
δx δyδz +
 ρu −
∂x 2 
∂x 2 




∂ ( ρv ) 1 
∂ (ρv ) 1 
+  ρv −
δy δxδz −  ρv +
δy δxδz +
∂y 2 
∂y 2 


∂ (ρw) 1 
∂ (ρw) 1 


+  ρw −
δz δxδy −  ρw +
δz δxδy
∂z 2 
∂z 2 


Porównanie obu wyrażeń i podzielenie stronami przez objętość
kontrolną prowadzi do wzoru:
∂ρ ∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂ (ρw) ∂ρ
+
+
+
=
+ div(ρu ) = 0
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
W przypadku ustalonego przepływu płynu ściśliwego równanie
zachowania masy przybiera postać:
∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂ (ρw)
+
+
= div(ρu ) = 0
∂x
∂y
∂z
W przypadku ustalonego przepływu płynu nieściśliwego równanie
zachowania masy przybiera postać:
∂u ∂v ∂w
+ +
= divu = 0
∂x ∂y ∂z
W przypadku poruszającego się elementu płynu (opis Lagrange’a)
równanie zachowania masy przybiera postać:
∂ρ
∂ρ
Dρ
+ div(ρu ) =
+ u ⋅ gradρ + ρdivu =
+ ρdivu
∂t
∂t
Dt
Równanie zachowania pędu
Druga zasada dynamiki Newtona: prędkość przyrostu pędu elementu
płynu jest równa sumie sił zewnętrznych działających na ten element
D(mu )
= ∑F
Dt
Isaac Newton
1643 - 1727
Prędkość przyrostu pędu elementu płynu (czyli
lewa strona równania) jest określona poprzez
pochodną materialną jego prędkości:
 ∂u
∂u
∂u
∂u  ∂ (ρu )
Du
= ρ  + u
ρ
+ v + w  =
+ div(ρuu )
Dt
∂x
∂y
∂z 
∂t
 ∂t
 ∂v
Dv
∂v
∂v
∂v  ∂ (ρv )
= ρ  + u + v + w  =
ρ
+ div(ρvu )
Dt
∂x
∂y
∂z 
∂t
 ∂t
 ∂w
Dw
∂w
∂w
∂w  ∂ (ρw)
ρ
= ρ 
+u
+v
+ w  =
+ div(ρwu )
Dt
∂x
∂y
∂z 
∂t
 ∂t
Prawą stronę równania tworzą dwie kategorie sił:
-siły powierzchniowe (siły ciśnienia i siły lepkości),
-siły masowe (siły ciężkości, siły Coriolisa, siły elektromagnetyczne)
Dla przykładu utworzymy kompletne równanie dla kierunku x,
posługując się układem sił powierzchniowych jak na rysunku:
Gaspard Coriolis
1792 - 1843
Siły działające na ścianki elementu prostopadłe do kierunku x

 
∂τ xx 1 
∂τ xx 1 
∂p 1  
∂p 1  
p
−
x
−
−
x
y
z
p
x
δ
τ
δ
δ
δ
+
−
+
δ
+
τ
+
δx δyδz =







xx
xx



∂x 2  
∂x 2 
∂x 2  
∂x 2 

 
 ∂p ∂τ xx 
= − +
δxδy∂z
 ∂x ∂x 
Siły działające na ścianki elementu prostopadłe do kierunku y
∂τ yx 1 
∂τ yx 1 
∂τ yx


− τ yx −
δy δxδz + τ yx +
δy δxδz =
δxδyδz
∂y 2 
∂y 2 
∂y


Siły działające na ścianki elementu prostopadłe do kierunku z
∂τ zx 1 
∂τ zx 1 
∂τ zx


− τ zx −
δz δxδy + τ zx +
δz δxδy =
δxδyδz
∂z 2 
∂z 2 
∂z


Po dodaniu powyższych wyrażeń i podzieleniu stronami przez
objętość elementu otrzymujemy siły powierzchniowe na kierunku x
∂ (− p + τ xx ) ∂τ yx ∂τ zx
+
+
∂x
∂y
∂z
Po uzupełnieniu o składową jednostkowej siły masowej f i
podstawieniu do wyjściowej zależności otrzymujemy:
Du
∂ (− p + τ xx ) ∂τ yx ∂τ zx
= ρf x +
+
+
ρ
Dt
∂x
∂y
∂z
i analogicznie dla pozostałych kierunków:
∂τ xy ∂ (− p + τ yy ) ∂τ zy
Dv
ρ
= ρf y +
+
+
Dt
∂x
∂y
∂z
∂τ xz ∂τ yz ∂ (− p + τ zz )
Dw
= ρf z +
+
+
ρ
Dt
∂x
∂y
∂z
Tensor stanu naprężenia w płynie
[P] =
− p + τ xx
τ yx
τ zx
τ xy
− p + τ yy
τ zy
τ xz
τ yz
− p + τ zz
Stan naprężenia w płynie
Można udowodnić, że tensor stanu naprężenia w płynie jest tensorem
symetrycznym, czyli: τ xy = τ yx itd.
Redukuje to liczbę niewiadomych naprężeń lepkościowych do 6,
które muszą być wyznaczone w oparciu o wybrany model płynu.
Najczęściej jest stosowany model płynu Newtona.
Model płynu Newtona oparty jest na następujących założeniach:
-płyn jest izotropowy, czyli ma jednakowe właściwości we
wszystkich kierunkach,
-naprężenia w płynie są liniowymi funkcjami prędkości deformacji
∂u
τ yx = µ
gdzie:
∂y
µ - dynamiczny współczynnik
lepkości
W przepływie trójwymiarowym płynu ściśliwego model płynu
Newtona jest opisany następującymi zależnościami:
∂u
τ xx = 2µ + λdivu
∂x
∂v
τ yy = 2 µ + λdivu
∂y
∂w
τ zz = 2µ
+ λdivu
∂z
 ∂u ∂v 
τ xy = τ yx = µ  − 
 ∂y ∂x 
τ yz
 ∂v ∂w 

= τ zy = µ  −
 ∂z ∂y 
 ∂u ∂w 
−

 ∂z ∂x 
τ xz = τ zx = µ 
gdzie:
∂u ∂v ∂w
+ +
divu =
∂x ∂y ∂z
λ - objętościowy współczynnik
lepkości
zgodnie z hipotezą Stokesa mamy:
2
λ=− µ
3
W płynie nieściśliwym jest divu = 0
czyli drugie człony naprężeń
normalnych się zerują.
Równanie Naviera-Stokesa
Claude Navier
1785 - 1836
Podstawienie zależności
wynikających z modelu płynu
Newtona do równania zachowania
pędu daje równanie znane jako
równanie Naviera-Stokesa.
George Stokes
1819 - 1903
W formie skalarnej ma ono postać trzech równań:
Du
∂p ∂  ∂u
 ∂   ∂u ∂v  ∂   ∂u ∂w 
ρ
= ρf x − + 2 µ
+ λdivu  +  µ  +  +  µ  +

Dt
∂x ∂x  ∂x
∂
y
∂
y
∂
x
∂
z
∂
z
∂
x


 

 
 ∂   ∂v ∂w 
Dv
∂p ∂   ∂u ∂v  ∂  ∂v

ρ
= ρf y − +  µ  +  + 2 µ + λdivu  +  µ  +
Dt
∂y ∂x   ∂y ∂x  ∂y  ∂y
 ∂z   ∂z ∂y 
Dw
∂p ∂   ∂u ∂w  ∂   ∂v ∂w  ∂  ∂w

 + 2µ
ρ
= ρf z − +  µ  +
+ λdivu 
 +  µ  +
Dt
∂z ∂x   ∂z ∂x  ∂y   ∂z ∂y  ∂z 
∂z

W formie wektorowej równanie Naviera Stokesa ma postać:
ρ
Du
= ρf − gradp + grad (λdivu ) + div(2µ [D ])
Dt
A=B+C+D+E
A – prędkość zmiany pędu elementu płynu
B- siła masowa
C- siła powierzchniowa ciśnienia
D – siła powierzchniowa związana z lepkością płynu, wynikająca
ze zmiany objętości elementu płynu ściśliwego (kompresji lub
ekspansji)
E- siła powierzchniowa związana z lepkością płynu, wynikająca
z deformacji liniowej i postaciowej elementu płynu
W płynie nieściśliwym równanie Naviera Stokesa upraszcza się
do postaci:
Du
ρ
= ρf − gradp + div(2 µ [D ])
Dt
Jeżeli dodatkowo założymy, że lepkość płynu jest stała,to mamy:
ρ
Du
= ρf − gradp + µ∆u
Dt
Dalszym możliwym uproszczeniem jest założenie o braku lepkości
płynu, które prowadzi do równania Eulera, opisującego ruch płynu
nielepkiego i nieściśliwego:
ρ
Du
= ρf − gradp
Dt
Równanie Naviera Stokesa może być rozwiązane analitycznie tylko
dla niewielu uproszczonych przypadków. Wybrane przykłady
opisano niżej.
Równanie zachowania energii
Energię kinetyczną płynu można traktować jako sumę energii ruchu
makroskopowego oraz energii ruchu molekularnego, zwanej energią
wewnętrzną:  u 2 
u=u
∫  2
V
+ e dV

u (u x , u y , u z )
Zmiana w czasie (czyli pochodna substancjalna) całkowitej energii
kinetycznej objętości płynnej V otoczonej powierzchnią S jest równa
sumie mocy sił masowych, mocy sił powierzchniowych oraz
strumieniowi energii doprowadzonej do objętości płynnej
 u2

D

ρ  + e dV = ∫ ρf • u dV + ∫ τ • u dS − ∫ j • n dS
∫
Dt V  2

V
S (V )
S (V )
gdzie:
f
τ
j
n
jednostkowa siła masowa f ( f x , f y , f z )
jednostkowa siła powierzchniowa
strumień ciepła doprowadzonego j j x , j y , j z
wersor normalny zewnętrzny
(
)
Równanie bilansu entropii
Entropia jest transportowana z ciepłem zgodnie z relacją Clausiusa:
1
js = j
T
T
gdzie:
js
strumień entropii
j strumień ciepła
temperatura przy której zachodzi transport
Rudolf Clausius
1822 - 1888
Entropia zmienia się wraz z parametrami stanu (relacja Gibbsa):
Ds De
D 1
 
T
=
+p
Dt Dt
Dt  ρ 
gdzie: p - ciśnienie
Josiah Gibbs
1839 - 1903
e – energia wewnętrzna płynu
ρ - gęstość płynu
Druga zasada termodynamiki: w każdym procesie rzeczywistym
suma zmian entropii wszystkich ciał biorących udział w procesie
jest zawsze dodatnia.
Zmiana w czasie (czyli pochodna substancjalna) entropii w objętości
płynnej V(S) jest równa produkcji entropii wewnątrz tej objętości
oraz strumieniowi entropii przez powierzchnię płynną S.
D
ρsdV = ∫ sɺdV − ∫ js • n dS
∫
Dt V
V
S (V )
Gdzie: sɺ objętościowe natężenie źródeł entropii
Powyższe równanie można przekształcić do postaci jednej całki po
objętości płynnej:
j
 Ds
∫  ρ Dt − sɺ + div T dV = 0
V
Ponieważ objętość płynną V wybrano dowolnie, zerować się musi
również funkcja podcałkowa, co prowadzi do równania bilansu
entropii w postaci różniczkowej (czyli dla elementu płynu):
Ds
j
ρ
= sɺ − div
Dt
T
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego wyraża zasady
zachowania pędu i zachowania energii płynu
przy spełnieniu odpowiednich założeń.
Założenia:
-przepływ jest stacjonarny
∂
=0
∂t
-plyn jest nielepki
µ =0
-płyn jest barotropowy
ρ = ρ ( p)
Daniel Bernoulli
1700 - 1782
-pole sił masowych jest potencjalne f = − gradΠ
Przy takich założeniach można scałkować równanie Eulera:
Du
ρ
= ρf − gradp
Dt
Równanie Bernoulliego (1738)
u2
gz + +
= const
ρ 2
p
lub
p u2
z+
+
= const
ρg 2 g
Suma energii potencjalnej pola sił masowych, energii ciśnienia oraz
energii kinetycznej płynu jest stała.
lub:
Suma wysokości geometrycznej, wysokości ciśnienia (czyli
wysokości, na jaką wzniesie się słup cieczy pod ciśnieniem p) oraz
wysokości prędkości (czyli wysokości, z której spadający element
płynu uzyska prędkość u) jest stała.
Możliwe są inne postaci równania Bernoulliego, jeżeli przyjmie się
szczególne formy warunku barotropowości płynu. Na przykład dla
gazu podlegającego przemianie adiabatycznej warunek ten ma postać:
cp
ρ 0 1κ
ρ = 1 p gdzie κ jest wykładnikiem adiabaty Poissona κ =
cv
p0 κ
Równanie Bernoulliego przyjmuje wtedy postać:
(κ −1)


κ


u
κ p0  p
 
+
− 1 + gz = const

2 κ − 1 ρ 0  p0 


2
Simeon Poisson
1781 - 1840
Porównanie wyprowadzenia równania Bernoulliego z równaniem
zachowania energii dla rurki prądu pozwala stwierdzić, że przy
pominięciu energii wewnętrznej płynu e i przewodnictwa cieplnego
płynu równanie Bernoulliego wyraża również zasadę zachowania
energii.