V. Równanie przewodnictwa cieplnego

SPIS TREŚCI
1
V. Równanie przewodnictwa cieplnego
Spis treści
1 Konstrukcja rozwiązania
2
2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania
7
3 Zasada maksimum i jej konsekwencje
10
4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego
14
5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych
16
6 ∗Dygresja probabilistyczna
20
1 Konstrukcja rozwiązania
2
Rozważmy zagdanienie początkowe Cauchy’ego



ut = ∆x u
dla x ∈ Rn , t > 0,


u
= φ
dla x ∈ Rn , t = 0.
(1)
Zakładamy, że funkcja φ (poczatkowy rozkłąd temperatury) jest ograniczona i ciągła na Rn .
Rozwiązaniem zagadnienia (1) nazywamy funkcję u, która należy do przestrzeni
C 2 (Rn × (0, +∞)) ∩ C 0 (Rn × [0, +∞))
i spełnia warunki z (1), tzn. u jest ciągła na półprzestrzeni domkniętej, a jej obcięcie do półprzestrzeni
otwartej jest funkcją klasy C 2 .
1
Konstrukcja rozwiązania
Dla x ∈ Rn , t > 0 określmy funkcję:
||x||2
1
−
.
E (x, t) = n
n exp
4t
2 (πt) 2
Lemat 1.1.
Funkcja E ma nstępujace własności:
1.
Rn
E (x, t) dx = 1 dla każdego t > 0;
2. limt→0
Rn
ψ(x)E (x, t) dx = ψ(0) dla każdej funkcji ψ ∈ C01 (Rn ) (C01 (Rn ) jest podzbiorem
C 1 (Rn ) złożonym z tych funkcji, których nośniki są zbiorami zwartymi zawartmi w Rn );
3. Et = ∆x E w Rn × (0, ∞).
Dowód.
Niech yi =
x√i
,
2 t
dla i = 1, 2, ... , n. Otrzymujemy wtedy
1
E (x, t) dx = n
n
Rn
2 (πt) 2
||x||2
exp −
4t
Rn
dx =
√ n
1
t)
n (2
2n (πt) 2
Rn
exp(−||y ||2) dy =
1 Konstrukcja rozwiązania
3
n
2n t 2
= n
n
2 (πt) 2
Rn
e
1
dy = n
π2
−||y ||2
e
Rn
−||y ||2
caki iterowane
dy
=
||y ||2 = y12 + y22 + ... + yn2
2
2
2
2
e −||y || = e −y1 e −y2 ... e −yn
n
1
√
π
i =1
=
R
e
−yi2
dyi =
1 √
√
π = 1,
π
i =1
n
co dowodzi pierwszej własności.
Weźmy teraz dowolne ψ ∈ C01 (Rn ). Wtedy istnieje stała K (z tw. o wartości średniej = supy |∇ψ(y )|))
taka, że
|ψ(x) − ψ(0)| K ||x||
dla x ∈ Rn .
Zatem możemy napisać z jednej strony
ψ(0) = ψ(0) · 1 = ψ(0)
Rn
E (x, t) dx =
Rn
ψ(0)E (x, t) dx,
a z drugiej strony
ψ(0) −
Rn
E (x, t)ψ(x) dx =
Rn
E (x, t)(ψ(x) − ψ(0)) dx ||x||2
exp −
||x|| dx =
4t
Rn
K
n
n
2 (πt) 2
√
x=2y t
skoczona caka √
√ n √ √ K
−||y ||2
−||y ||2
¯ t→0
=
t) (2 t)
e
||y || dy = K̄ t
e
||y || dy
=
K̄
n (2
n
n
n
R
R
2 (πt) 2
przy t → 0, co daje własność drugą.
n
Aby wykazać własność trzecią, zdefiniujmy Ẽ = 2n π 2 E . Wtedy
Ẽ = t
i mamy kolejno
− n2
n n
||x||2
Ẽt = − t − 2 −1 exp −
2
4t
Ẽxi = t
Ẽxi xi = t
Stąd
− n2
||x||2
exp −
4t
Ẽt − ∆x Ẽ = t
− n2
||x||2
exp −
4t
=t
− n2
− n2
||x||2
exp −
,
4t
+t
− n2
||x||2
exp −
4t
||x||2
exp −
4t
·
−xi
,
2t
−1
||x||2
n
·
+ t − 2 exp −
2t
4t
·
||x||2
,
4t 2
−xi
·
2t
n
n 1 ||x||2
||x||2
− n2
+
· −
−
t
exp
−
2t
4t 2
4t
i =1
||x||2
exp −
4t
n
n 1 ||x||2 1
+
· −
−
−
2
2t
4t
2t
i =1
a jednocześnie
n
Ẽt − ∆x Ẽ = 2n π 2 (Et − ∆x E ),
czyli zachodzi własność trzecia.
2
.
xi2
−
= 0,
2
i =1 4t
n
x2
1
· − + i2 +
2t 4t
1 Konstrukcja rozwiązania
4
Wprowadźmy teraz nową przestrzeń funkcyjną L∞ (Rn ), tzw. przestrzeń funkcji istotnie ograniczonych
na Rn , tzn.
f ∈ L∞ (Rn ) ⇐⇒ sup |f (x)| < ∞ dla µ(Rn \ Ω) = 0,
x∈Ω
gdzie µ jest miarą Lebesque’a. Oznacza to, że sup |f (x)| < ∞ prawie wszędzie na Rn . Oznacza to
również, że funkcje są określone prawie wszędzie na Rn , przy czym utożsamaimy ze sobą każde dwie
funkcje f i g , jeśli f = g prawie wszędzie na Rn .
W przestrzeni tej wprowadzamy normę
||f ||∞ := essupx∈Rn |f (x)| = inf {K > 0 : |f (x)| K p.w. w Rn }
Możemy teraz sformułować twierdzenie.
Twierdzenie 1.1. (o postaci rozwiązania)
Jeśli φ ∈ C 0 (Rn ) ∪ L∞ (Rn ), to
u(x, t) =





Rn
φ(y )E (x − y , t) dy
φ(x)
dla t > 0,
(2)
dla t = 0
jest funkcją ciągłą na Rn × [0, +∞), klasy C ∞ na Rn × (0, +∞) i spełnia zagadnienie Cauchy’ego
(1).
Uwaga 1.1.
Całkę w powyższym wzorze, tzn. u(x, t) =
Rn
φ(y )E (x − y , t) dy dla t > 0 nazywa się splotem i
oznacza symbolem φ ∗ E i odtąd będziemy dalej pisali u = φ ∗ E , mając na myśli ten wzór.
Dowód.
Dowód twierdzenia.
Na podstawie lematu 1.1 wnioskujemy, że całka jest dobrze określona, a ponadto mamy
|u(x, t)| Rn
|φ(y )||E (x − y , t)| dy ||φ||∞
Rn
|E (x − y , t)| dy =
1 Konstrukcja rozwiązania
5
= ||φ||∞
Rn
E (x − y , t) dy = ||φ||∞ · 1 = ||φ||∞
dla t > 0 i
|u(x, t)| ||φ||∞
dla t = 0.
Ponadto funkcja podcałkowa zależy od (x, t) w sposób gładki, a ze względu na szybko gasnący czynnik
exp − ||x||
4t
2
, który uzbieżnia całkę, można pod znakiem całki wykonać różniczkowanie dowolną ilość
razy (sprawdzić to!), czyli u ∈ C ∞ (Rn × (0, ∞)).
Pozostaje sprawdzić ciągłość u w punktach postaci (a, 0), gdzie a ∈ Rn , czyli wykazać, że
u(x, t) → u(a, 0) = φ(a) dla (x, t) → (a, 0).
Ponieważ φ jest ciągłe, ograniczymy się do przypadku t = 0. Mamy więc z jednej strony
φ(a) = φ(a) · 1 = φ(a) ·
E (x − y , t) dy =
Rn
Rn
φ(a)E (x − y , t) dy ,
a z drugiej strony
|u(x, t) − φ(a)| =
||z||δ
Rn
|φ(y ) − φ(a)|E (x − y , t) dy =
|φ(x − z) − φ(a)|E (z, t) dz +
||z||>δ
Rn
|φ(x − z) − φ(a)|E (z, t) dz =
|φ(x − z) − φ(a)|E (z, t) dz = I1 + I2
Szacujemy I1 :
Weźmy > 0 i δ dobierzmy tak, by |φ(ξ) − φ(a)| <
2
dla ||ξ − a|| < 2δ. Wtedy dla ||x − a|| < δ i
||z|| < δ mamy ||(x − z) − a|| < 2δ, więc |φ(x − z) − φ(a)| 2 . Stąd
I1 ||z||δ
E (z, t) dz · 1 = .
2
2
2
Szacujemy I2 :
I2 2||φ||∞
||z||>δ
|φ(x − z)|E (z, t) dz +
||z||>δ
E (z, t) dz = 2||φ||∞
1
n n
= 2||φ||∞ n
n 2 t2
2 (πt) 2
δ
||y ||> 2√
t
||z||>δ
||z||>δ
|φ(a)|E (z, t) dz ||z||2
1
−
n exp
4t
2n (πt) 2
2||φ||∞
exp(−||y || ) dy =
n
π2
2
√
n
z=2 ty , dz=2n t 2 dy
dz
δ
||y ||> 2√
t
=
exp(−||y ||2) dy .
1 Konstrukcja rozwiązania
6
2
Ponieważ ostatnia całka jest zbieżna po całym Rn i e −||y || jest funkcją klasy L1 (Rn ), to dla dostatecznie małego t → 0+ ta całka zbiega do 0 (całkujemy po zewnętrzu kuli o r → ∞). Zatem I2 → 0
przy t → 0+ , więc możemy napisać
I2 .
2
Z tych dwóch oszacowań wynika, że jeśli (x, t) → (a, 0), to
|u(x, t) − u(x, 0)| = |u(x, t) − φ(a)| < .
Na koniec mamy jeszcze u(x, 0) = φ(x) z definicji, a spełnienie równania ut = ∆x u dla t > 0 wynika
z ostatniej własności w lemacie 1.1
Z rozważań tych widać, że zagadnienie Cauchy’ego dla równania przewodnictwa cieplnego zawsze
ma przynajmniej jedno rozwiązanie i jest ono klasy C ∞ . Przypomnijmy tutaj, że dla równań falowych
rozwiązanie było jedynie klasy C 2 i potrzebne były mocniejsze założenia o danych początkowych.
Ponadto uzyskaliśmy oszacowanie |u(x, t)| ||φ||∞, ale łatwo zauważyć, że
|u(x, t)| sup φ,
co oznacza fizycznie, że w żadnym punkcie i w żadnej chwili temperatura nie może być większa niż
maksymalna temperatura w chwili początkowej.
Zauważmy dodatkowo, że jeśli φ jest nieujemną funkcją ciągłą o zwartym nośniku i φ > 0 w pewnej
kuli B, to dla dowolnego t > 0 i dowolnego x ∈ Rn , mamy
u(x, t) =
Rn
φ(y )E (x − y , t) dy B
φ(y )E (x − y , t) dy > 0
(bo funkcja podcałkowa jest dodatnia). Nierównośc ta zachodzi nawet dla bardzo małych t > 0 i
nawet dla tych x, które leżą bardzo daleko od nośnika φ (tzn. od miejsca, gdzie “na początku nie
ma mrozu”). Zatem równanie ut − ∆x u = 0 przewiduje, że ciepło rozprzestrzenia się z nieskończona
prędkością! Z punktu widzenia fizyka jest to poważna wada tego modelu, więc w zastosowaniach
rozpatruje się bardziej zawiłe równania nieliniowe, dla których prędkość propagacji zaburzeń jest
skończona.
2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania
2
7
Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania
Skąd się wzięła funkcja E , służąca do konstrukcji rozwiązania? Rachunki wykonane w poprzednim
paragrafie są wprawdzie elementarne, ale nie są oczywiste. Funkcja E pojawia się znikąd. Jeśli jednak
umie się wykorzystać transformatę Fouriera, to postać rozwiązania można uzyskać bezpośrednio (przy
okazji dostając postać funkcji E ). Niemniej jednak, ponieważ ten wykład nie jest poświęcony teorii
transformaty, więc ograniczymy się tutaj tylko do niezbędnego minimum - wszystkie rachunki będą
przedstawione niezbyt rygorystycznie.
Określmy najpierw transformatę. Jeśli f jest ciągłą całkowalną funkcją, to transformata Fouriera
funkcji f jest zdefiniowana formułą:
1
F [f ](ω) = √
2π
∞
−∞
f (x)e −i ωx dx,
gdzie i jest liczbą urojoną. Aby skrócić ten może nieco przydługi zapis będziemy pisać:
F [f ] = fˆ.
Tak określona transformata posiada następujące własności:
• F jest przekształceniem różnowartościowym i na, zatem można je odwrócić. Przekształcenie
odwrotne F −1 [f ] będziemy krótko oznaczać symbolem fˇ.
• Jeśli f znika w ±∞, to całkując przez części, dostajemy
1
F [fx ](ω) = √
2π
∞
−∞
fx (x)e
−i ωx
∞
1
iω
dx = √ f (x)e −i ωx + √
2π
2π
−∞
∞
−∞
f (x)e −i ωx dx = i ωF [f ](ω).
• Jeśli również pochodne f względem x znikają w ±∞, to całkując dwa razy przez części,
dostajemy
F [fxx ](ω) = −ω 2 F [f ](ω).
Widzimy więc, że transformata przekształca różniczkowanie do prostszej postaci - mnożenia transformaty przez liczbę.
Przypomnijmy teraz, że jeśli f i g są dwiema całkowalnymi funkcjami takimi, że f (x)g (y − x)
jest całkowalne dla dowolnego y , to splotem tych dwóch funkcji nazywamy
(f ∗ g )(y ) =
∞
−∞
f (x)g (y − x) dx =
∞
−∞
f (y − x)g (x) dx.
2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania
8
Jak przy różniczkowaniu, transformata Fouriera przekształca splot do prostszej operacji, mianowicie
algebraicznego mnożenia transformat Fouriera dwóch funkcji. Istotnie, policzmy:
1
F [f ∗ g ](ω) = √
2π
∞ ∞
−∞
−∞
f (x)g (y − x) dx e −i ωy dy =
∞
∞
1
f (x)
g (y − x)e −i ωy dy dx =
=√
−∞
2π −∞
∞
∞
1
−i ωx
−i ω(y −x)
f (x)e
g (y − x)e
dy dx =
=√
−∞
2π −∞
y −x=z √
∞
∞
1
1
−i ωx
−i ωz
=
2π √
f (x)e
dx · √
g (z)e
dz =
2π −∞
2π −∞
√
= 2πF [f ](ω)F [g ](ω).
Stąd oczywiście
1
F −1 [fˆ · ĝ ] = √ · f ∗ g .
2π
Ostatnią własnością transformaty Fouriera, której potrzebujemy, jest transformata Fouriera funkcji
2
e −ax , a > 0. Policzmy w tym celu
F [e
−ax 2
1
](ω) = √
2π
∞
−ω 2
e 4a
e −i ωx dx = √
2π
∞
−∞
e
−
√
ω
ax+ 2i√
a
2
√
ax=t
e
dx = √
−ω 2
4a
∞
ω
− t+ 2i√
a
2
e
dt.
2πa −∞
√
∞ −p 2
Ostatnia całka wygląda podobnie do całki −∞
e
dp, która jest równa π, ale mamy w niej
−∞
e
−ax 2
zmienną zespoloną, a nie rzeczywistą. Nie wiemy, czy obie całki sa równe. Aby się o tym przekonać
rozważmy następującą całkę
IR =
2
γR
e −z dz,
gdzie z jest zmienną zespoloną i γR obiega prostokąt o bokach zbudowanych z dwóch poziomych
odcinków: części osi rzeczywistej R < t < R, części t +
±R + it dla 0 < t <
ω
√
,
2 a
i√
ω
2 a
i dwóch pionowych odcinków: z =
gdzie R jest liczbą całkowitą. Obieganie prostokąta przebiega w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (brzeg prostokąta jest dodatnio zorientowany).
2 Wykorzystanie transformaty Fouriera do konstrukcji rozwiązania
9
2
Ponieważ z → e −z jest funkcją całkowitą (zobacz [7]), to z twierdzenia Cauchy’ego dla prostokąta
mamy z jednej strony, że
0 = IR ,
a z drugiej strony, wykonując elemeentarne rachunki, mamy
0 = IR =
R
−R
e
−t 2
dt −
R
−R
e
ω
− t+ 2i√
a
2
dt −
ω
√
2 a
0
e
−(−R+it)2
dt +
0
ω
√
2 a
2
e −(R+it) dt.
(3)
Następnie zauważmy, że
ω
2√a
2
e −(±R+it)
0
dt ω
√
2 a
0
−R 2 ±2iRt −t 2 e
e
e dt e −R
2
ω
√
2 a
0
ω R→∞
2
1 dt = e −R √ → 0,
2 a
2
bo |e −t | 1 i e ±2iRt | = 1. Przechodząc w (3) do granicy przy R → ∞ dostajemy
0=
∞
−∞
e
−t 2
dt −
∞
−∞
e
ω
− t+ 2i√
a
2
dt,
co daje równość całek po prawej stronie, więc w efekcie
∞
−∞
e
ω
− t+ 2i√
a
2
dt =
√
π.
Stąd ostatecznie
ω2
F [e
−ax 2
e − 4a
](ω) = √
2πa
∞
−∞
e
ω
− t+ 2i√
a
2
ω2
ω2
e − 4a √
e − 4a
dt = √
π= √
2πa
2a
i stąd również
x2
1
2
F −1 [e −aω ](x) = √ e − 4a .
2a
Po tych wstępach rozważmy jednowymiarowy problem



ut = uxx


u
= φ
dla x ∈ R, t > 0,
dla x ∈ R, t = 0.
Zastosujemy transformatę Fouriera do obu równań w tym układzie. Dostaniemy wtedy z pierwszego
kolejno
1
F [ut ](ω) = √
2π
∞
−∞
ut (x, t)e
−i ωx
1 ∂
dx = √
2π ∂t
∞
−∞
u(x, t)e −i ωx dx =
F [uxx ](ω) = −ω 2 F [u](ω),
czyli
∂
F [u](ω) = F [uxx ](ω),
∂t
∂
F [u](ω),
∂t
3 Zasada maksimum i jej konsekwencje
10
a to oznacza, że ût = −ω 2 û, czyli ût + ω 2 û = 0 dla ω ∈ R, t > 0. Natomiast z drugiej równości
dostajemy
û(ω, 0) = φ̂(ω).
Zbierając te wyniki razem, mamy



ût + ω 2 û = 0,


û(ω, 0) = φ̂(ω).
Pierwsze równanie jest równaniem I rzędu o rozdzielonych zmiennych, czyli jego rozwiązanie jest
postaci
û(ω, t) = C (ω)e −ω
2t
i z warunku początkowego C (ω) = φ̂(ω), więc mamy
2
û(ω, t) = φ̂(ω)e −ω t .
Aby mieć więc teraz rozwiązanie na u, należy zapisać u = F −1[û], czyli
2
u(x, t) = F −1 [φ̂(ω)e −ω t ] =
−x 2
1
1
= √ φ ∗ e 4t = √
2 πt
2 πt
∞
−∞
e
√
−(x−y)2
4t
2
2πF −1 [φ̂] ∗ F −1 [e −ω t ] =
φ(y ) dy =
∞
−∞
φ(y )E (x − y , t) dy
dla t > 0, w przypadku jednowymiarowym.
3
Zasada maksimum i jej konsekwencje
W rozdziale tym spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, czy rozwiązanie równania przewodnictwa cieplnego jest jednoznaczne.
Lemat 3.1. (Słaba zasada maksimum)
Niech ΩT := Rn × (0, T ). Załóżmy, że u ∈ C 2 (ΩT ) ∩ C 0 (Ω̄T ) ∩ L∞ (ΩT ) spełnia w ΩT równanie
ut = ∆x u. Wtedy
sup u(x, t) = sup u(x, 0)
(x,t)∈ΩT
x∈Rn
(4)
3 Zasada maksimum i jej konsekwencje
11
Dowód.
Niech
M := sup u,
ΩT
N := sup u.
Rn ×{0}
Wtedy oczywiście M N. Przypuśćmy zatem, że teza jest fałszywa i M > N. Weźmy > 0, <
1
(M
3
− N). Z definicji kresu górnego wynika, że istnieje taki punkt (a, t0 ) ∈ ΩT , że
u(a, t0 ) > N + 3 dla t0 < T .
Rozpatrzmy funkcję
w (x, t) = u(x, t) − α(2nt + ||x||2),
α > 0.
Ustalmy następnie α > 0 na tyle małe, by w (a, t0 ) > N + 2. Mamy wtedy
w (x, t) M − α||x||2 N dla ||x||2 M −N
.
α
(5)
Oznaczmy R = ||x|| i załóżmy, że a ∈ B(0, R) (w razie potrzeby powiększamy R). Z definicji w
wynika, że
w (x, 0) = u(x, 0) − α||x||2.
(6)
Ponadto różniczkując w , dostajemy kolejno:
wt = ut − 2αn, ∆x w = ∆x u − 2αn,
więc wt = ∆x w .
Niech teraz K bedzie walcem B(0, R) × [0, T1] , gdzie T1 ∈ (t0 , T ) i niech Σ := (B(0, R) × {0}) ∪
(∂B(0, R) × [0, T1]) oznacza sumę dolnego denka i powierzchni bocznej walca K . Wtedy z (5) i (6)
wynika, że
sup w N.
Σ
2
Połóżmy h(x, t) = w (x, t) + β||x|| . Jeśli β jest dostatecznie małą liczbą dodatnią, to
sup h N + .
Σ
Funkcja h : K → R osiąga swój kres górny. Ponieważ h(a, t0 ) w (a, t0 ) > N + 2, to albo h osiaga
kres górny w pewnym punkcie wnętrza K , albo na górnym denku B(0, R) × {T1 } (na zbiorze Σ jej
wartości są zbyt małe). W pierwszym przypadku w punkcie maksimum lokalnego mamy
ht = wt = 0,
∆x h 0
(z warunku koniecznego i warunku wystarczajacego maksimum), a stąd
∆x w = ∆x h − 2nβ < 0 = wt ,
3 Zasada maksimum i jej konsekwencje
12
co przeczy temu, że w spełnia równanie przewodnictwa cieplnego. W drugim przypadku rozumujemy
podobnie, z jedna różnicą: mamy tylko
ht = wt 0,
ale to i tak wystarczy, by (jak poprzednio) uzyskać sprzeczność.
Lemat 3.2. (Słaba zasada minimum)
Niech ΩT := Rn × (0, T ). Załóżmy, że u ∈ C 2 (ΩT ) ∩ C 0 (Ω̄T ) ∩ L∞ (ΩT ) spełnia w ΩT równanie
ut = ∆x u. Wtedy
inf
(x,t)∈ΩT
u(x, t) = infn u(x, 0).
x∈R
(7)
Dowód.
Wystarczy do tezy lematu o słabej zasadzie maksimum podstawić −u w miejsce u (jeśli u jest
rozwiązaniem, to −u też).
Twierdzenie 3.1.
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego



ut = ∆x u


u
= φ
dla x ∈ Rn , t > 0,
dla x ∈ Rn , t = 0, φ ∈ C 0 (Rn ) ∩ L∞ (Rn )
istnieje, jest funkcją gładką i jest jednoznaczne w klasie tych u ∈ C 2 (Rn × (0, ∞)) ∩ C 0 (Rn , [0, ∞)),
które spełniają warunek
∀T >0 ,
sup |u| < +∞
Rn ×[0,T ]
(8)
Dowód.
Dowodu wymaga tylko jednoznaczność, ale wystarczy zastosować lemat o słabej zasadzie maksimum
do różnicy dwóch rozwiązań.
3 Zasada maksimum i jej konsekwencje
13
Uwaga 3.1.
• W istocie jednoznaczność można udowodnić przy nieco słabszych założeniach, tzn. wystarczy
przyjąć, że dla dowolnego T > 0 istnieją stałe CT , αT > 0 takie, że
|u(x, t)| CT exp αT ||x||2
dla (x, t) ∈ Rn × [0, T ] .
• Jeśli nie zakłada się nic prócz gładkości rozwiązań (tzn. nie narzuca się żadnych ograniczeń na
wzrost u dla ||x|| → ∞), to wtedy jednoznaczności rozwiązań nie ma. (Przykład podał
Tichonow, np. w T. Körner: “Fourier Analysis”).
• Tak naprawdę zagadnienie Cauchy’ego ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale każde z nich
oprócz funkcji u ≡ 0 rośnie bardzo szybko dla ||x|| → ∞.
Zasada maksimum pozwala również uzyskać stabilność rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego (czyli
jedną z cech zagadnienia dobrze postawionego), mówiącą o tym, że mała zmiana danych początkowych implikuje małą zmianę rozwiązania.
Twierdzenie 3.2.
Niech u1 , u2 oznaczają dwa rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego z danymi φ1 , φ2 odpowiednio. Wtedy
dla dowolnego T > 0 zachodzi
sup |u1 (x, t) − u2 (x, t)| = sup |φ1(x) − φ2 (x)|.
(x,t)∈ΩT
x∈Rn
Dowód.
Z założenia wynika, że różnica u1 − u2 spełnia zagadnienie Cauchy’ego z warunkiem φ = φ1 − φ2 . Z
zasady maksimum dostajemy
sup |u1 (x, t) − u2 (x, t)| = sup |u1 (x, 0) − u2 (x, 0)| = sup |φ1(x) − φ2 (x)|.
(x,t)∈ΩT
x∈Rn
x∈Rn
4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego
4
14
Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego
Rozważmy zagadnienie



ut = ∆x u + h


u
= φ
dla x ∈ Rn , t > 0,
(9)
dla x ∈ Rn , t = 0.
Zakładamy, że φ jest ciągła i ograniczona na Rn , a h jest ciągła i ograniczona na Rn × [0, ∞).
Jak w przypadku poprzednich równań niejednorodnych, rozwiązania poszukamy w postaci sumy u =
v + w , gdzie v i w spełniają odpowiednio:



vt = ∆x v
dla x ∈ Rn , t > 0,



wt = ∆x w + h
dla x ∈ Rn , t > 0,


v
= φ
dla x ∈ Rn , t = 0,


w
dla x ∈ Rn , t = 0.
= 0
(10)
Wiemy już, jak znaleźć v . Wystarczy przyjąć v = φ ∗ E .
Zdefiniujmy teraz funkcję
w (x, t) :=
t
Rn
0
h(y , s)E (x − y , t − s) dyds.
(11)
Sprawdzimy, że w spełnia równanie wt − ∆x w = h dla t > 0. Zatem dla t > 0 policzymy kolejne
pochodne.
wt (x, t) =
t
0
Rn
h(y , s)Et (x − y , t − s) dyds + lim
τ →0 Rn
lemat 1.1 t
=
0
Rn
Dalej
∆x w (x, t) =
h(y , t)E (x − y , τ ) dy =
h(y , s)Et (x − y , t − s) dyds + h(x, t).
t
0
Rn
h(y , s)∆x E (x − y , t − s) dyds,
więc
=
wt (x, t) − ∆x w (x, t) =
t
Rn
0
= h(x, t) +
h(y , s)Et (x − y , t − s) dyds + h(x, t) −
t
0
Rn
t
0
Rn
h(y , s)∆x E (x − y , t − s) dyds =
h(y , s)(Et (x − y , t − s) − ∆x E (x − y , t − s)) dyds
lemat 1.1
=
h(x, t) + 0 = h(x, t)
dla t > 0, x ∈ Rn .
Wystarczy sprawdzić jeszcze, że w określone równaniem (11) jest funkcją ciągłą w punktach Rn ×{0}.
Policzmy zatem
|w (x, t) − w (x, 0)| = |w (x, t) − 0| =
t 0
Rn
h(y , s)E (x − y , t
− s) dyds 4 Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego
t
0
sup |h|
Rn
E (x − y , t − s) dyds
15
lemat 1.1
=
t sup |h|→ 0 przy t → 0.
Dostajemy stąd natychmiast lemat.
Lemat 4.1.
Funkcja w określona równaniem (11) jest rozwiązaniem drugiego zagadnienia w (10).
Pozostaje pytanie, skąd w ogóle wzięła się postać w w (11)? Możemy tutaj również stosować zasadę
Duhamela i rozważać funkcję
t
w (x, t) =
0
w (x, t − s, s) ds,
która spełnia wt − ∆x w = h, w (x, 0) = 0, o ile w (x, t, s) jest rozwiązaniem zagadnienia



wt


w (x, 0, s) = h(x, s)
= ∆x w
dla x ∈ Rn , t > 0,
dla x ∈ Rn , t = s.
Istotnie, w (x, 0) = 0 jest oczywiste, a różniczkując w = w (x, t), dostajemy kolejno:
wt (x, t) = w (x, 0, t) +
t
0
wt (x, t − s, s) ds = h(x, t) +
t
∆x w (x, t) =
0
t
0
wt (x, t − s, s) ds,
∆x w (x, t − s, s) ds.
Stąd
wt (x, t) − ∆x w (x, t) = h(x, t)
dla wszystkich x, t.
A więc, jak w przypadku równania falowego, tutaj też wystarczy rozwiązać nieskończoną rodzinę
zagadnień Cauchy’ego dla powyższego jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego, indeksowaną
parametrem s. Jej rozwiązaniem jest
w (x, t, s) =
czyli
w (x, t − s, s) =
i stąd dostajemy
w (x, t) :=
Rn
t
0
Rn
Rn
h(y , s)E (x − y , t) dy ,
h(y , s)E (x − y , t − s) dy
h(y , s)E (x − y , t − s) dyds,
5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych
16
czyli postać (11).
Możemy zatem przedstawić ogólną postać rozwiązania równania niejednorodnego jako:
u(x, t) =
Rn
φ(y )E (x − y , t) dy +
t
0
Rn
h(y , s)E (x − y , t − s) dyds.
Uwaga 4.1.
Jednoznaczność rozwiązania zagadnienia (9) w klasie funkcji opisanej w twierdzeniu 3.1, tzn. w
klasie takich funkcji u, że u ∈ C 2 (Rn × (0, ∞)) ∩ C 0 (Rn , [0, ∞)), które spełniają warunek (8),
wynika natychmiast z jednoznaczności rozwiązań dla h ≡ 0. Stabilność natomiast wynika z faktu, że
u1 − u2 spełnia zagadnienie Cauchy’ego z funkcjami h ≡ 0 i φ = φ1 − φ2 .
5
Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych
Niech Ω ⊂ Rn będzie teraz ograniczonym otwartym podzbiorem, a ΩT = Ω × (0, T ) dla pewnego
T > 0 bedzie dziedziną “przestrzenno-czasową”. Wprowadźmy następujace oznaczenia:
ΩT = (x, t) : x ∈ Ω̄, 0 t T ,
ΓT = Ω̄ × {t = 0} ∪ (∂Ω × [0, T ]) .
Jak poprzednio, rozważać będziemy równanie
ut = ∆x u.
(12)
Możemy sformułować, jak poprzednio, słabą własność maksimum i minimum. Różnica jest taka, że
nie jest nam teraz potrzebne żadne ograniczenie na wzrost funkcji u.
5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych
17
Lemat 5.1. (Słaba zasada maksimum (minimum))
Załóżmy, że u ∈ C 2 (ΩT ) ∩ C 0 (Ω̄T ) spełnia w ΩT równanie (12). Wtedy
max u(x, t) = max u(x, t).
(13)
(x,t)∈ΓT
(x,t)∈Ω̄T
Jeśli max zastąpimy przez min, to uzyskamy słabą zasadę minimum.
Dowód.
Dowód można przeprowadzić podobnie, jak poprzednio (jest nawet łatwiejszy, bo zbiór jest ograniczony, więc funkcja w osiąga minimum (maksimum))- zostawiam, to jako ćwiczenie.
Lemat 5.2. (Mocna zasada maksimum (minimum))
Załóżmy, że u ∈ C 2 (ΩT ) ∩ C 0 (Ω̄T ) spełnia w ΩT równanie (12). Wtedy, jeśli Ω jest zbiorem spójnym
i istnieje punkt (x0 , t0 ) ∈ ΩT taki że u(x0 , t0 ) = max(x,t)∈Ω̄T u(x, t), to u jest stała w Ω̄t0 .
Jeśli max zastąpimy przez min, to uzyskamy mocną zasadę minimum.
Lemat ten mówi, że jeśli u osiąga swą wartość największą (albo najmniejszą) w punkcie wewnętrznym, to dla wszystkich mniejszych t funkcja u jest stała.
Dowód.
W dowodzie tego twierdzenia wykorzystywać będziemy tzw. własność wartości średniej dla równania
przewodnictwa cieplnego. Mówi ona tyle, że jeśli u ∈ C 2 (ΩT ) ∩ C 0 (Ω̄T ) spełnia w ΩT równanie (12),
to
u(x, t) =
1 ||x − y ||2
u(y
,
s)
dyds
4r n
(t − s)2
Ê (x,t;r )
(14)
dla każdego Ê (x, t; r ) ⊂ ΩT , gdzie
Ê (x, t; r ) := (y , s) ∈ R
n+1
1
: s t, E (x − y , t − s) n
r
dla ustalonych x ∈ Rn , t ∈ R i r > 0.
Zbiór Ê (x, t; r ) nazywany jest czasem “kulą cieplną” (por. [8]). Zauważmy, że punkt (x, t) znajduje
się na brzegu “kuli cieplnej”. Dowód równości (14) omijamy, można go znaleźć w [8] na str. 65-67.
5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych
18
“Kula cieplna”
Zajmiemy się teraz wykorzystaniem (14) do dowodu mocnej zasady maksimum.
Krok1.
Przypuśćmy, że istnieje punkt (x0 , t0 ) ∈ ΩT taki, że u(x0 , t0 ) = M := maxΩ̄T u. Wtedy dla wszystkich,
dostatecznie małych r > 0, Ê (x0 , t0 ; r ) ⊂ ΩT . Zatem z własności wartości średniej dostajemy
1 ||x0 − y ||2
u(y , s)
dyds M = u(x0 , t0 ) = n
4r
(t0 − s)2
Ê (x0 ,t0 ;r )
1
max |u(y , s)|
4r n Ω̄T
gdyż
1
rn
Ê (0,0;r )
Ê (x0 ,t0 ;r )
||y ||2
dyds =
s2
||x0 − y ||2
dyds = M · 1 = M.
(t0 − s)2
Ê (0,0;1)
||y ||2
dyds = 4
s2
(rachunki omijamy).
Równość (= M) zachodzi tylko wtedy, gdy u jest tożsamościowo równa M we wnętrzu Ê (x0 , t0 ; r ).
Zatem
u(y , s) = M
5 Przypadek ograniczonej dziedziny dla zmiennych przestrzennych
19
dla wszystkich (y , s) ∈ Ê (x0 , t0 ; r ). Możemy teraz poprowadzić w ΩT dowolny odcinek L, łączący
(x0 , t0 ) z jakimś innym punktem (y0 , s0 ) ∈ ΩT o współrzędnej s0 < t0 . Niech
r0 := min {s s0 : u(x, t) = M dla wszystkich (x, t) ∈ L, s t t0 } .
Ponieważ u jest ciągła, więc minimum jest osiągane. Przypuśćmy, że r0 > s0 . Wtedy u(z0 , r0 ) = M
dla pewnego punktu (z0 , r0 ) ∈ L ∩ ΩT , a więc u ≡ M na Ē (z0 , r0 ; r ) dla dostatecznie małych r > 0.
Dla dostatecznie małego σ > 0 zbiór Ē (z0 , r0 ; r ) zawiera odcinek L ∩ {r0 − σ t t0 } , więc mamy
sprzeczność. Zatem r0 = s0 , co oznacza, że u ≡ M na L.
Krok 2.
Ustalmy teraz dowolny punkt x ∈ Ω i dowolną chwilę 0 t < t0 . Istnieją wtedy punkty x0 , x1 , ... , xm =
x takie, że odcinki, które w Rn łączą xi −1 z xi , są zawarte w Ω dla i = 1, ... , m (ze spójności zbioru
Ω). Wybierzmy teraz t0 > t1 > ... > tm = t. Wtedy odcinki w Rn+1 , łączące punkty (xi −1, ti −1) z
(xi , ti ) dla i = 1, ... , m są zawarte w ΩT . Na mocy kroku 1, u ≡ M na każdym takim odcinku, a
więc u(x, t) = M.
Z mocnej zasady maksimum wynika, że jeśli zbiór Ω jest spójny, a u ∈ C 2 (ΩT ) ∩ C 0 (Ω̄T ) spełnia w
ΩT zagadnienie początkowo-brzegowe











ut
= ∆x u + h
dla x ∈ Ω, t ∈ [0, T ] ,
u(x, t) = 0
dla x ∈ ∂Ω, t ∈ [0, T ] ,
u(x, 0) = φ(x)
dla x ∈ Ω,
gdzie φ 0, to u jest dodatnia wszędzie w ΩT , o ile φ jest dodatnia na pewnym podzbiorze zbioru
Ω. Jest to ilustracja tego, że zaburzenia rozchodzą się z nieskończona prędkością.
Jak poprzednio, własność maksimum (minimum) stosuje się do udowodnienia jednoznaczności i stabilności rozwiązania zagadnienia początkowo-brzegowego











ut
= ∆x u + h
dla x ∈ Ω, t > 0,
u(x, t) = g (t)
dla x ∈ ∂Ω, t > 0,
u(x, 0) = φ(x)
dla x ∈ Ω.
(15)
Twierdzenie 5.1. (o jednoznaczności)
Jeśli Ω jest zbiorem ograniczonym, to istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie u ∈ C 2 (ΩT ) ∩ C 0 (Ω̄T )
zagadnienia (15) .
6 ∗Dygresja probabilistyczna
20
Dowód.
Gdyby istniały dwa rozwiązania u1 i u2 , to u = u1 − u2 spełniałoby (15) z h = φ = 0, czyli u = 0 na
ΓT dla dowolnego T > 0. Stąd i z zasady maksimum i minimum, mamy
0 = max u(x, t) = max u(x, t)
(x,t)∈ΓT
(x,t)∈Ω̄T
i jednocześnie
0 = min u(x, t) = min u(x, t).
(x,t)∈ΓT
(x,t)∈Ω̄T
Zatem u = 0 na Ω̄T dla dowolnego T > 0.
Twierdzenie 5.2. (o stabilności)
Niech u1 , u2 oznaczają dwa rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego z danymi φ1 , φ2 i g1 , g2 odpowiednio.
Wtedy dla dowolnego T > 0 zachodzi
max |u1 (x, t) − u2 (x, t)| maxn |φ1 (x) − φ2 (x)| +
(x,t)Ω̄T
x∈R
max
(x,t)∈∂Ω×[0,T ]
|g1 (x, t) − g2 (x, t)|.
Dowód.
Z założenia wynika, że różnica u1 −u2 spełnia zagadnienie Cauchy’ego z warunkami h = 0, g = g1 −g2 ,
φ = φ1 − φ2 . Z zasady maksimum dostajemy
max |u1 (x, t) − u2 (x, t)| = max |u1 (x, t) − u2 (x, t)| (x,t)∈ΓT
(x,t)Ω̄T
max |u1 (x, 0) − u2 (x, 0)| +
x∈Ω
= max |φ1 (x) − φ2 (x)| +
x∈Ω
6
max
(x,t)∈∂Ω×[0,T ]
max
(x,t)∈∂Ω×[0,T ]
|u1 (x, t) − u2 (x, t)| =
|g1 (x, t) − g2 (x, t)|.
∗Dygresja probabilistyczna
Wzór (2) na rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego ma ciekawą interpretację probabilistyczną. Opiszemy
ją krótko w najprostszym przypadku n = 1 (cytując właściwie [15]).
6 ∗Dygresja probabilistyczna
21
Zauważmy, że funkcja E , służąca do produkowania rozwiązań u z wartości początkowych φ, jest
gęstością rozkładu normalnego, tzn.
E (z, t) = √
jest gęstością rozkładu N(0, σ) dla σ =
√
2t.
z2
1
e − 4t
4πt
Weźmy pewną przestrzeń probabilistyczną (Ω, F , P) (gdzie Ω jest zbiorem mierzalnym, F - zbiorem
funkcji mierzalnych, P -miarą), i rodzinę zmiennych losowych (Wt )t0 , indeksowaną nieujemnym
parametrem t, który będziemy interpretować jako czas. Załóżmy, że spełnione są następujące warunki:
1. W0 = 0 z prawdopodobieństwem 1 (tzn. prawie wszędzie na Ω względem miary P).
2. Wt ma, dla każdego t > 0, rozkład normalny N(0, σ) z parametrem σ =
√
2t.
3. Jeśli odcinki (si , ti ) są rozłączne, i = 1, 2, ... , m, to przyrosty Wti − Wsi są niezależnymi
zmiennymi losowymi (w szczególności dla t > s zmienne Wt − Ws i Ws są niezależne).
4. Dla P-prawie wszystkich ω ∈ Ω trajektorie t → Wt (ω) są ciągłymi funkcjami zmiennej t ∈
[0, +∞).
Taką rodzinę zmiennych losowych nazywamy ruchem Browna lub procesem Wienera. Różnorodne
konstrukcje odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej i zmiennych Wt można znaleźć w wielu podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa.
Na wykładzie rachunku prawdopodobieństwa dowodzi się, że jeśli zmienna losowa ξ : Ω → R ma
rozkład z gęstością g , to wówczas
R
g (z)φ(z) dz =
Ω
φ(ξ(ω))dP(ω) = E(φ(ξ))
dla φ : R → R ciągłych i ograniczonych, gdzie E oznacza wartość oczekiwaną. Zatem, w naszej
sytuacji, gdy g = E (·, t) jest gęstością odpowiedniego rozkładu normalnego, mamy
u(x, t) =
R
E (z, t)φ(x + z) dz = E(φ(x + Wt )).
Ten wzór ma nastepującą interpretację: aby określić temperaturę w chwili t w punkcie x, należy wypuścić z x ruch Browna, odczekać czas t, złożyć otrzymaną zmienną losową x + Wt z początkowym
rozkładem temperatury φ i wziąć wartość oczekiwaną. Można przyjmować, że jest to matematyczne
uzasadnienie zgodności dwóch modeli zjawiska rozprzestrzeniania się ciepła: modelu w skali makroskopowej (odwołującego się do równania różniczkowego, w którym przyjmujemy, że substancja stanowi
jednorodne continuum) i modelu w skali mikro (w którym uznaje się, że powodem przekazywania
ciepła są losowe zderzenia wielu cząsteczek, podlegających dyfuzji).
BIBLIOGRAFIA
22
Bibliografia
[1] W. I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.
[2] W. I. Arnold, Lectures on Partial Differential Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg and
PHASIS Moscow 2004 (tłumaczenie z rosyjskiego).
[3] A. W. Bicadze, Równania fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[4] A. W. Bicadze, D. F. Kaliniczenko, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1984.
[5] Birkholc A. Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2002.
[6] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, Chapman & Hall, Oxford 1995.
[7] J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 1990
(lub następne wydania).
[8] L. Ewans, Równania różniczkowe czastkowe,
PWN, Warszawa 2002.
[9] Fichtenholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1980.
[10] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
[11] H. Marcinkowska, Wstep
PWN, Warszawa 1972.
do teorii równań różniczkowych czastkowych,
[12] Ockendon J., Howison S., Lacey A., Movxhan A., Applied Partial Differential Equations, Oxford
University Press, 2003.
[13] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo -Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.
[14] B. Przeradzki, Równania różniczkowe czastkowe.
Wybrane zagadnienia, Wydawnictwo Uniwer
sytetu Łódzkiego, Łódź 2000.
Wydawnictwo Uni[15] P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych czastkowych,
wersytetu Warszawskiego, Warszawa 2007.
[16] Zauderer, Partial Differential Equations of Applied Mathemathics, John Wiley & Sons,
Singapore-New York-Chichester-Brisbane-Toronto 1989.