TRANSCOMP – XIV INTERNATIONAL - Logistyka

TRANSCOMP – XIV INTERNATIONAL CONFERENCE
COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE, INDUSTRY AND TRANSPORT
Complexity, characteristic semi-group of automaton,
determined analog of automaton extension
direct sum, isomorphism
Stanisław BOCIAN1
ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY PROSTEJ
AUTOMATÓW ASYNCHRONICZNYCH SILNIE SPÓJNYCH USTALONYCH
ANALOGÓW ROZSZERZEŃ ZWIĄZANYCH Z IZOMORFIZMAMI
Półgrupa charakterystyczna automatu ingeruje w algorytm obliczeniowy
uogólnionych homomorfizmów automatów, zatem wyznaczenie złoŜoności półgrupy
charakterystycznej pozwala na oszacowanie złoŜoności obliczeniowej uogólnionych
homomorfizmów dla innych klas automatów. W zakresie modelu matematycznego
koncepcja ustalonego analogu rozszerzenia automatu A związanego
z izomorfizmami g0, g1,..., gq-1, gdzie q stopień rozszerzenia, przy odpowiednich
załoŜeniach symuluje automat zmienny w czasie. Automat zmienny w czasie jest
adekwatnym modelem matematycznym dla wielu procesów technicznych
i obliczeniowych czasu rzeczywistego. Automaty te symulują pracę kilku automatów
za pomocą jednego automatu zmiennego w czasie. Sumę prostą automatów moŜna
uwaŜać za realizację – odpowiednio sekwencyjnych obliczeń.
COMPLEXITY OF THE CHARACTERISTIC SEMI-GROUP OF THE
ASYNCHRONOUS AUTOMATONS DIRECT SUM OF THE STRONGLY
CONNECTED DETERMINED ANALOGS, THEIR EXTENSIONS ASSOCIATED
WITH ISOMORPHISMS
The characteristic semi-group of the automaton interferes in the computational
algorithm of the generalized homeomorphisms of the automatons. Then
determination the complexity of the characteristic semi-group enables to estimate
the complexity of the computational generalized homeomorphisms for the other
classes of automatons.
In the range of the mathematical model the conception of the determined analog
of the extension of the automaton A associated with the isomorphisms g0, g1, …gq-1,
where q is the grade of the extensions, with the suitable assumptions it simulates the
automaton variable in time. The variable automaton in time is the adequate
mathematical model for the many technical and computational processes of the real
time. The direct sum of automatons can be considered as the realization – sequence
calculations accordingly.
11
Stanisław BOCIAN Instytut Pojazdów Szynowych „TABOR” POLSKA; Poznań 61-055;Warszawska 181.
Telefon: + 48 (0)61 664 14 38; E-mail: Elektrotechnika @ tabor.com.pl
304
Stanisław BOCIAN
1. ROZWAśANIA WPROWADZAJĄCE
Relację R ⊆ X × Y nazywamy funkcją, gdy dla kaŜdego a ∈ X istnieje dokładnie
jeden element b ∈ Y taki Ŝe a R b . Zbiór X jest nazywany zbiorem określoności, a
zbiór Y zbiorem wartości funkcji. Funkcja f jest 1 − 1 (róŜnowartościowa,
a1 ≠ a2 implikuje, Ŝe f ( a1 ) ≠ f ( a2 ). Funkcja jest „na ”, gdy
Y = { b : b = f ( a ), a ∈ X } .
Grupoidem nazywamy parę uporządkowaną ( S o ) gdzie: S niepusty zbiór, ( o )
operacja binarna na zbiorze stanów S . Operacją binarną na zbiorze S nazywamy
przekształcenie niepustego podzbioru zbioru S × S w zbiór S . Binarną operacją ( o ) na
zbiorze S nazywamy łączną (asocjatywną), jeśli
a o ( b o c ) = ( a o b ) o c dla wszystkich a , b , c ∈ S .
Półgrupa, to taki grupoid ( S , o ), w którym operacja ( o ) jest asocjatywna.
Niech ∑ będzie dowolnym zbiorem niepustym. Zbiór ∑ będziemy nazywali alfabetem, a
jego elementy literami. Słowem x w alfabecie ∑ nazywamy dowolny ciąg liter alfabetu,
napisanych obok siebie, a długość słowa (oznaczoną przez x ) nazywamy liczbę tych
jednoznaczna), gdy
liter σ .
Skończonym automatem zdeterminowanym bez wyjść nazywam uporządkowaną trójkę
( S , ∑ , M ), gdzie:
S – jest skończonym, niepustym zbiorem stanów,
∑ – jest skończonym, niepustym zbiorem wejść,
M : S × ∑ → S jest funkcją przejść.
∑ + oznaczać będziemy przeliczalny nieskończony zbiór ciągów o
+
skończonej długości, utworzony z elementów zbioru ∑ . Zbiór ∑ razem z operacją
Symbolem
konkatenacji (operacja połączenia dwóch słów, polegającą na napisaniu ich obok siebie w
celu otrzymania nowego słowa), tworzy półgrupę wolną zwaną półgrupą wejściową.
∗
Symbole ∑ oznaczać będziemy monoid wejściowy, czyli
ciągiem pustym.
Funkcję M rozszerzamy do obszaru określoności
niech M ( s , x ) będzie zdefiniowane, wtedy:
∑∗ = ∑ + ∪ λ, gdzie λ jest
S × ∑ + w następujący sposób:
M ( s , x σ ) = M ( M ( s , x ), σ ) dla kaŜdego s ∈ S , x ∈ ∑ + , σ ∈ ∑ .
∗
Na zbiorze ∑ zdefiniujemy relację:
x R y wtedy i tylko wtedy, gdy ∀s∈S M ( s , x ) = M ( s , y ).
R jest relacją równowaŜności (relacja Myhilla). Klasę równowaŜności zawierającą
∗
element x ∈ ∑ oznaczać będziemy x , a zbiór wszystkim klas równowaŜności oznaczać
będziemy I . Zbiór I łącznie z operacją ( o ) , gdzie x o y = xy tworzy półgrupę
ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY...
305
(odpowiednio monoid), zwaną półgrupa charakterystyczną (odpowiednio monoidem
charakterystycznym). Półgrupę charakterystyczną automatu A oznaczać będziemy
I (A) .
A = ( S , ∑ , M ) definiujemy automat charakterystyczny
A = ( S , I (A) , M ), gdzie funkcja przejść M jest zdefiniowana następująco
M ( s , x ) = M ( s , x ).
Składnikiem autonomicznym automatu A = ( S , ∑, M ) nazywamy automat
Dla automatu
Ax = ( S , {x}, M x ) gdzie x ∈ ∑∗ i M x jest ograniczeniem M do S × {x} .
Dla kaŜdego
x ∈ ∑∗ zdefiniujemy przekształcenie f x zbioru S w siebie, gdzie :
f x ( s ) = M ( s , x ), dla kaŜdego s ∈ S . Przekształcenie f x jest implikowane przez x .
Zbiór przekształceń zbioru S w siebie implikowanych przez wszystkie elementy z ∑
będziemy oznaczać symbolem J . J ze względu na operację superpozycji, jest zbiorem
generatorów pewnej półgrupy.
Półgrupa F jest antyizomorficzna z
ϕ : I → F , ϕ (x)=
(i)
ϕ ( x o y ) = ϕ ( xy ) = f xy
(ii)
ϕ ( x ) =ϕ ( y ) ⇒ fx
=
=
I poniewaŜ:
f x , gdzie x ∈ I , x ∈ I przy czym:
f y ( fx ) = ϕ ( y ) ϕ ( x )
f y ⇒ ∀ s∈S M ( s , x ) = M ( s , y ) ⇒ x R y ⇒
⇒ x = y , a zatem ϕ jest , "1 − 1"
(iii) ϕ ( x ) = f x ⇒ ϕ -1 ϕ ( x ) = ϕ -1 ( f x ) ⇒ x = ϕ -1 ( f x ), a zatem ϕ jest na.
Automat moŜna zatem zdefiniować jako parę ( S , J ), a automat charakterystyczny
automatu ( S , J ) jako parę ( S , F ).
Automat A = ( S , ∑ , M ) jest silnie spójny wtedy i tylko wtedy, jeśli dla kaŜdej
pary ( s1 , s2 ) stanów automatu A istnieje element x z półgrupy wejściowej taki, Ŝe
M ( s1 , x ) = s2 .
Automat A = ( S , ∑ , M ) będziemy nazywać asynchronicznym wtedy i tylko wtedy
gdy, gdy dla kaŜdego s ∈ S i σ ∈ ∑ zachodzi M ( s , σ ) = M ( s , σ σ ).
Automat A = ( S , ∑ , M ) jest zupełny, jeśli jego funkcja przejścia jest zupełna.
Automat A = ( S , ∑ , M ) jest w pełni określony, jeśli jego funkcja przejść jest w
pełni określona.
A = ( AS , ∑ ,
M ) i B = ( B S , ∑ , B M ) będą automatami
deterministycznymi. Funkcja f : A → B jest rozumiana jako funkcja przekształcająca
Niech
A
S
jeŜeli:
w
B
A
S . Funkcja f : A → B nazywamy homomorfizmem (zachowuje operacje),
f ( M ( s , σ )) = B M ( f ( s ) , σ )) , dla kaŜdego s ∈ S i σ ∈ ∑ .
A
306
Stanisław BOCIAN
JeŜeli f : A → B jest „1−1” i „na” oraz zachowuje operacje to f nazywamy
izomorfizmem.
A w B nazywamy parę
Homomorfizmem uogólnionym automatu
przekształceń
( f1, f 2 ) takich, Ŝe:
w
B ∗
f 2 : A ∑∗ 
→
∑ oraz
w
B
f1 : A S 
→
S,
f1 ( AM ( s, x)) = B M ( f1 ( s ), f 2 ( x)) dla kaŜdego s ∈ A S , x ∈ B ∑∗ .
(
)
A0 = S q−1 , ∑, M q−1
będzie
automatem,
niech,
1
1
1
q −1
q −1
q −1
A = S , ∑, M ,..., A = ( S , ∑, M ) będą obrazami izomorficznymi
q≥2
Niech
(
i
)
związanymi z izomorfizmami stanowymi
g 1 ∈ Iz ( A0 → A1 ) ,..., g q −1 ∈ Iz ( Aq − 2 → Aq −1 ) . Rozszerzeniem q automatu A
związanym z izomorfizmami stanowymi
g 0 , g 1 ,..., g q −1 nazywamy trójkę
extq ( A )
(
extq ( A) =
uporządkowaną
(
S = S 0 , S 1 ,..., S q−1
ext q ( A )
)
ext q ( A )
gi : S → Si
ext q ( A )
)
M gdzie:
(
M q = M q ,0 , M q ,1 ,..., M q , q −1
i = 0,1,..., q − 1
{
S = {s0 , s1 ,..., sn −1}
natomiast
S , ∑,
S i = s0i , s1i ,..., sni −1
s ij = g i (s j )
)
}
j = 0,1,..., n − 1
Ustalonym analogiem rozszerzeni extq A = ( S , ∑, M ) automatu
(
A = S , ∑, M
uporządkowana
)
związanego
(ext ( A))
q
ext q ( A )
S ∗ = U qi=−01 S i , a
jest
funkcją
ext q ( A )
∗
przejść
=
(
extq ( A )
z
ext q ( A )
M∗ :
g 0 , g 1 ,..., g q −1
izomorfizmami
S ∗ , ∑,
ext q ( A )
zdefiniowaną
ext q ( A )
)
trójka
M ∗ gdzie:
S∗ × ∑ →
dla
jest
ext q ( A )
S∗
s ∈ Si ,
dowolnych
jak
następuje
M (s, σ ) = M ( s, σ ) . Dla wszystkich przedstawionych rozwaŜań ∑ = {σ 0 ,σ 1}
∗
q ,i
wprowadzamy
( )
x0 = σ 0σ 1
( )
x1 = σ 1σ 0 , dla których
i
f x 0 = fσ 1 f σ 0 ,
∗
f x1 = fσ 0 fσ 1 . Dla dowolnego x ∈ ∑ zdefiniujemy przekształcenie
w
fx : S 
→
S określone jak następuje: ∀s∈S f x ( s ) = M ( s, x) gdzie: dla x = x'σ
mamy ∀ s∈S f x ( s ) = f x 'σ ( s ) = fσ ( f x ' ( s, σ )) .
Sumę prostą automatów A =
uporządkowana A ∪ B =
A∪ B
(
A∪ B
S , ∑,
A∪ B
( S , ∑, M )
M ) , gdzie
A
A
i B=
A∪ B
( S , ∑, M )
B
B
S= S∪ S ;
A
B
M : A ∪ B S × ∑→ A∪ B S i dla kaŜdego s ∈ A∪ B S i σ ∈ ∑ zachodzi
jest trójka
ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY...
A∪ B
(
)
A
M A s, σ jeśli
B
M
M (s.σ ) =
(
B
A
)
s, σ jeśli
A
s∈ S
s ∈ BS
B
Dla wszystkich przedstawionych rozwaŜań
wprowadzamy
( )
x0 = σ 0σ 1
307
i
∑ = {σ 0 ,σ 1}
x1 = σ 1σ 0 , dla których
( )
f x 0 = fσ 1 f σ 0 ,
f x1 = fσ 0 fσ 1 . Dla dowolnego x ∈ ∑∗ zdefiniujemy przekształcenie
w
fx : S 
→
S
określone jak następuje:
∀s∈S f x ( s ) = M ( s, x) gdzie: dla
x = x'σ mamy ∀ s∈S f x ( s ) = f x 'σ ( s ) = fσ ( f x ' ( s, σ )) .
Przy wyznaczaniu złoŜoności półgrupy charakterystycznej sumy prostej automatu z
klasy EXT DFASC2 (deterministic finite asynchronous strongly connected extensions)
wykorzystano nowy algorytm na wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb
naturalnych przedstawiony w [1,3,5,6,8]. W pracach [5,6,8] przeprowadzono formalny
dowód. W pracy [8] pokazano takŜe odpowiednią interpretacje graficzną przedstawiono
takŜe programy języku BASIC , PASCAL i C++ wraz wizualizacją i praktyczną realizacją
2. ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY PROSTEJ
AUTOMATÓW Z KLASY EXT DFASC2
W publikacjach [1,4] przedstawiono szkice dowodów na złoŜoność półgrup
charakterystycznych sumy prostej i iloczynu prostego automatu DFASC2 (deterministic
finite asynchronous connected extensions) i EXT DFASC2 (deterministic finite
asynchronous strongly connected extensions). W pracy przedstawiono pełną wersję
dowodu na złoŜoność półgrupy charakterystycznej sumy prostej automatów z klasy
EXT DFASC2
Twierdzenie 1.
extq ( A ∪ B ) =
Niech
(
ext q ( A ∪ B )
S , ∑,
ext q ( A ∪ B )
M
q-1
związanym z izomorfizmami g0,g1,...,g
automatów
A=
A
( S , ∑, M ) i
A
card( S) = m >2,
B
B
własność:
card I ext q A ∪ B
(
będzie rozszerzeniem stanowym
sumy prostej
A∪ B =
(
A∪ B
( S , ∑, M ) z DFASC takimi, Ŝe:
B
card( S) = n >2,
półgrupa charakterystyczna
(( (
B=
)
S ∑, A ∪ B M
)
B
2
card (Σ ) =2, x0 = σ 0σ 1 , x1 = σ 1σ 0 ; wtedy
I extq ( A ∪ B )
)∗ )
ustalonego analogu rozszerzenia ma
) )∗ ) = 2[m, n, q ]q
Dowód.
Na rys.1 przedstawiono ustalone analogi ((extq(A))* i ((extq(B))* automatów A i B.
(1)
308
Niech:
B
S=
Stanisław BOCIAN
A
S=
{s
B
{s
A
0 B 0
0
1
}
, s ,..., A s m0 − 2 , A s m0 −1 ,..., A s 0q −1 , A s1q −1 ,..., A s mq −−12 , A s mq −−11 ,
0 A 0
0
1
B
, s ,..., s
0
B 0
n−2
n −1
, s
B
,..., s
q −1 B q −1
0
1
, s
B
,..., s
q −1 B q −1
n−2
n −1
, s
Rys. 1 Ustalone analogi ((extq(A))* i ((extq(B))* automatów A i B
}. Wiadomo, Ŝe:
ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY...
ext q ( A ∪ B )
S = { A s 00 , A s10 ,..., A s m0 − 2 , A s m0 −1 ,..., A s 0q −1 , A s1q −1 ,..., A s mq −−12 , A s mq −−11 ,
B
s 00 , B s10 ,..., B s n0− 2 , B s n0−1 ,..., B s 0q −1 , B s1q −1 ,..., B s nq−−12 , B s nq−−11
ext q ( A∪ B )
Po przekształceniu zbioru stanów
automatów A i B pod wpływem litery
ext q ( A ∪ B )
309
fσ 0 =
(
A 1 A 1
1
1
σ0
, s
S q rozszerzenia stanowego sumy prostej
otrzymujemy:
A 1
A 1
m −1
m −1
s , s ,..., s
,..., A s10 , A s10 ,..., A sm0 −1 , A sm0 −1 ,
B 1 B 0
1
1
s , s ,..., B s1n −1 , B s1n −1 ,..., B s10 , B s10 ,..., B sn0−1 , B sn0−1
Po
σ 0σ 0 - krotnej konkatenacji litery σ 0
ext q ( A ∪ B )
(
fσ 0 σ 0 =
A 2 A 2
1
1
s , s ,..., A sm2 −1 , A sm2 −1 ,..., A s11 , A s11 ,..., A s1m−1 , A s1m−1 ,
s , s ,..., B sn2−1 , B sn2−1 ,..., B s11 , B s11 ,..., B s1n −1 , B s1n −1
)
q krotnej konkatenacji litery σ 0 otrzymujemy:
ext q ( A ∪ B )
fσ q =
0
(
s , s ,..., A sm0 −1 , A sm0 −1 ,..., A s11 , A s1q −1 ,..., A smq −−11 , A smq −−11 ,
A 0 A 0
1
1
s , s ,..., B sn0−1 , B sn0−1 ,..., B s1q −1 , B s1q −1 ,..., B snq−−11 , B snq−−11
B 0 B 0
1
1
Po
)
otrzymujemy:
B 2 B 2
1
1
Po
}
(q + 1) - krotnej konkatenacji litery σ 0 otrzymujemy:
ext q ( A ∪ B )
fσ q +1 =
ext q ( A ∪ B )
0
Dla przekształcenia
fσ 0
ext q ( A ∪ B )
fσ 0 pod wpływem q – krotnego działania litery σ 0
otrzymujemy ponownie przekształcenia
analizować
ext q ( A ∪ B )
ext q ( A ∪ B )
przekształcenia
fσ 0σ 0 ,...,
f x0 = (
)
ext q ( A ∪ B )
ext q ( A ∪ B )
ext q ( A ∪ B )
fσ 0 . W dalszych rozwaŜaniach będziemy
fσ 0 .
RozwaŜania
dla
przekształceń
fσ q są analogiczne.
0
A 2 A 2
2
2
s , s ,..., A s02 , A s02 ,..., A s12 , A s12 ,..., A s10 , A s10 ,
B 2 B 2
2
2
s , s ,..., B s02 , B s02 ,..., B s12 , B s12 ,..., B s10 , B s10
)
n
krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
ext q ( A ∪ B )
f x n−2 =
Po
0
A n
A n
A n
A n −1
A n −1
A n −1
 Asn
 m −d 0 s m −d 0 ,..., s m −d 0 − 2 s m −d 0 − 2 ,..., s m−d 0 s m −d 0 ,..., s m −d 0 − 2
k0
k0
k0
k0
k0
k0
k0

 B n B n B n B n
B
B n −1 B n −1
s 0 ,..., B s nn−−12 s nn−−12
 s 0 s 0 ,..., s n −2 s n − 2 ,..., s 0
gdzie zgodnie ze sposobem wyznaczania[m,n]:
A
s mn −−1d 0
k0
−2





310
Stanisław BOCIAN
d0 = m – k0n;
b 0 = n – d 0;
k0 – całkowita wielokrotność liczby n, m; m > n
d1 = m – b0 – k0n;
b1 = n – d1
.
.
.
dw-2 = m – bw-3 – k0n;
bw-2 = n – dw-2
dw-1 = m – bw-2 – k0n = 0
Wtedy [m, n] = mw = p
W przypadku gdy dx < 0; gdzie 0 < x < w–1, to w miejsce bx wpisujemy bezwzględna
wartość liczby dx i obliczenia kontynuujemy dalej.
Gdy n > m to d0= n – k0 m , b0 = m – d0 i dalej postępujemy analogicznie.
Dowód przeprowadzamy zakładając, Ŝe m > n .
n
k0 krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
ext q ( A ∪ B )
f n k0 =
Po
x 02
A nk 0
 A s nk 0 A s nk 0 ,..., A s nk 0
sm − d 0 − 2 ,..., A smnk−0d−01 A smnk−0d−01 ,..., A smnk−0d−01− 2 A smnk−0d−01− 2 
m−d0 −2
 m−d0 m−d0
 B nk B nk

 s0 0 s0 0 ,..., B snnk−02 B snnk−02 ,..., B s0nk 0 −1 B s0nk 0 −1 ,...B snnk−02−1 B snnk−02−1



Po k0 n – krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
ext q A ∪ b
f x k0 n =
0
 A s 2 k 0 n A s 2 k 0 n\ ,..., A s 2 k 0 n A s 2 k 0 n ,..., A s 2 k 0 n −1 A s 2 nk 0 ,..., A s 2 nk 0 A s 2 nk 0 
m − d1 − 2
m − d1 − 2
m − d1
m − d1
m − d1 − 2
m − d1 − 2 
 m − d1 m − d1
 B 2 k n B 2 k n B 2 k n B 2 k n B 2 k n −1 B 2 k n −1 B 2 k n −1 B 2 k n −1

0
0
0
 s0 0 s0 0 ,..., sn −02 sn − 02 ,..., s0 0

s
,...,
s
s
0
n−2
n−2


gdzie zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n ] :
d1 = m – b0 – k0 n ;
b1 = n – d1
wm [m, n]
=
– krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
2
ext q ( A∪ B )
f wm =
Po
x0 2
A wm
A wm
 A s wm
 m− d w −1 s m − d w −1 ,..., s m − d w −1 − 2
 A wm −1 B wm B wm B wm
 s m− d − 2 s 0
s 0 ,..., s n − 2
w −1

s mwm− d−w1−1 ,..., A s mwm− d−w1−1 − 2 

B wm −1
−1 B wm −1

s 0 ,..., B s nwm
s n−2
−2

A
s mwm− d w −1 − 2 ,..., A s mwm− d−w1−1
B
B wm −1
s nwm
− 2 ,..., s 0
gdzie zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n]:
dw-1 = m – bw-2 – k0 n = 0; [m, n] = w m = p.
A
ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY...
Dla dw-1 = 0 moŜemy napisać przekształcenie
ext q ( A ∪ B )
f
wm
311
w następujący sposób:
x0 2
ext q ( A ∪ B )
f
 A s wm A s wm ,..., A s wm A s wm ,..., A s wm −1 A s wm −1 ,..., A s wm −1 A s wm −1 
0
m−2
m−2
0
0
m−2
m−2 
 0
=
B wm
B wm −1 B wm −1
B wm −1 B wm −1 
 B s0wm B s0wm ,..., B snwm
s
,...,
s
s
,...,
sn − 2 sn − 2 
−
2
n
−
2
0
0

wm
x0 2
Po
σ0
wm [m, n]
– krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
=
2
2
i
ext q ( A∪ B )
f
wm
σ 0 x0 2
Po
σ 0q
i
 A s wm +1
 1
=
 B s1wm +1

A
s1wm +1 ,..., A s mwm−1+1
A
s mwm−1+1 ,..., A s1wm
A
s1wm ,..., A s mwm−1
B
+1
s1wm +1 ,..., B s nwm
−1
B
+1
B wm
s nwm
−1 ,..., s1
B
s1wm ,..., B s nwm
−1
s mwm−1 
B wm 
s n −1 
A
wm
krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
 A s wm A s wm ,..., A s wm A s wm ,..., A s wm −1 A s wm −1 ,..., A s wm −1 A s wm −1
1
m −1
m −1
1
1
m −1
m −1
 1
f wm = 
wm
wm −1 wm −1
−1 wm −1
 B s1wm s1wm ,..., snwm
σ 0q x 0 2
s1 ,..., snwm
sn −1
−1 sn −11 ,..., s1
−1

wm
q +1
Po σ 0
i
krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
ext q ( A ∪ B )
ext q ( A ∪ B )
f
f wm
wm =
ext q ( A ∪ B )
σ 0q +1 x 0 2
σ 0q x 0 2
Dla przekształcenia
ext q ( A ∪ B )
f
pod wpływem q – krotnego działania litery σ 0
wm
σ 0 x0 2
otrzymujemy ponownie przekształcenie
extq ( A∪ B )
f
wm
.
σ 0 x0 2
W
dalszych





rozwaŜaniach
RozwaŜania dla przekształceń
będziemy
extq ( A∪ B )
f
analizować
wm
σ 0 x0 2
,...,
ext q ( A ∪ B )
przekształcenie
ext q ( A ∪ B )
f
wm
.
x0 2
f
wm
σ 0q x 0 2
są analogiczne. Z przytoczonych powyŜej rozwaŜań opartych na sposobie wyznaczania
najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb oraz uwzględniając definicję
rozszerzenia stanowego automatu z klasy DFASC2 wynika, Ŝe liczba dotychczas
wygenerowanych przekształceń wynosi q m, n . Dla [m, n] = mw = p.
[
Po
]
p
– krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
312
ext q ( A∪ B )
Stanisław BOCIAN
f
=
p
x02
 q − d0 , 0
 A k1
 s0
 q −d0, 0
 B k1
 s0
q−d0,0
A
s0
k1
q−d0,0
A
,..., s
q −d0, 0
B
s0
k1
k1
m−2
q−d0,0
A
s
q −d0, 0
B
,..., s
k1
n−2
k1
m−2
q−d0,0
A
,..., s 0
q−d0,0
B
s
k1
n−2
k1
q −d0 , 0
B
,..., s 0
k1
−1
−1
q−d0,0
A
s0
k1
q −d0 , 0
B
s0
k1
−1
q−d0,0
A
,..., s
−1
k1
m−2
q −d0 , 0
B
,... s
k1
n−2
q −d0, 0
−1
−1
A
s0
k1 −1
q −d0 , 0
B
s n− 2k1
−1
−1






gdzie zgodnie z nowym sposobem wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności dla
trzech liczb [m, n, q] = [[m, n], q] = [p, q], gdzie: p = [m, n];
k1 - całkowita wielokrotność liczby p w q;
q>p
d0,0 = q – k1p,
b0,0 = p – d0,0 ,
d1,1 = q – b0,0 – k1p,
b1,1 = p – d1,1
.
.
.
dt-2,t-2 = q – bt-3,t-3 – k1p
bt-2,t-2 = p – dt-2,t-2
dt-1,t-1 = q – bt-2,t-2 – k1p = 0
[m, n, q] = [p, q] =[[m, n], q] = q t
W przypadku gdy dx < 0; gdzie 0 < x < t–1, to w miejsce bx wpisujemy bezwzględna
wartość liczby dx i obliczenia kontynuujemy dalej.
Gdy p > q to d0,0 = p – k1 q , b0 = q – d0,0 i dalej postępujemy analogicznie.
Dowód przeprowadzamy zakładając, Ŝe q > p .
p
k 1 – krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
ext q ( A ∪ B )
f p k1 =
Po
x 02
 A s q − d 0 , 0 A s q − d 0 , 0 ,..., A s q − d 0 , 0 A s q − d 0 , 0 ,..., A s q − d 0 , 0 −1 A s q − d 0 , 0 −1 ,...A s q − d 0 , 0 −1 A s q − d 0 , 0 −1 
0
m−2
m−2
0
0
m−2
m−2
 0

 B q − d 0 , 0 B q − d 0 , 0 B q − d 0 , 0 B q − d 0 , 0 B q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1 
 s0

s0
,..., sn − 2
sn − 2 ,..., s0
s0
,... sn − 2
sn − 2


Po pk1 - krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
extq ( A∪ B )
f x pk1 =
0
 A s q − d1,1
 0
 B q − d1,1
 s0

q − d1,1
,..., A s m − 21,1
q − d1,1
,..., B s n − 2 1,1
A
s0
B
s0
q −d
A
s m − 21,1 ,..., A s 0
q −d
q − d1,1 −1 A
q −d
B
s n − 2 1,1 ,..., B s 0q − d1−1 −1
q −d
B
q − d1,1 −1
s0
q − d1,1 −1
s0
q − d −1
s m − 21,1 

B q − d1,1 −1 
s n−2 
q −d
−1 A
q −d
−1
,... A s m − 21,1
,... B s n − 2 1,1
gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n, q] = [[m, n], q] = [p, q]:
d1,1 = q – b0,0 – k1p;
b1,1= p – d1,1
ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY...
313
qt
– krotnej konkatenacji słowa xo otrzymujemy:
2
ext q ( A∪ B )
f qt =
Po
x02
 A s q − d t −1,t −1 A s q − d t −1,t −1 ,..., A s q − d t −1,t −1 A s q − d t −1,t −1 ,..., A s q − d t −1,t −1 −1 A s q − d t −1,t −1 −1 ,..., 
0
m− 2
m −2
0
0
 0

 A q − d t −1,t −1 −1 A q − d1,t −1,t −1 −1 B q − d t −1,t −1 B q − d t −1,t −1

q
−
d
q
−
d
s m−2
s0
s0
,..., B s n − 2 t −1,t −1 B s n − 2 t −1,t −1 ,..., 
 s m− 2


 B s 0q − d t −1,t −1 −1 B s 0q − d t −1,t −1 −1 ,..., B s nq−−2d t −1,t −1 −1 B s nq−−2d t −1,t −1 −1



gdzie zgodnie ze sposobem wyznaczania[m, n, q]:
dt-1,t-1 = q – bt-2,t-2 – kp = 0
Dla dt-1, t-1 =0 moŜemy napisać przekształcenie
ext q ( A ∪ B )
f
qt
w następującej postaci:
x 02
 A s 0 A s 0 ,..., A s 0 A s 0 ,..., A s q −1 A s q −1 ,..., A s q −1 A s q −1 
0
0
m−2
m−2
m−2
m−2 
 0 0
f qt = 

x02
 B s00 B s00 ,..., B sn0− 2 B sn0− 2 ,..., B s0q −1 B s0q −1 ,..., B snq−−12 B snq−−12 


qt
σ0 i
– krotnej konkatenacji słowa
x0 otrzymujemy:
Po
2
 A s1 A s1 ,..., A s1 A s1 ,..., A s 0 A s 0 ,..., A s 0 A s 0 
m −1
m−1
1
1
m−1
m −1 
ext q ( A ∪ B )
 1 1
f qt = 

 B s11 B s11 ,..., B s1n−1 B s1n−1 ,..., B s10 B s10 ,..., B sn0−1 B sn0−1 
σ 0 x 02


qt
q
– krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy
Po σ 0 i
2
 A s 0 A s 0 ,..., A s1 A s1 ,..., A s q −1 A s q −1 ,..., A s q −1 A s q −1 
m −1
m −1
1
1
m −1
m −1 
ext q ( A ∪ B )
 1 1
f qt = 

 B s10 B s10 ,..., B sn01−1 B sn0−1 ,..., B s1q −1 B s1q −1 ,..., B snq−−11 B snq−−11 
σ 0q x 02


qt
q +1
Po σ 0 i
– konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
ext q ( A ∪ B )
ext q ( A ∪ B )
ext q ( A ∪ B )
f
f qt =
fσ
qt =
extq ( A∪ B )
σ 0q +1 x 02
σ 0 x 02
0
Z przytoczonych powyŜej rozwaŜań opartych na sposobie wyznaczania najmniejszej
wspólnej wielokrotności liczba dotychczas wygenerowanych przekształceń wynosi
[m, n, q]. Dla pozostałych przekształceń otrzymujemy:
314
Stanisław BOCIAN
ext q ( A ∪ B )
f
qt
σ 0 x 02
=
ext q ( A ∪ B )
.
.
.
ext q ( A ∪ B )
fσ
0σ 0
.
.
.
f
qt
σ 0q x 02
=
ext q ( A ∪ B )
fσ q +1
0
Stąd liczba wykonywanych przekształceń jest równa q[m, n, q].Identyczną liczbę
przekształceń uzyskamy rozpoczynając przekształcenia zbioru stanów
rozszerzenia stanowego sumy prostej od litery
σ 1 . Zatem otrzymujemy wzór 1.
ext q ( A× B )
S
C.B.D.O.
4. WNIOSKI
Dalsze prace powinny być kontynuowane przy wyznaczaniu złoŜoności półgrup
charakterystycznych automatów asynchronicznych spójnych. Szczegółowe rozpatrywanie
klas automatów asynchronicznych silnie spójnych i spójnych wynika z powszechnego
stosowania tych klas automatów w realizacjach technicznych cyfrowych układów
sterujących. Wykorzystując teorię automatów moŜemy oszacować lub obliczyć złoŜoność
półgrup charakterystycznych automatów. Ma to istotny wpływ na oszacowanie złoŜoności
programów i czasu wizualizacje stanów automatów. Wykorzystując narzędzia
programistyczne PsoC Expres mikrosystemu cyfrowego moŜemy przedstawić model
sterowania pojazdu szynowego w postaci grafu automatu (maszyny stanowej) i realizować
program w oparciu o sporządzony wcześniej graf automatu. UmoŜliwia to analizę graficzną
zjawisk podczas symulacji sterowania pojazdem szynowym.. Mikrosystemy cyfrowe
stosowane są obecnie do sterowania hamulców (tablic pneumatycznych) w lokomotywach i
jednostkach elektrycznych.
5. BIBLIOGRAFIA
[1] Bocian S.: ZłoŜoność półgrupy charakterystycznej automatów asynchronicznych i ich
rozszerzeń, Prace Instytutu Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk nr 552,
Warszawa, 1984.
[2] Bocian S., Mikołajczak.: Computational aspect of assigning characteristic semigroup
asychronous automata and their extensions, Colloqia Mathematica Societatis Janos
Bolyai nr 44,Amsterdam, New York, Budapest, 1985.
[3] Bocian S.: Rozprawa doktorska, Politechnika Poznańska,1986.
[4] Bocian S.: The complexity of semigroup characterization of asynchronous strongly
connected automaton and their extensions, Computational topology and geometry and
computation in teaching mathematic, Universal de Sevilla,1987.
[5] Bocian S.: A new method of calculating the smallest common multiple, Computational
topology and geometry and computation in teaching mathematic, Universal de
Sevilla,1987.
ZŁOśONOŚĆ PÓŁGRUPY CHARAKTERYSTYCZNEJ SUMY...
315
[6] Bocian S.: Nowy sposób wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb
naturalnych, jako model matematyczny automatu w technice komputerowej, Pojazdy
szynowe 1/2002.
[7] Bocian S.: ZłoŜoność pólgrupy charakterystycznej automatów asynchronicznych silnie
spójnych ustalonych analogów ich rozszerzeń związanych z izomorfizmami,
TRANSCOMP - XIII INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS
AIDED SCIENCES, INDUSTRY AND TRANSPORT, Zakopane 2009.
[8] Bocian S.: Nowy sposób wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb
naturalnych, OR – 9834 (praca nie publikowana).
Praca wykonana w ramach Projektu Badawczego KBN nr N N509 398236
„Mikrosystemy cyfrowe do inteligentnego, rozproszonego i współbieŜnego
sterowania pojazdami szynowymi.”