2 ` sin 2 (0) 0, `(0) 0, "(0) 0 y y y e t y y y + + = + = = = ( ` )" 1 (0) 0, `(0) 0

2 ` sin 2 (0) 0, `(0) 0, "(0) 0 y y y e t y y y + + = + = = = ( ` )" 1 (0) 0, `(0) 0

Matematyka – Budownictwo studia magisterskie
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Seria 1
1. Znaleźć całki ogólne równań:
a) y ( IV ) + 8 y "+ 16 y = e−2t + e2t + 1 , b) y ( IV ) + y = t + e− t cos t , c) y (3) − 2 y '+ y = et + sin t ,
2. Rozwiązać zagadnienia Cauchy’ego:
 y ( IV ) − 8 y "+ 16 y = e −2t + e 2t + 1
a) 
,
(3)
 y (0) = 0, y '(0) = 0, y "(0) = 0, y (0) = 1
( y '+ y )" = e− t + 1
c) 
,
y
(0)
=
0,
y
'(0)
=
0,
y
"(0)
=
1

 y (3) + 2 y '+ y = e− t + sin 2t
,
b) 
 y (0) = 0, y '(0) = 0, y "(0) = 0
( y '+ 4) ' = te−4t + 1
d) 
 y (0) = 0, y '(0) = 1
3. Rozwiązać układy równań:
x ' = 2x − y
t

 x ' = 2 x − y + e + 1
a) 
, b)  y ' = − x + 2 y + z , c)
t
 y ' = − x + 2 y + e
z ' = y + 2z

x ' = 2x + 3 y

 y ' = 3x + 2 y
z ' = x + y

4. Wyznaczyć eA, jeśli:
1 1 0 
2 1 0
1 2 
 1 2
1 2 




a) A = 
 , b) A =  −2 1  , c) A = 0 1  , d) A = 1 1 2  , e) A =  0 2 3 
2
1






0 2 1 
 0 0 2 
5. Wyznaczyć wektory, wektory dołączone i wartości własne macierzy:
1 1 0 
1 1 0 
2 5 
 −2 3 




a) A = 
 , b) A =  −3 −2  , c) A = 0 1 3  , d) A = 1 1 3 
5
2




0 0 1 
0 3 1 
6. Rozwiązać równania:
a) 2u x + 3u y = 0 , b) ( x − 3 y )u x + (3 x − y )u y = 0 , c) ( x − 2 y )u x + (2 x − y )u y + 2u z = 0 .
7. Rozwiązać równania:
a) 2u x + 3u y = 1 , b) ( x − 3 y )u x + (3 x − y )u y = u , c) ( x − 2 y )u x + (2 x − y )u y + uu z = 5 .
8. Rozwiązać zagadnienia Cauchy’ego:
a) yzz x + xz y = 0, z ( x, y ) = x 2 dla y = 1 , b) xz x = z , z ( x, y ) = y dla x = 1 ,
c) xu x + yu y + zu z = u , u ( x, y, z ) =
1
( y + z ) dla x = 2
2