o pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu do

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ
ROK XLV NR 3 (158) 2004
Hubert Wysocki
O PEWNEJ METODZIE
FUNKCJI MODULUJĄCYCH
I JEJ ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI
RÓWNAŃ NOMOTO DLA OKRĘTU
KLASY MARINER
STRESZCZENIE
W pracy przedstawiono pewną modyfikację klasycznej metody Shinbrota identyfikacji
układu dynamicznego za pomocą funkcji modulującej. Zaproponowana w artykule metoda dotyczy
użycia większej liczby funkcji modulujących i rozwiązuje problem wyboru najlepszego modelu.
Została przetestowana w identyfikacji wskaźników sterowności dla wybranego okrętu klasy
Mariner.
WSTĘP
Metoda Shinbrota [12] polega na całkowaniu przez części równania opisującego dynamikę układu pomnożonego stronami przez odpowiednio dobraną dla tej
metody funkcję. Funkcja ta nie zależy od sygnałów na wejściu i na wyjściu układu.
Dla tego rodzaju niezależności została nazwana funkcją modulującą (por. [4]). Całkowanie odbywa się po różnych podprzedziałach czasowych przedziału obserwacji
układu, tyle razy, ile wynosi liczba identyfikowanych współczynników modelu.
W ten sposób, dla danej pary sygnałów wejście-wyjście, dochodzimy do układu
równań, którego rozwiązanie daje zidentyfikowane parametry modelu. W pracy
proponuje się zastosowanie większej liczby funkcji modulujących, co umożliwi
całkowanie po całym przedziale obserwacji dynamiki układu, czyli uwzględnienie
całego przebiegu sygnału w danym całkowaniu. Rozważa się układ dynamiczny
opisany liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu m dla wejścia
i rzędu n dla wyjścia. Taki układ w metodzie Shinbrota nie był rozpatrywany.
101
Hubert Wysocki
Ponadto, w metodzie klasycznej nie rozważa się problemu wyboru najlepszego modelu z danej klasy modeli opisujących identyfikowany obiekt sterowania. W artykule zagadnienie to zostanie rozwiązane poprzez zastosowanie twierdzenia o rzucie
ortogonalnym w przestrzeni R k ze zwykłym iloczynem skalarnym.
Opracowana metoda zostanie zilustrowana przykładami identyfikacji współczynników równań różniczkowych Nomoto rzędu pierwszego i drugiego dla wybranego okrętu klasy Mariner [Mariner Class Vessel – (MCV)]. Statki tej klasy były
projektowane w połowie lat sześćdziesiątych ubiegłego stulecia i obecnie nie są już
eksploatowane [5].
IDENTYFIKACJA UKŁADU DYNAMICZNEGO
Dla uproszczenia zapisów wprowadzimy następujące operacje:
Sx :=
tk
dx
, st 0 x := x (t 0 ), Rtt0k x := x (tk ) − x (t0 ), I tt0k x := ∫ x (t )dt ,
t0
dt
gdzie x = x (t ) .
Ponadto
niech
Ln := C n ([t0 , tk ], R )
oraz
k , l := {k , k + 1,..., l} ,
gdzie
k , n ∈ N 0 , l ∈ N, k < l .
Niech będzie dany liniowy stacjonarny układ dynamiczny o parametrach
skupionych opisany równaniem różniczkowym
an S n y + an −1S n −1 y + ...a1Sy + a0 y = bm S mu + bm −1S m −1u + ... + b1Su + u, (1)
gdzie ai , b j ∈ R, i ∈ 0, n , j ∈ 1, m, m ∈ N 0 , n ∈ N, m ≤ n
oraz
u = u(t ) ∈ Lm , y = y (t ) ∈ Ln .
102
Zeszyty Naukowe AMW
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
Funkcję f = f (t ) ∈ Ln spełniającą warunki
f ∉ Ker S n , st S i f = 0, t ∈ {t0 , tk }, i ∈ 0, n − 1
(2)
nazywamy f u n k c j ą m o d u l u j ą c ą n -tego stopnia układu (1) (odpowiadającą
chwilom t0 , tk ). Jest oczywiste, że funkcja modulująca stopnia n' > n jest funkcją
modulującą stopnia n .
Niech para sygnał wejściowy-sygnał wyjściowy
(u, y ) ∈ [ Lm \ { 0 }] × Ln
spełnia równanie (1) przy danych współczynnikach a0 , a1 ,..., an , b1 ,...,bm . Wobec
tego dla dowolnych f1 , f 2 ,..., f k ∈ Ln , k ≥ m + n + 1 z (1) otrzymujemy
n
∑a I
i =0
tk
i t0
m
( fν ⋅ S y ) = ∑ bi I tt0k ( fν ⋅ S i u) + I tt0k ( fν ⋅ u), ν ∈ 1, k .
i
(3)
i =1
Zachodzi następujący ogólny wzór na całkowanie przez części (por.
[14, 15]):
n −1
I tt0k ( x ⋅ S i y ) = ∑ (−1)i Rtt0k ( S i x ⋅ S n −1− i y ) + (−1)n I tt0k ( S n x ⋅ y ) , (4)
i =0
gdzie x, y ∈ Ln .
Stosując do ostatnich n składników lewej strony i do m pierwszych składników prawej strony każdej z równości (3) wzór (4) na całkowanie przez części,
otrzymujemy:
i −1
n
∑ a [∑ (−1) R
i
i =1
j =0
j
tk
t0
n
( S j fν ⋅ S i −1− j y )] + ∑ ( −1)i a i I tt0k ( S i fν ⋅ y )
(5)
i =0
m
i −1
m
i =1
j =0
i =1
= ∑ bi [∑ ( −1) j Rtt0k ( S j fν ⋅ S i −1− j u)] + ∑ ( −1)i bi I tt0k ( S i fν ⋅ u) + I tt0k ( fν ⋅ u), ν ∈ 1, k .
3 (158) 2004
103
Hubert Wysocki
Zakładając, że f1 , f 2 ,..., f k ∈ Ln są elementami modulującymi co najmniej
n-tego stopnia układu dynamicznego (1) (przy t0 , tk ), z (5) uzyskujemy:
n
m
i =0
i =1
∑ (−1)i ai I tt0k (S i fν ⋅ y ) + ∑ (−1)i +1 bi I tt0k ( S i fν ⋅ u) = I tt0k ( fν ⋅ u), ν ∈1, k .
Układ ten możemy zapisać w postaci wektorowej
m+ n
∑α v
i =0
i
i
= w,
(6)
gdzie
⎧ ai
⎪
αi := ⎨
⎪b
⎩ i −n
dla
i ∈ 0, n
(7)
dla i ∈ n + 1, m + n
oraz
⎡ ( −1)i I tt0k ( S i f1 ⋅ y ) ⎤
⎢
⎥
v i := ⎢
M
⎥, ν ∈ 0, n ;
⎢( −1)i I tt k ( S i f k ⋅ y )⎥
⎣
⎦
0
(8)
⎡ (−1)i − n +1 I tt0k ( S i − n f1 ⋅ u) ⎤
⎢
⎥
v i := ⎢
M
⎥, ν ∈ n + 1, m + n ;
t
−
+
1
−
i
n
i
n
⎢( −1)
I t 0k ( S f k ⋅ u)⎥⎦
⎣
(9)
⎡ I tt0k ( f1 ⋅ u) ⎤
⎢
⎥
w := ⎢
M
⎥.
t
⎢ I t k ( f k ⋅ u)⎥
⎣ 0
⎦
104
(10)
Zeszyty Naukowe AMW
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
Ponadto
k
v i , w ∈ ⊕ Ker S ≈ R k , i ∈ 0, m + n .
(11)
ν =1
Załóżmy teraz, że parametry układu (1) nie są znane. Zbiór złożony z pary
sygnałów
(SI)1 := { (u* , y * ) : u* ∈ Lm \ { 0 }, y * ∈ Ln }
(12)
służących do zidentyfikowania współczynników równania (1) nazywamy s e r i ą i d e n t y f i k u j ą c ą (jednoelementową) [1]. W praktyce funkcje u = u (t ), y = y (t )
*
*
*
*
wyznaczane są drogą aproksymacji, na podstawie wartości pomiarowych sygnału
wejściowego i odpowiadającego mu sygnału wyjściowego uzyskanych podczas
normalnej pracy układu sterowania.
Z uwagi na izomorfizm (11) dalsze rozważania będziemy prowadzili
w przestrzeni Hilberta Η := l 2k , w której iloczyn skalarny
k
( v | w ) := ∑ Vν Wν , v, w ∈ l 2k
(13)
ν =1
wyznacza normę
|| v ||:=
k
Vν ,
∑
ν
=1
2
v ∈ l 2k .
(14)
Przez i d e n t y f i k a c j ę układu dynamicznego (1) będziemy rozumieli zagadnienie doboru współczynników równania (1) przy serii identyfikującej (12) tak,
aby funkcjonał (tzw. w s k a ź n i k j a k o ś c i i d e n t y f i k a c j i )
m+ n
|| J f (α 0 ,α1 ,...,α m + n ) ||:= || ∑αi v *i − w * ||
(15)
i =0
osiągał minimum, gdzie f := [ f1 , f 2 ,..., f k ] jest ustalonym wektorem funkcji modulujących co najmniej n -tego stopnia (odpowiadających chwilom t0 , tk ), natomiast
w * , v *i , i ∈ 0, m + n są wektorami postaci (8) – (10) wyznaczonymi dla serii (12).
3 (158) 2004
105
Hubert Wysocki
Zagadnienie wyboru najlepszego modelu z klasy
n
m
i =0
i =1
K := { ∑ ai S i y = ∑ bi S i u + u : ai , b j ∈ R, i ∈ 0, n, j ∈ 1, m }
w sensie minimalizacji wskaźnika jakości (15) rozwiążemy, stosując następujące
twierdzenie o rzucie ortogonalnym:
TWIERDZENIE
[9]. Niech Η 0 będzie domkniętą podprzestrzenią liniową
przestrzeni Hilberta Η . Wówczas każdemu elementowi x ∈ Η odpowiada jeden
i tylko jeden element h0 ∈ Η 0 , taki że || x − h0 || ≤ || x − h || dla wszystkich
h ∈ Η 0 . Ponadto h0 ∈ Η 0 minimalizuje wyrażenie || x − h || wtedy i tylko wtedy,
gdy element x − h0 jest ortogonalny do Η 0 .
Element h0 nazywamy r z u t e m o r t o g o n a l n y m elementu x na podprzestrzeń Η 0 . Omawiana metoda wymaga, aby spełnione było założenie, że
B := { v*0 , v1* ,..., v *m+ n }
(16)
jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w l 2k . Założenie to nazywamy
w a r u n k i e m i d e n t y f i k o w a l n o ś c i układu (1), natomiast serię identyfikującą (12), dla której ten warunek jest spełniony – s e r i ą i d e n t y f i k o w a l n ą
(por. [1]).
Załóżmy więc, że warunek identyfikowalności układu (1) jest spełniony.
Ponadto niech
m+n
Lin B := { w = ∑αi v *i : αi ∈ R, v *i ∈ B, i ∈ 0, m + n } .
i =0
Ponieważ dim Lin B = m + n + 1 , więc hiperpłaszczyzna Lin B jako podprzestrzeń
skończenie wymiarowa przestrzeni unormowanej l 2k jest zbiorem domkniętym [7].
Interesuje nas wyznaczenie takiego elementu
w 0 = α 00 v*0 + α10 v1* + ... + α m0 + n v *m + n
106
Zeszyty Naukowe AMW
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
powłoki liniowej Lin B , który jest położony najbliżej [w sensie normy (14)] danego
0
elementu w * . Mamy zatem znaleźć taki układ (α 00 ,α10 ,...,α m+
n ) liczb rzeczywi-
stych, żeby
|| w * − w 0 ||= J f (α 00 ,α10 ,...,α m0 + n ) = min{ J f (α 0 ,α1 ,...,α m + n ) : αi ∈ R , i ∈ 0, m + n }.
Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika istnienie i jednoznaczność poszukiwanego wektora w 0 oraz prostopadłość różnicy w * − w 0 do każdego z wektorów v *i , i ∈ 0, m + n bazy B . Mamy więc
m+n
( w * − w 0 | v *j ) = ( w * − ∑αi0 v *i | v *j ) = 0, j ∈ 0, m + n .
i =0
Stąd i z własności iloczynu skalarnego (13) otrzymujemy układ r ó w n a ń n o r 0
m a l n y c h na optymalne współczynniki α 00 ,α10 ,...,α m+
n
m+ n
∑α
i =0
0
i
( v *i | v *j ) = ( w * | v *j ), j ∈ 0, m + n ,
(17)
którym – według zależności (7) – odpowiadają optymalne parametry układu dynamicznego (1). Do obliczeń numerycznych wygodnie jest przedstawić układ (17)
w postaci wektorowo-macierzowej
Cα = d ,
(18)
gdzie C = [ci j ] := [( v *i | v *j )], α := [α i0 ], d = [d j ] := [( w * | v *j )], i , j ∈ 0, m + n .
Równanie (18) ma jednoznaczne rozwiązanie, ponieważ wyznacznik macierzy C jest w y z n a c z n i k i e m G r a m a , który jest różny od zera (co jest równoważne warunkowi identyfikowalności układu dynamicznego (1), por. [9]).
Opracowane zagadnienie identyfikacji sprawdzimy na przykładach wyznaczania parametrów Nomoto dla wybranego okrętu klasy Mariner.
3 (158) 2004
107
Hubert Wysocki
PRZYKŁADY
1. Badając sterowność statku, korzysta się z dwóch prostokątnych układów współrzędnych (rys. 1.):
PRZYKŁAD
−
nieruchomego prawoskrętnego układu współrzędnych geograficznych ( X 0 ,Y0 )
leżącego w płaszczyźnie wody spokojnej, z osią X 0 skierowaną w kierunku
północy;
−
nieruchomego, sztywno związanego ze statkiem prawoskrętnego układu GXY
leżącego w płaszczyźnie równoległej do wodnicy konstrukcyjnej, którego początek jest środkiem ciężkości G masy statku, a oś X skierowana jest ku dziobowi.
Ograniczając rozważania do ruchu statku w układzie OX 0Y0 , wykazuje się,
że liniowe równanie różniczkowe sterowności statku opisujące zależność między
kątem wychylenia steru δ (t ) a prędkością kątową r (t ) obrotu statku (myszkowania) ma postać [10]
Tr ' (t ) + r (t ) = Kδ (t ) .
(19)
Równanie (19) oraz parametry K , T nazywamy odpowiednio r ó w n a niem Nomoto rzędu pierwszego i współczynnikami Nomoto.
Równanie Nomoto stosuje się dla małych wartości δ 0 kąta wychylenia steru, przy czym sterowanie jest najczęściej liniowo-stałe, „trapezowe” lub „sinusoidalne”. Równanie to obowiązuje w przedziale czasu [t0 , tk ] , w którym występuje
niewielka liczba zmian steru z jednej burty na drugą (niewielka częstotliwość akcji
steru) i warunki żeglugi nie ulegają istotnym zmianom [13, 3, 8].
108
Zeszyty Naukowe AMW
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
Rys. 1. Ruch statku w układzie współrzędnych OX 0Y0
Model Nomoto rzędu pierwszego jest stosowany w projektowaniu regulatorów kursu w autopilotach sterowania statkiem. Parametry K i T zależą m.in. od
prędkości i załadowania statku, jego własności hydrodynamicznych, a także od stanu morza, rodzaju akwenu i wartości meteorologicznych (falowania i wiatru).
Współczynnik wzmocnienia K (skuteczności steru) charakteryzuje zwrotność statku, natomiast stała czasowa T – stateczność kursową i szybkość reakcji statku na
wychylenie steru. Ze wzrostem wartości δ 0 wychylenia steru parametry K, T maleją, jednak stosunek μ = K / T , nazywany w s k a ź n i k i e m N o m o t o , pozostaje w przybliżeniu stały. Służy on do oceny zwrotności statku [8].
Równanie (19) stanowi przypadek szczególny zależności (1) dla
n = 1, m = 0 , gdzie u = δ (t ) oraz y = r (t ).
Dla statku klasy Mariner (MCV) o następujących parametrach [2]:
−
−
−
−
długość całkowita Lc=171.8 [m];
maksymalna szerokość B = 23.17 [m];
zanurzenie średnie T = 6.86 [m];
długość między pionami L = 160 [m];
3 (158) 2004
109
Hubert Wysocki
−
−
−
−
−
−
−
−
masa statku m = 17050 [t];
wyporność W = 16622 [m3];
środek ciężkości XG = 3.70 [m];
prędkość nominalna V = 7.716 [m/s];
pole powierzchni czołowej okrętu Af = 416.4 [m2];
pole powierzchni bocznej okrętu As = 1540.1 [m2];
nominalne obroty śruby okrętowej n = 7.151 [rad/s];
maksymalna prędkość kątowa wychylania steru δ ' = 3.5 [o/s];
−
gęstość wody ρ w = 1025 [kg/m3];
−
gęstość powietrza ρ a = 1.23 [kg/m3]
współczynnik wzmocnienia i stała czasowa wynoszą odpowiednio [5]:
K = 0.1830 [1/s], T = 105.64 [s] .
(20)
Rząd równania (19) jest równy n = 1, zatem minimalna liczba funkcji modulujących potrzebnych do identyfikacji wynosi k = 2.
Przy wyznaczaniu wskaźników Nomoto często korzysta się z funkcji wychylenia steru postaci [3]
⎧ t
⎪δ 0 t
⎪ r
u = δ (t ) = ⎨
⎪δ
⎪ 0
⎩
dla 0 ≤ t < tr
,
dla
(21)
t ≥ tr
gdzie tr = 2δ 0 / δ ' jest czasem potrzebnym do osiągnięcia wartości δ 0 , natomiast
δ ' jest prędkością kątową wychylenia steru [6].
Dla rozważanego okrętu (MCV) przyjmiemy bezpieczną prędkość kątową
δ '= 2.8 [o/s] oraz δ 0 = 7 [o]. Wówczas tr = 5 [s]. Mamy zatem
⎧1.4t dla 0 ≤ t < 5
⎪
.
u = δ (t ) = ⎨
⎪ 7 dla
t≥5
⎩
*
110
*
(22)
Zeszyty Naukowe AMW
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
Wykres tego sygnału w przedziale obserwacji [0,20] przedstawia rysunek 2.,
natomiast rysunek 3. przedstawia rozwiązanie numeryczne równania (19) przy
współczynnikach Nomoto (20) i warunku początkowym r (0) = 0 .
W tabeli 1. zamieszczono wyniki identyfikacji współczynników równania
Nomoto dla serii identyfikującej
(SI)1 := { (δ * (t ), r * (t ))} ,
(23)
gdzie δ * (t ) jest sygnałem (22), natomiast r * (t ) odpowiedzią na ten sygnał, przedstawioną na rysunku 3. Identyfikację przeprowadzono w przedziale obserwacji
[0,20], odpowiednio dla k = 2, 3 funkcji modulujących. Za każdym razem otrzymano wyniki bardzo zbliżone do (20). Należy również pamiętać, że przedstawione
w tabeli 1. parametry Nomoto są optymalne w sensie minimalizacji funkcjonału J f
dla serii identyfikującej (23) i ustalonego wektora f funkcji modulujących.
Rys. 2. Funkcja wychylenia steru (22)
Rys. 3. Prędkość kątowa statku jako odpowiedź na wychylenie steru wg zależności (22)
3 (158) 2004
111
Tabela 1. Identyfikacja równania Nomoto (19)
Hubert Wysocki
112
Zeszyty Naukowe AMW
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
W 1960 roku Nomoto przedstawił metodę wyznaczania parametrów K, T
na podstawie tzw. próby wężowej (próby Kempfa, próby „zig-zag”) [11], która według standardów opracowanych przez Międzynarodową Organizację Morską (IMO)
musi spełniać ściśle określone warunki.
W metodzie zaproponowanej w tym artykule można oczywiście wykorzystać sygnały δ * (t ),ψ * (t ) (gdzie r = ψ ′(t ) i ψ (t ) jest kątem kursowym statku)
otrzymywane podczas próby „zig-zag”. Generalnie nie wymaga ona jednak tak długiej rejestracji sygnałów. Mogą one być uzyskiwane podczas normalnego kursu
statku.
PRZYKŁAD 2. Oprócz równania Nomoto rzędu pierwszego rozważa się również, obowiązujący przy tych samych założeniach co poprzednio, model rzędu drugiego [10]
T1T2 r ' ' (t ) + (T1 + T2 )r ' (t ) + r (t ) = K [T3δ ' (t ) + δ (t )],
(24)
w którym stałe T1 , T2 , T3 , K charakteryzują sterowność statku.
Jeżeli T1 , T2 > 0 , to statek ma stateczność ruchu prostoliniowego, która zapewnia poruszanie się stałym kursem ze sterem w położeniu neutralnym, na spokojnej wodzie i przy bezwietrznej pogodzie. Ponadto, im większe wartości T1 ,T2 , tym
szybciej statek zmienia kurs pod wpływem akcji steru, czyli jest bardziej zwrotny.
Im większa jest wartość parametru T3 , tym większy wpływ na sterowność statku ma
prędkość wychylania steru. Wskaźnik K , charakteryzujący zwrotność statku, jest
miarą prędkości zmiany kursu przy zadanym kącie wychylenia steru [3].
Między stałą czasową T występującą w równaniu Nomoto rzędu pierwszego (19) a parametrami modelu (24) zachodzi związek [10]:
T = T1 + T2 − T3 .
(25)
Dla okrętu (MCV) rozważanego w przykładzie 1. parametry równania Nomoto (24) wynoszą odpowiednio [5]:
K = 0.1830 [1/s], T1 = 7.91 [s], T2 = 116.28 [s], T3 = 18.55 [s] . (26)
Rząd równania (24) wynosi m = 1 dla wejścia i n = 2 dla wyjścia, zatem
minimalna liczba funkcji modulujących potrzebnych do identyfikacji jest równa
k = 4 . Sygnału wejściowego (22) nie możemy brać pod uwagę, ponieważ nie jest
on elementem przestrzeni L2 = C 2 ([0,20], R ) , gdzie [0,20] jest przedziałem obserwacji sterowności okrętu. Wobec tego jako u = u(t ) przyjmiemy funkcję
u = δ (t ) := δ 0 (1 − e −κt ) ,
3 (158) 2004
113
Hubert Wysocki
która dobrze przybliża przedziałami liniową funkcję (21), jeżeli κ ≈ 0.4 / t'r , gdzie
t 'r = tr V / Lc jest bezwymiarowym czasem wychylenia steru [3].
Uwzględniając dane (MCV), otrzymujemy t 'r ≈ 0.22, κ ≈ 1.78 oraz
u* = δ * (t ) = 7(1 − e −1.78 t ) .
(27)
Wykres funkcji (27) w przedziale obserwacji [0,20] zamieszczono na rysunku 4., natomiast odpowiedź numeryczną układu (24) na ten sygnał przy danych
wskaźnikach (26) i warunkach początkowych r (0) = r ' (0) = 0 na rysunku 5.
Rys. 4. Funkcja wychylenia steru (27)
Rys. 5. Prędkość kątowa okrętu jako odpowiedź na wychylenie steru wg zależności (27)
114
Zeszyty Naukowe AMW
Tabela 2. Identyfikacja równania Nomoto (24)
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
3 (158) 2004
115
Hubert Wysocki
Tabela 2. przedstawia wyniki identyfikacji współczynników równania Nomoto (24) dla serii identyfikującej
(SI)1 := { (δ * (t ), r * (t ))} ,
gdzie δ * (t ) jest sygnałem (27), natomiast r * (t ) odpowiedzią na ten sygnał przedstawioną na rysunku 5. Identyfikację przeprowadzono odpowiednio dla k = 4, 5, 6
funkcji modulujących i za każdym razem otrzymano wyniki bardzo zbliżone do
(26). Tabela zawiera również wartości stałej czasowej T obliczanej według wzoru
(25). Różnią się one nieznacznie od stałej T = 105.64 [s] przyjętej w modelu Nomoto rzędu pierwszego, rozważanym w przykładzie 1.
BIBLIOGRAFIA
[1]
Bubnicki Z., Identyfikacja obiektów sterowania, PWN, Warszawa 1974.
[2]
Chislett M., Tejsen J. S., Planar motion mechanism tests and full scale steering and manoeuvering predictions for mariner class vessel, Technical Report
Hy-6, Hydro and Aerodynamics Laboratory, Lyngby (Denmark), 1965.
[3]
Dudziak J., Teoria okrętu, Wydawnictwo Morskie, Gdańsk 1988.
[4]
Eykhoff P., System identification. Parameter and state estimation, John
Wiley and Sons, London 1974.
[5]
Hansen A. D., Predictive control and identification: Applications to steering
dynamics, Ph. D Thesis, Department of Mathematical Modelling (IMM),
Control Group, Lyngby, Technical University of Denmark, 1996.
[6]
Journee J. M. J., A simple method for determining the manoeuvring indices
K and T from zigzag trial data, Delft University of Technology, Ship Hydromechanics Laboratory (Netherlands), Report 0267, June 1970 (Translated
Report, November 2000). Internet: http://www.shipmotions.nl
[7]
Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa
1982.
[8]
Lisowski J., Statek jako obiekt sterowania automatycznego, Wydawnictwo
Morskie, Gdańsk 1981.
[9]
Luenberger D. G., Optimization by vector space methods, John Wiley and
Sons, New York 1969.
116
Zeszyty Naukowe AMW
O pewnej metodzie funkcji modulujących i jej zastosowaniu...
[10]
Nomoto K., Taguchi K., Honda K., Hirano S., On the steering qualities of
ships, „International Shipbuilding Progress”, 1957, Vol. 4, No 35.
[11]
Nomoto K., Analysis of Kempf’s Standard Maneuver Test and Proposed
Steering Quality Indices, Proceedings of 1st Symposium on Ship Manoeuvrability, 1960.
[12]
Shinbrot M., Field M., On the analysis of linear and nonlinear systems,
„Transactions on the ASME”, 1957, Vol. 79.
[13]
Wełnicki W., Sterowność okrętu, PWN, Warszawa 1966.
[14]
Wysocki H., On an operational calculus with weighting element, „Studia Sci.
Mathematicarum Hungarica”, 1994, Vol. 29.
[15]
Wysocki H., Zastosowanie rachunku operatorów w wybranych problemach
teorii liniowych układów dynamicznych, „Zeszyty Naukowe” AMW, 1996,
128 C.
ABSTRACT
The paper presents a modification of classic Shinbrot method used to identify a dynamic
system by means of modulating function. The method proposed in the paper refers to application
of a larger number of modulating functions and solves the problem of best model selection. It was
tested for identification of steerability indicators for a selected Mariner class ship.
Recenzent dr hab. Wiesław Zięba
3 (158) 2004
117