¼º¼¿º¾¼½ ¸ Û Þ Ò ½¼º¼ º¾¼½ º ¼Ì ÃÛ ÒØÝ ØÓÖÝ

Wstp A, lista 4.
Konwersatorium 30.03.2015, ¢wizenia 10.04.2015.
0T Kwantykatory: zapis formalny, sformuªowania potozne. Kwantykatory jako
uogólnione: koniunkja, alternatywa. Kwantykatory zrelatywizowane (ogranizone). Kwantykowanie po zbiorze pustym. Tªumazenie zda« z kwantykatorami przy pomoy i¢ poziomyh i pionowyh. Rahunek kwantykatorów:
formuªy rahunku kwantykatorów ih interpretaje. Zasig kwantykatora w
formule, zmienne wolne i zmienne zwi¡zane. Formuªy domknite (zdania formalne). Tautologie rahunku kwantykatorow: denija, przykªady (prawa De
Morgana rah. kwantykatorów, przemienno±¢ du»yh kwantykatorów, przemienno±¢ maªyh kwantykatorów, rozdzielno±¢
∨).
∀
wzgldem
∧
i
∃
wzgldem
Równowa»no±¢ funkji zdaniowyh. Równowa»no±¢ formuª domknityh.
Du»y kwantykator jako kwantykator domy±lny.
1. Zapisa¢ nastpuj¡e zdania przy pomoy funkji zdaniowyh o podanyh zakresah, kwantykatorów, spójników logiznyh, nawiasów i ewentualnie znaku
równo±i. (wskazówka: niekiedy koniezne jest najpierw odpowiednie przeformuªowanie danego zdania; zaz¡¢ od prostszyh przykªadów)
(a)K Koty to dranie.
X=
to dra«, x ∈ X .
Y = zbiór rodzin, X = zbiór
x ∈ X , ψ(x, y) = x nale»y do y, x ∈ X, y ∈ Y .
zbiór kotów,
ϕ(x) = x
(b)K W ka»dej rodzinie znajdzie si zarna owa.
owie,
ϕ(x) = x
jest zarna,
()K Ka»dy student, który przyhodzi na egzamin, jest przygotowany.
X = zbiór studentów, ϕ(x) = x przyhodzi
przygotowany, x ∈ X .
kawe, na o...)
ψ(x) = x
jest
na egzamin,
(ie-
x ∈ X,
(d)K Pewien student, który przyhodzi na egzamin, nie jest przygotowany.
x7 − x2 + 5 = 0 jest nieujemne. Zdania z
(e)K Ka»de rozwi¡zanie równania
tego i nastpnyh trzeh podpunktów zapisa u»ywaj¡ standardowej symboliki matematyznej.
(f )K Pewne rozwi¡zanie równania
(g)K Pewien element zbioru
x7 − x2 + 5 = 0.
równania
1
(h)K ›aden element zbioru
7
2
równania x − x + 5 = 0.
A,
x7 − x2 = 0
jest nieujemne.
który nale»y do zbioru
B,
jest rozwi¡zaniem
A, który nale»y do zbioru B , nie jest rozwi¡zaniem
(i)K Je»eli spo±ród trzeh dowolnyh prostyh na pªaszzy¹nie dwie s¡ równolegªe, a trzeia jest prostopadªa do jednej z nih, to jest te» prostopadªa do
drugiej.
X=
s¡ równolegªe,
zbiór prostyh na pªaszzy¹nie, funkje zdaniowe:
x, y ∈ X , x ⊥ y = x i y
xky=xiy
x, y ∈ X .
N = zbiór lizb naturalnyh,
x ∈ N, x < y = x jest mniejsze od y, x, y ∈ N .
s¡ prostopadªe,
(j)* Istniej¡ dowolnie du»e lizby pierwsze.
ϕ(x) = x
jest lizb¡ pierwsz¡,
(k) Dowolne dwie proste na pªaszzy¹nie przeinaj¡ si w jednym punkie lub
1 Sªowo »aden w odniesieniu do zdania przez¡ego oznaza to samo, o ka»dy. Np. ›aden hªopie nie pªaze, to tyle, o: Ka»dy hªopie nie pªaze (to drugie zdanie jest jzykowo
niepoprawne, ho¢ dla matematyka ±i±lejsze)
X = zbiór prostyh na pªaszzy¹nie, Y = zbiór punktów
x k y = “x i y s¡ równolegªe, x, y ∈ X , y ∈ x = “y le»y
x , x ∈ X, y ∈ Y .
s¡ równolegªe.
na
pªaszzy¹nie,
′′
na
(l) W ka»dym mieszkaniu w tym bloku mieszkaj¡ przynajmniej dwie osoby.
Y = zbiór mieszka«
y, x ∈ X, y ∈ Y .
w tym bloku,
X =
zbiór osób,
ϕ(x, y) = x
mieszka w
(m) W ka»dym mieszkaniu w tym bloku mieszkaj¡ o najwy»ej dwie osoby.
(funkje zdaniowe jak w punkie (f ))
(n) ›aden z »oªnierzy w tym szeregu nie jest wy»szy od s¡siada po swojej pra-
X = zbiór »oªnierzy w tym szeregu, ϕ(x, y) = x jest
y, ψ(x, y) = x jest s¡siadem y po swojej prawej stronie, x, y ∈ X .
wej stronie.
wy»szy od
(o) Ka»dy ze studentów w tej grupie ma pomysª, który zadziwi wszystkih in-
X = zbiór studentów w tej grupie, Y = zbiór poy, x ∈ X, y ∈ Y , ψ(y, z) = y zadziwi z, y ∈ X, z ∈ X .
nyh studentów w tej grupie.
mysªów,
ϕ(x, y) = x
ma
(p) Ka»dy zlowiek zna zlowieka, który nie zna »adnego zlowieka, który nie
umie zyta¢.
X =
zbiór ludzi,
ϕ(x, y) = x
zna
y , ψ(x) = x
umie zyta¢,
x, y ∈ X .
(q) ›aden zªowiek nie lubi praowa¢.
X =
zbiór ludzi,
ϕ(x) = x
lubi prao-
wa¢.
(r) Nie wszystkie elementy zbioru
x ∈ A, x ∈ B , zakres
zbiory A i B .
niowe:
oba
A
s¡ elementami zbioru
zmienno±i zmiennej
x:
B.
przestrze«
Funkje zda-
X
zawieraj¡a
(s) ›aden zªowiek nie zna wszystkih tyh ludzi, którzy go nie znaj¡. (funkje
zdaniowe i zakresy takie, jak w punkie (p))
2. Poda¢ konkretne funkje zdaniowe (predykaty)
ϕ, ψ
na zbiorze lizb rzezywi-
styh takie, »e odpowiednie zdania s¡ faªszywe (±wiadzy to o tym, »e odpowiednie formuªy nie s¡ tautologiami). Dodatkowo poda¢ te» takie predykaty
X = {0, 1}
X ).
na zbiorze
zbiorze
(wsk: wtedy
ϕ(x, y) ⇔ R(x, y)
(a)
(∃x, y)ϕ(x, y) ⇒ ∀y∃xϕ(x, y)
(b)
(∃x, y)ϕ(x, y) ⇒ ∃xϕ(x, x)
()
∀y∃xϕ(x, y) ⇒ ∀xϕ(x, x)
(d)
∀xϕ(x, x) ⇒ (∀x, y)ϕ(x, y)
(e)
∃x∀yϕ(x, y) ⇒ (∀x, y)ϕ(x, y)
(f )
∀x(ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇒ ∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)
(g)
∃xϕ(x) ∧ ∃xψ(x) ⇒ ∃x(ϕ(x) ∧ ψ(x))
odwrotnyh jest tu tautologi¡.
dla pewnej relaji
R
na
Zauwa»y¢ jednak, »e ka»da z implikaji