Stan naprężenia i przemieszczenia Rozpatrzmy pręt

Stan naprężenia i przemieszczenia
Rozpatrzmy pręt pryzmatyczny rozciągany osiowo siłami P
l ′ = l + Δl
b ′ = b − Δb
N = P = const
N = −P = const
Zakładamy, że pręt jest krępy, tzn. w przypadku
ściskania nie następuje zjawisko wyboczenia
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
1
Stan naprężenia i przemieszczenia
W zakresie liniowo sprężystym obowiązuje prawo Hooke’a (2.17) — σ = E ε
σ =
N
A
ε=
Δl
l
N
Δl
=E
A
l
Δl = λ =
Δl
EA
Nl
EA
(3.1)
— wydłużenie pręta rozciąganego siłą osiową N
(oznaczane również λ )
— sztywność osiowa pręta
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
2
Stan naprężenia i przemieszczenia
Wydłużenie pręta spowodowane ogrzaniem (wpływ temperatury)
λtemp = α ΔΤ l
α
ΔT
l
(3.2)
— współczynnik rozszerzalności termicznej [K–1]
— przyrost temperatury [K]
— długość pręta [m]
Przemieszczenia wypadkowe [mm]
dla tłoka obciążonego cieplnie
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
3
Zasada de Saint-Venanta
W przypadku rozciągania osiowego pręta siłą P
stan naprężenia nie zależy od sposobu przyłożenia siły P
już w niewielkiej odległości od miejsca przyłożenia tej siły
Wykres naprężeń dąży do rozkładu równomiernego
w miarę oddalania się od przekroju skrajnego
Zasada de Saint-Venanta (zasada sprężystej równoważności)
Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego pozostającego w równowadze działają kolejno rozmaicie rozmieszczone,
ale statycznie równowarte obciążenia, to w odległości od obszaru
przewyższającej wyraźnie jego rozmiary powstają praktycznie
jednakowe stany naprężenia i odkształcenia
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
4
Siły wewnętrzne (przekrojowe) w prętach prostych — rozciąganie/ściskanie
W ogólnym przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych
wzdłuż osi pręta (oś x)
Pręt traktujemy jako zbiór prętów o długościach l1, l 2 , ...,ln
Wydłużenia prętów sumują się, a wydłużenie całkowite jest określone wzorem
n
N i li
(
i =1 EA )i
λ = λ1 + λ 2 + ... + λn = ∑
(3.3)
gdzie:
Νi
— siła osiowa w i-tym odcinku pręta [N]
li
— długość i-tego odcinka pręta [m]
(EA)i — sztywność osiowa pręta w i-tym odcinku [N]
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
5
Siły wewnętrzne (przekrojowe) w prętach prostych — rozciąganie/ściskanie
Do wyznaczenia reakcji wykorzystujemy równanie równowagi statycznej
— suma rzutów sił na oś x jest równa zeru
W dowolnym przekroju poprzecznym pręta siła osiowa N jest równa sumie rzutów sił zewnętrznych
działających po jednej stronie przekroju na kierunek styczny do osi pręta
— rozwiązując zadanie od prawej strony
N ( p ) = ΣPix
(3.4a)
— rozwiązując zadanie od lewej strony
N (l ) = − ΣPix
(3.4b)
Siła osiowa N rozciągająca jest dodatnia, natomiast ściskająca — ujemna
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
6
Projektowanie — rozciąganie/ściskanie
Zadania projektowe sprowadzają się do określenia wymiarów przekroju poprzecznego pręta
na podstawie warunku nośności i/lub warunku użytkowania.
Warunek nośności — sprawdzenie, czy naprężenia w projektowanym elemencie nie przekraczają
naprężeń dopuszczalnych
W przypadku prętów rozciąganych/ściskanych warunek nośności możemy zapisać w postaci:
| σ |max ≤ k
(3.5)
gdzie:
|σ |max — maksymalna wartość naprężeń normalnych rozciągających/ściskających
w rozpatrywanym elemencie
k
— naprężenia dopuszczalne na rozciąganie kr lub ściskanie kc dla przyjętego materiału
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
7
Projektowanie — rozciąganie/ściskanie
Warunek użytkowania — sprawdzenie, czy przemieszczenia projektowanego elementu
nie przekraczają przemieszczeń dopuszczalnych. W przypadku prętów rozciąganych/ściskanych
warunek użytkowania możemy zapisać w postaci:
| λ |max ≤ λdop
(3.6)
gdzie:
| λ |max — maksymalne przemieszczenie rozpatrywanego elementu
λdop
— przemieszczenie dopuszczalne
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych
8
BIBLIOGRAFIA
Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, tom I, WNT, Warszawa 1999.
Klasztorny M., Skrypt do wytrzymałości materiałów [w przygotowaniu].
Ściskanie i rozciąganie prętów. Naprężenia normalne, przemieszczenia. Projektowanie. Siły wewnętrzne w prętach prostych