Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra InŜynierii Systemów Sterowania
Teoria sterowania
Odtwarzanie wektora stanu – obserwator Luenbergera
Zadania do ćwiczeń laboratoryjnych – termin T5
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inŜ.
Robert Piotrowski, dr inŜ.
Wskazówki:
Jako materiały pomocnicze naleŜy traktować materiały wykładowe z przedmiotu Teoria
sterowania.
Zadanie
Liniowy system otwarty opisany jest równaniami stanu i wyjścia postaci:
x& ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t )
y ( t ) = Cx ( t )
(1)
gdzie:
 −100 0 0 
1000 


A= 1
−9 0  , B =  0  , C = [0 0 0.4]
 0
 0 
1 0 
(2)
a) Wykorzystując środowisko MATLAB, zbadaj czy dla systemu (1) moŜliwa jest
synteza ciągłego obserwatora Luenbergera.
b) JeŜeli wynik w punkcie a jest pozytywny, zaprojektuj ciągły obserwator
Luenbergera (macierz G) o następujących wartościach własnych:
s 1 = −14 , s 2 = −28 , s 3 = −36
(3)
Wykonaj obliczenia analityczne i sprawdź je w środowisku MATLAB.
c) Wykorzystując środowisko MATLAB zamodeluj układ złoŜony z systemu (1)
oraz ciągłego obserwatora Luenbergera uzyskanego w punkcie b.
d) Sprawdź działanie zamodelowanego układu przeprowadzając symulację przy
niezerowych warunkach początkowych obiektu x ( t = 0 ) ≠ 0 oraz zerowych
warunkach początkowych obserwatora ciągłego xˆ ( t = 0 ) = 0 . Na osobnych
wykresach przedstaw przebiegi poszczególnych par: zmienna stanu systemu
(1) oraz jej estymata. Dodatkowo, dla kaŜdej z par, wykreśl przebiegi błędu
estymacji. Jaki wpływ na początkowy przebieg estymat ma rozbieŜność
warunków początkowych obiektu i obserwatora?
e) Dokonaj dyskretyzacji systemu (1) (metoda ‘zoh’) oraz przeliczenia zadanych
wartości własnych dotyczących obserwatora ciągłego na odpowiadające im
wartości własne obserwatora dyskretnego. Przyjmij okres próbkowania
Ts = 0.011 s .
f) Powtórz punkty a–d zastępując ciągły system (1), uzyskanym w punkcie e
zdyskretyzowanym odpowiednikiem oraz ciągły obserwator, dyskretnym
obserwatorem Luenbergera. Wykorzystaj uzyskane w punkcie e zadane
wartości własne obserwatora. Przyjmij warunki początkowe x(k = 0) ≠ 0 oraz
xˆ ( k = 0 ) = 0 .
2
g) Powtórz punkty a–d wykorzystując ciągły system (1) oraz uzyskany w punkcie
f dyskretny obserwator Luenbergera. Przyjmij warunki początkowe
x ( t = 0 ) ≠ 0 oraz xˆ ( k = 0 ) = 0 .
h) Omów i porównaj działanie zamodelowanych układów obserwacji stanu.
3