Przykład 1.7. Obciążenie montażowe
Transkrypt
Przykład 1.7. Obciążenie montażowe
Przykład 1.7. ObciąŜenie montaŜowe Wyznaczyć siły w prętach przedstawionego układu prętowego wywołane wymuszonym montaŜem spowodowanym błędną długością jednego pręta – mniejszą od wymaganej o ∆m. Przekroje poprzeczne prętów oraz moduł Younga jak na rysunku. Wyznaczyć połoŜenie węzła po połączeniu prętów. l l l E,2A E,A ∆m l Rozwiązanie Zadanie rozwiąŜemy metodą przemieszczeń wyraŜając wszystkie niewiadome za pomocą przemieszczeń. Wymuszony montaŜ oznacza, Ŝe mimo niedokładności wykonania prętów (układ przedstawiony na rysunku) zostaną one połączone w jednym węźle. Wymaga to wstępnego odkształcenia pręta i wywoła w całym układzie wstępny stan napręŜenia tzw. napręŜenia montaŜowe. Wprowadzając oznaczenia sił w prętach zapiszemy równania równowagi dla węzła swobodnego 1. y 1 S2 S1 S3 x Węzeł 1 1 1 + S2 =0 2 2 1 1 + S2 − S3 = 0 ∑ Piy = 0 ⇒ S1 2 2 ∑ Pix = 0 ⇒ −S1 (1,2) Uzyskaliśmy układ 2 równań jednorodnych z 3 niewiadomymi. Brakujące równanie uzyskamy z analizy warunków geometrycznych i fizycznych zadania. Warunki fizyczne WydłuŜenia prętów wynoszą: S l Sl ∆l1 = 1 1 , ∆l 2 = 2 2 , E1A1 E 2A 2 ∆l3 = S3l 3 . E 3A 3 (3,4,5) Po uwzględnieniu danych mamy S l S 2l S 2l , , ∆l1 = 1 ∆l 2 = 2 ∆l 3 = 3 . EA E 2A EA Stąd łatwo wyznaczamy siły w prętach za pośrednictwem wydłuŜeń S1 = 2 EA EA ∆l1 , S 2 = 2 ∆l 2 2 l l , S3 = EA ∆l3 . l (3*,4*,5*) Zapiszemy teraz równania geometryczne czyli wydłuŜenia prętów wyraŜone przez przemieszczenia węzłów. Przemieszczenie węzła 1 opiszemy składowymi u1, v1 wektora jego przemieszczenia. Opisują one połoŜenie węzła 1 po połączeniu prętów 1 u1 V1 Równania geometryczne przyjmują postać u v u v (6, 7, 8) ∆l1 = 1 + 1 , ∆l 2 = − 1 + 1 , ∆l 3 = ∆ m − v1 . 2 2 2 2 W równaniu (8) uwzględnione zostało wstępne wydłuŜenie pręta 3 do węzła 1 o wielkość błędu montaŜowego. Podstawiając otrzymane wyraŜenia do (3*-5*) otrzymujemy siły wyraŜone przez przemieszczenia 1 EA S1 = (u1 + v1 ) , S2 = − EA (u1 − v1 ) , S3 = EA (∆ m − v1 ) , 2 l l l a po podstawieniu ich do równań równowagi dostajemy układ dwu równań względem dwu niewiadomych przemieszczeń 1 EA 3 EA 2 l u1 − 2 l v1 = 0 2 EA 3 2 EA EA EA v1 − − u1 + − + ∆m = 0 l l 4 l 4 l Z rozwiązania powyŜszego układu dostajemy 3 v1 = ∆ m ≅ 0.52∆ m 3+ 2 2 1 u1 = ∆ m ≅ 0.17 ∆ m 3+ 2 2 Węzeł przemieszcza się w załoŜonym kierunku. Przesunięcie w poziomie wynika z róŜnych sztywności prętów 1 i 2. Jako ćwiczenie polecamy rozwiązanie tego zadania w przypadku jednakowych przekrojów prętów. 2