4 J˛ezyki regularne - MiNI PW

4
4
JEZYKI
˛
REGULARNE
Jezyki
˛
regularne
4.1 Zadania
Zadanie 4.1 Wykaż, czy nastepuj
˛ ace
˛ jezyki
˛
sa˛ regularne
L = {ai bj ak : i, j, k ∈ N ∧ i + k ¬ j ¬ 100} nad alfabetem Σ = {a, b}
1. Jezyk
˛
2. Jezyk
˛
L = {ai bj ck : i, j, k ∈ N ∧ i + k ¬ j} nad alfabetem Σ = {a, b, c}
3. Jezyk
˛
L nad alfabetem Σ = {a, b, c}, taki że, każda sekwencja identycznych
liter w słowie jest krótsza niż poprzednia aaabbc ∈ L, aabbaac 6∈ L
Zadanie 4.2 Korzystajac
˛ z twierdzenia Mynhilla–Nerode’a wykaż, że nastepuj
˛ ace
˛
jezyki
˛
sa˛ regularne
L nad alfabetem Σ = {a, b} nie zawierajacy
˛ słów z trzema jednakowy1. Jezyk
˛
mi sasiaduj
˛
acymi
˛
znakami.
aabbaa ∈ L, aaab 6∈ L
2. Jezyk
˛
L nad alfabetem Σ = {0, 1} zawierajacy
˛ słowa w których po wystapie˛
niu dwóch sasiaduj
˛
acych
˛
zer musza˛ wystapić
˛ co najmniej dwie jedynki przed
nastepn
˛ a˛ para˛ zer lub końcem słowa. Sekwencje˛ trzech zer traktujemy jako
jedna˛ pare.
˛
10100101 ∈ L, 10100100 6∈ L
3. Jezyk
˛
L nad alfabetem Σ = {0, 1} zawierajacy
˛ słowa bed
˛ ace
˛ binarna˛ reprezentacja˛ liczb nieparzystych, niezawierajacymi
˛
nieznaczacych
˛
zer.
Zadanie 4.3 Korzystajac
˛ z kontrapozycji lematu o pompowaniu wykaż, że naste˛
pujace
˛ jezyki
˛
nie sa˛ regularne
1. Jezyk
˛
L = {ai bj : i ­ j ­ 1} nad alfabetem Σ = {a, b}
2. Jezyk
˛
L nad alfabetem Σ = {0, 1}, taki że, dla każdej jedynki wystepuj
˛ a˛
cej w słowie suma poprzedzajacych
˛
ja˛ jedynek (wliczajac
˛ rozpatrywana)
˛ jest
wieksza
˛
od poprzedzajacej
˛ ja˛ liczby wystapie
˛ ń par zer
100100101 ∈ L, 0010000100 6∈ L
3. Jezyk
˛
L nad alfabetem Σ = {0, 1}, taki że, liczba wystepuj
˛ acych
˛
we słowie
jedynek ma wspólny podzielnik z liczba˛ zer (różny od 1)
011000 ∈ L, 00101 6∈ L
Marcin Luckner
Matematyka i Nauki Informacyjne
Politechnika Warszawska
22 listopada 2012
5
5
GRAMATYKI BEZKONTEKSTOWE
Gramatyki bezkontekstowe
5.1 Zadania
Zadanie 5.1 Zaprojektuj gramatyk˛e bezkontekstowa˛ dla nastepuj
˛ acych
˛
jezyków
˛
1. {am bn : m ­ n ­ 1}
2. Jezyk
˛
wyrazów nad alfabetem Σ = {0, 1}, których suma jedynek jest wieksza
˛
od liczby poprzedzajacych
˛
je par zer
3. {0n 1n : n ­ 1}
4. {ai bj ck : i 6= j ∨ j 6= k}
5. Jezyk
˛
wyrazów nad alfabetem Σ = {a, b}, które nie maja˛ postaci ww
6. Jezyk
˛
wyrazów nad alfabetem Σ = {0, 1} z dwukrotnie wieksz
˛
a˛ liczba˛ zer
niż jedynek
Zadanie 5.2 Usuń produkcje puste, jednostkowe i symbole bezużyteczne z naste˛
pujacych
˛
gramatyk
1. G = {V = {A, B, S}, T = {a, b}, P, S}
P : S → ASB|C|ǫ
A → aAS|a
B → SbS|A|bb
C → CC|C
2. G = {V = {A, B, C, S}, T = {0, 1}, P, S}
P : S → 0A0|1B1
A→C
B → S|A
C → S|ǫ
3. G = {V = {A, B, C, S}, T = {a, b}, P, S}
P : S → AAA|B
A → aA|B
B→ǫ
C→b
4. G = {V = {A, B, C, D, E, S}, T = {a, b}, P, S}
P : S → aAa|bBb|ǫ
A → C|a
B → C|b
C → CDE|ǫ
D → A|B|ab
Zadanie 5.3 Przekształć wyniki z zadania 5.2 do postaci normalnej Chomskiego
Marcin Luckner
Matematyka i Nauki Informacyjne
Politechnika Warszawska
22 listopada 2012
5.1
Zadania
5
GRAMATYKI BEZKONTEKSTOWE
Zadanie 5.4 Przekształć do postaci normalnej Greibach
1. Wyniki z zadania 5.2
2. Wyniki z zadania 5.3
3. G = {V = {A, B, S}, T = {a, b}, P, S}
P : S → AB|BA
A → ABb|BBa
B→b
Marcin Luckner
Matematyka i Nauki Informacyjne
Politechnika Warszawska
22 listopada 2012