Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kartkówka 2., grupa A.

Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci
Kartkówka 2., grupa A.
8.11.2016
Imi¦ i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 1. Przyjmijmy, »e w j¦zyku arytmetyki liczb naturalnych mamy staªe 0, 1, 2, ... oraz symbole
+ i ·.
Zapisz w tym j¦zyku zdanie Istnieje nieparzysta liczba pierwsza..
Rozwi¡zanie. Chcemy zapisa¢ zdanie
∃n (n
Pierwsza cz¦±¢ wygl¡da nast¦puj¡co:
(∀d (d
jest nieparzysta)
∃k n = 2k + 1,
jest dzielnikiem
∧ (n
jest pierwsza).
za± drug¡ mo»emy rozpisa¢:
n) ⇒ (d = 1 ∨ d = n)) ∧ (¬(n = 1) ∧ ¬(n = 0)) ,
czyli
(∀d (∃a da = n) ⇒ (d = 1 ∨ d = n)) ∧ (¬(n = 1) ∧ ¬(n = 0)) .
Zapisuj¡c caªe zdanie mo»emy dla wygody przenie±¢ warunek
¬(n = 1) ∧ ¬(n = 0)
do zdania z
k:
∃n (∃k n = 2k + 1 ∧ ¬(k = 0)) ∧ (∀d (∃a da = n) ⇒ (d = 1 ∨ d = n)) .
Zadanie 2. Okre±lmy dwa rodzaje kwantykatorów dla liczb naturalnych:
(∀∞ n ϕ(n)) ⇔ (∃k ∀n ­ k ϕ(n))
∃∞ n ϕ(n) ⇔ (∀k ∃n ­ k ϕ(n)) .
Korzystaj¡c z praw rachunku kwantykatorów i tautologii rachunku zda« wyka», »e:
¬ (∀∞ n ϕ(n)) ⇔ ∃∞ n (¬ϕ(n)) .
Rozwi¡zanie.
¬ (∀∞ n ϕ(n)) ⇔ ¬ (∃k ∀n ­ k ϕ(n)) ⇔ ¬ (∃k ∀n (n ­ k ⇒ ϕ(n))) ⇔ ∀k ∃n¬ (¬n ­ k ∨ ϕ(n))
⇔ ∀k ∃n (n ­ k ∧ ¬ϕ(n)) ⇔ ∀k ∃n ­ k (¬ϕ(n)) ⇔ ∃∞ n (¬ϕ(n)) .
Zadanie 3. Korzystaj¡c z zasady indukcji matematycznej wyka» prawdziwo±¢ poni»szego wzoru dla
12 + 32 + ... + (2n − 1)2 =
Rozwi¡zanie. Zbadajmy prawdziwo±¢ wzoru dla
n­1
n(2n − 1)(2n + 1)
+ (2n + 1)2 = (2n + 1)
3
.
n = 1:
12 = 1 =
1·1·3
3
Wzór jest prawdziwy, wi¦c przechodzimy do badania kroku indukcyjnego.
Zaªó»my, »e dla ustalonego
n­1
wzór jest prawdziwy. Poka»emy jego prawdziwo±¢ dla
12 + 32 + ... + (2n − 1)2 + (2(n + 1) − 1)2 =
n(2n − 1)(2n + 1)
n(2n − 1) + 3(2n + 1)
+ (2n + 1)2 = (2n + 1)
3
3
(n + 1)(2n + 3)
(n + 1)(2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1)
2n2 + 5n + 3
= (2n + 1)
=
3
3
3
indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla wszystkich n ­ 1.
= (2n + 1)
Zatem na mocy zasady
n + 1.
Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci
Kartkówka 2., grupa B.
8.11.2016
Imi¦ i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 1. Przyjmijmy, »e w j¦zyku arytmetyki liczb naturalnych mamy staªe 0, 1, 2, ... oraz symbole
+ i ·.
Zapisz w tym j¦zyku zdanie Istnieje parzysta liczba pierwsza..
Rozwi¡zanie. Chcemy zapisa¢ zdanie
∃n (n
Pierwsza cz¦±¢ wygl¡da nast¦puj¡co:
(∀d (d
jest parzysta)
∃k n = 2k,
jest dzielnikiem
∧ (n
jest pierwsza).
za± drug¡ mo»emy rozpisa¢:
n) ⇒ (d = 1 ∨ d = n)) ∧ (¬(n = 1) ∧ ¬(n = 0)) ,
czyli
(∀d (∃a da = n) ⇒ (d = 1 ∨ d = n)) ∧ (¬(n = 1) ∧ ¬(n = 0)) .
Zapisuj¡c caªe zdanie mo»emy dla wygody przenie±¢ warunek
¬(n = 1) ∧ ¬(n = 0)
do zdania z
k:
∃n (∃k n = 2k ∧ ¬(k = 0)) ∧ (∀d (∃a da = n) ⇒ (d = 1 ∨ d = n)) .
Zadanie 2. Okre±lmy dwa rodzaje kwantykatorów dla liczb naturalnych:
∀∞ n ϕ(n) ⇔ ∃k ∀n ­ k ϕ(n)
∃∞ n ϕ(n) ⇔ ∀k ∃n ­ k ϕ(n).
Korzystaj¡c z praw rachunku kwantykatorów i tautologii rachunku zda« wyka», »e:
(¬ (∃∞ n ϕ(n))) ⇔ (∀∞ n (¬ϕ(n))) .
Rozwi¡zanie.
¬ (∃∞ n ϕ(n)) ⇔ ¬ (∀k ∃n ­ k ϕ(n)) ⇔ ¬ (∀k ∃n (n ­ k ∧ ϕ(n))) ⇔ ∃k ∀n¬ (n ­ k ∧ ϕ(n))
⇔ ∃k ∀n (¬n ­ k ∨ ¬ϕ(n)) ⇔ ∃k ∀n (n ­ k ⇒ ¬ϕ(n)) ⇔ ∃k ∀n ­ k (¬ϕ(n)) ⇔ ∀∞ n (¬ϕ(n)) .
Zadanie 3. Korzystaj¡c z zasady indukcji matematycznej wyka» prawdziwo±¢ poni»szego wzoru dla
2
13 + 23 + ... + n3 =
Rozwi¡zanie. Zbadajmy prawdziwo±¢ wzoru dla
2
n (n + 1)
.
4
n = 1:
13 = 1 =
12 · 22
4
Wzór jest prawdziwy, wi¦c przechodzimy do badania kroku indukcyjnego.
Zaªó»my, »e dla ustalonego
n­1
wzór jest prawdziwy. Poka»emy jego prawdziwo±¢ dla
13 + 23 + ... + n3 + (n + 1)3 =
n2 (n + 1)2
n2 + 4(n + 1)
+ (n + 1)3 = (n + 1)2
4
4
(n + 2)2
(n + 1)2 ((n + 1) + 1)2
n2 + 4n + 4
= (n + 1)2
=
4
4
4
matematycznej wzór jest prawdziwy dla wszystkich n ­ 1.
= (n + 1)2
Zatem na mocy zasady indukcji
n + 1.
n­1