Lista 7: Proces Poissona Zad. 1 a) Napisa¢ funkcj¦ która generuje

Lista 7: Proces Poissona
Zad. 1 a) Napisa¢ funkcj¦ która generuje trajektori¦ jednorodnego procesu Poissona z intensywno±ci¡
argumenty wej±ciowe
λ > 0 na odcinku czasowym [0, T ]. Funkcja ma
λ, T > 0. Funkcja powinna zwraca¢ momenty
kolejnych zgªosze« oraz rysowa¢ wygenerowan¡ trajektori¦. Skorzysta¢
nale»y z faktu o rozkªadach czasów oczekiwa« na kolejne zgªoszenia.
b) Uogólni¢ funkcj¦ z a) tak by generowaªa
N
(dodatkowy argument
wej±ciowy) trajektorii.
c) Sprawdzi¢ poprawno±¢ generatora poprzez dyrtybuant¦ empiryczn¡,
histogram oraz odpowiedni test statystyczny dla kolejnych czasów oczekiwa« na zgªoszenie.
Zad. 2 a) Napisa¢ funkcj¦ która generuje trajektori¦ jednorodnego procesu Poissona z intensywno±ci¡
argumenty wej±ciowe
λ > 0 na odcinku czasowym [0, T ]. Funkcja ma
λ, T > 0. Funkcja powinna zwraca¢ momenty
kolejnych zgªosze« oraz rysowa¢ wygenerowan¡ trajektori¦. Skorzysta¢
nale»y z faktu, »e rozkªad warunkowy czasów zgªosze« jest odpowiedni
pod warunkiem znanej warto±ci
N (T ) = k.
b) Uogólni¢ funkcj¦ z a) tak by generowaªa
N
(dodatkowy argument
wej±ciowy) trajektorii.
c) Sprawdzi¢ poprawno±¢ generatora poprzez dyrtybuant¦ empiryczn¡,
histogram oraz odpowiedni test statystyczny dla kolejnych czasów oczekiwa« na zgªoszenie.
Zad. 3 a) Napisa¢ funkcj¦ która generuje trajektori¦ niejednorodnego procesu
Poissona z intensywno±ci¡
Funkcja ma
λ(t) = sin(t)+1 na odcinku czasowym [0, T ].
argument wej±ciowy T > 0. Funkcja powinna zwraca¢ mo-
menty kolejnych zgªosze« oraz rysowa¢ wygenerowan¡ trajektori¦ wraz
z intensywno±ci¡. Skorzysta¢ nale»y z wygenerowania procesu jedno-
λ ­ λ(t). Zaproponowa¢ równie» inne funkcje intensywno±ci.
Uogólni¢ funkcj¦ z a) tak by generowaªa N (dodatkowy argument
rodnego z
b)
wej±ciowy) trajektorii.
Zad. 4 a) Napisa¢ funkcj¦ która generuje trajektori¦ niejednorodnego procesu
Poissona z intensywno±ci¡
Funkcja ma argument
λ(t) = 1/(t + 3) na odcinku czasowym [0, T ].
wej±ciowy T > 0. Funkcja powinna zwraca¢
momenty kolejnych zgªosze« oraz rysowa¢ wygenerowan¡ trajektori¦
wraz z intensywno±ci¡. Skorzysta¢ nale»y z faktu, »e rozkªad warunkowy czasów zgªosze« jest odpowiedni pod warunkiem znanej warto±ci
N (T ) = k.
Zaproponowa¢ równie» inne funkcje intensywno±ci.
1
b) Uogólni¢ funkcj¦ z a) tak by generowaªa
N
(dodatkowy argument
wej±ciowy) trajektorii.
Zad. 5 a) Napisa¢ funkcj¦ która generuje trajektori¦ niejednorodnego procesu
Poissona z intensywno±ci¡
λ(t)
(dowolna) na odcinku czasowym
Funkcja ma argument wej±ciowy
T > 0.
[0, T ].
Funkcja powinna zwraca¢ mo-
menty kolejnych zgªosze« oraz rysowa¢ wygenerowan¡ trajektori¦ wraz
z intensywno±ci¡. Skorzysta¢ nale»y z faktu, »e czasy oczekiwania to
zimienne i.i.d. o okre±lonym rozkªadzie. Zaproponowa¢ równie» inne
funkcje intensywno±ci.
b) Uogólni¢ funkcj¦ z a) tak by generowaªa
wej±ciowy) trajektorii.
2
N
(dodatkowy argument