przykład 1. do wykładu 1.

Poszukiwanie sił kontaktowych
na styku konstrukcji z podłożem
Oznaczenia:
- obciążenie równomierne q, [kN/m],
- reakcje Ri, obciążenie skupione R, [kN],
- sztywność podpory C, [kN/m],
- długość belki L = a + b, [m],
- przemieszczenie u1 punktu „1” na belce [m].
PRZYKŁAD 0:
Brak współpracy konstrukcji z podłożem.
b
q [kN/m]
a
Belka statycznie wyznaczalna
na nieosiadających podporach
A
B
1
• Obciążenie równomierne q:
reakcje R A = RB = q ⋅ L
RA [kN]
RB [kN]
2
ugięcie
u1q
3

a 2 a 
q ⋅ L3 ⋅ a 
=
⋅ 1− 2 ⋅ 2 + 3 
24 ⋅ EI 
L
L 


• Obciążenie skupione R:
reakcje R A = R ⋅ b , RB = R ⋅ a
ugięcie
u1R
L
L

R ⋅ a ⋅ b ⋅ L  a 2 b 2 
=
⋅ 1− 2 − 2

6 ⋅ EI
L
L 

a
b
R [kN]
A
B
1
RA [kN]
Belka statycznie wyznaczalna
na sprężystych podporach
•
RA
Obciążenie równomierne q:
q⋅L ,
= RB =
2
RA
q⋅L
=
uA =
CA 2 ⋅ CA
u1q =
, uB = R B = q ⋅ L
CB
b
q [kN/m]
a
A
B
1
CA
RA [kN]
2 ⋅ CB
CB
RB [kN]

a2 a3 
q ⋅ L3 ⋅ a 
q⋅L b
q⋅L a
⋅ 1 − 2 ⋅ 2 + 3  +
⋅ +
⋅
24 ⋅ EI 
L
L  2 ⋅ C A L 2 ⋅ CB L


Obciążenie skupione R:
a
b
R A = R ⋅ , RB = R ⋅
L
RA
R ⋅b
uA =
=
CA L ⋅ CA
L
,
R
R⋅a
uB = B =
CB L ⋅ CB
R ⋅ a ⋅ b ⋅ L  a 2 b 2  R ⋅ b b R ⋅ a a
=
⋅ 1− 2 − 2 +
⋅ +
⋅

6 ⋅ EI
L
L  L ⋅ C A L L ⋅ CB L

b
a
•
u1R
RB [kN]
R [kN]
A
B
1
CA
RA [kN]
RB [kN]
CB
Wniosek:
uwzględnienie podatności podłoża nie wpływa na siły na kontakcie z podłożem, ani siły
wewnętrzne w belce, wpływa ono jedynie na przemieszczenia belki. Dwa ostatnie składniki w
przemieszczeniach u1q oraz u1R opisują osiadanie/przechylenie belki nieskończenie sztywnej
na sprężystych podporach.
b
a
PRZYKŁAD 1:
Najprostsza współpraca konstrukcji z podłożem.
q [kN/m]
A
Belka podwalinowa na trzech osiadających
niezależnych podporach sprężystych. Zadanie jest
jednokrotnie statycznie niewyznaczalne.
Rozwiązanie.
W punkcie „1” usunięty jest kontakt belki z
podporą – powstaje tam „szczelina”,
a punkt „1” rozszczepia się wirtualnie na dwa
punkty:
1’ = punkt „1”, ale na belce,
1” = punkt „1”, ale na fundamencie.
W rzeczywistości odległość między punktami
1’ oraz 1” jest oczywiście zerowa.
Belka na dwóch pozostałych podporach A-B
jest belką statycznie wyznaczalną,
jak w Przykładzie 0.
B
C1
R1 [kN]
CA
1’
1
R1 [kN]
b
q
a
A
CA
CB
RB [kN]
B
1
C1
RA
R1
CB
RB
1”
1) Obciążenie q na belce statycznie wyznaczalnej „zaciska szczelinę” i punkt 1’ znalazłby
się poniżej punktu 1”, czyli wystąpiłoby wirtualne „przenikanie”
betonowej ławy przez betonowy fundament.
Jeśli sprężyny są niezależne, to to „zaciśnięcie” w punkcie „1” ma dwa powody - jak w
wyrażeniu u1q w Przykładzie 0:
a) strzałka ugięcia samej belki na podporach nieosiadających (wpływ skończonej
sztywności EI),
b) osiadanie/przechylenie belki jako ciała sztywnego od osiadań podpór „A” oraz „B”,
które są spowodowane przez q (wpływ skończonej sztywności podpór CA,CB).
Uwaga: w przypadku braku niezależności osiadań podpór doszedłby jeszcze jeden czynnik:
wystąpiłoby osiadanie nieobciążonego punktu 1” na skutek obciążenia sąsiednich podpór siłami
RA oraz RB pochodzącymi od q (typowy „wpływ sąsiada” dla półprzestrzeni sprężystej);
w punkcie b) należałoby to odpowiednio uwzględnić.
2) Para zrównoważonych sił R1, przyłożonych odpowiednio na spodzie belki statycznie
wyznaczalnej i na wierzchu fundamentu „rozwiera szczelinę”, tj. powoduje oddalanie się
punktów 1’ oraz 1” (obciążenie q tutaj nie występuje).
Jeśli sprężyny są niezależne, to to „rozwieranie” w punkcie „1” ma trzy powody – trochę
podobnie jak w wyrażeniu u1R w Przykładzie 0:
a) strzałka ugięcia do góry samej belki na podporach nieosiadających od siły R1
skierowanej do góry, por. pierwszy składnik w u1R,
b) osiadanie/przechylenie belki podnoszonej przez siłę R1 (jako ciało sztywne) na
skutek podnoszenia podpór „A” oraz „B” przez reakcje podporowe spowodowane
przez siłę R1, por. drugi i trzeci składnik w u1R,
c) dodatkowe osiadanie własne podpory „1” od siły R1 skierowanej w dół.
To „zaciskanie” i „rozwieranie” szczeliny jest wielkością obiektywną, niezależną od
przyjętego układu współrzędnych; tak widzi to obserwator umiejscowiony np. w p.1’.
Uwaga: w przypadku półprzestrzeni sprężystej lub innego braku niezależności osiadań podpór,
punkty b) i c) są sprzężone; należy łącznie przeanalizować działanie na podłoże trzech obciążeń:
R1 oraz wygenerowanych przez tę siłę dwóch reakcji RA, RB, tj. siła R1 powoduje też osiadania
podpór A, B, a siły RA, RB powodują odpowiednio osiadanie podpory „1”.
3) W rzeczywistości żadna szczelina wystąpić nie może, czyli jej wirtualne „zaciśnięcie”
wg 1) musi być skompensowane przez wirtualne „rozwarcie” wg 2).
Stąd równanie do wyznaczenia R1 :
u1q = u1R
u1q =

a 2 a 3 
q ⋅ L3 ⋅ a 
q⋅L b
q ⋅ L a R1 ⋅ a ⋅ b ⋅ L  a 2 b 2  R1 ⋅ b b R1 ⋅ a a R1
⋅ 1 − 2 ⋅
+
+
⋅ +
⋅ =
⋅ 1−
−
+
⋅ +
⋅ +
= u1R


24 ⋅ EI 
6 ⋅ EI
L2 L3  2 ⋅ C A L 2 ⋅ CB L
L2 L2  L ⋅ C A L L ⋅ CB L C1



czyli

a 2 a 3 
q ⋅ L3 ⋅ a 
q⋅L b
q⋅L a
⋅ 1 − 2 ⋅ 2 + 3  +
⋅ +
⋅
24 ⋅ EI 
L
L  2 ⋅ C A L 2 ⋅ CB L


R1 =
a ⋅ b ⋅ L  a 2 b 2 
b
b
a
a 1
⋅ 1− 2 − 2 +
⋅ +
⋅ +

6 ⋅ EI 
L
⋅
C
L
L
⋅
C
L
C1
L
L 
A
B
lub

a 2 a 3  1
a
EI
b 1
EI
a

⋅ 1 − 2 ⋅ 2 + 3  + ⋅
⋅ + ⋅
⋅
24 ⋅ L 
L
L  2 C A ⋅ L3 L 2 CB ⋅ L3 L


R1 = q ⋅ L ⋅
a ⋅ b  a 2 b 2 
EI
b2
EI
a2
EI
⋅
1
−
−
+
⋅
+
⋅
+
2 
2
2 
3
2
3
2
6 ⋅L 
L
L  CA ⋅ L L
CB ⋅ L L
C1 ⋅ L3
* * * * *
Dla najprostszej belki symetrycznej na niezależnych podporach sprężystych:
a = b = L/2, CA = CB = C, C1 – dowolne
u1q =
5 q ⋅ L4 q ⋅ L
⋅
+
384 EI
2⋅C
oraz
u1R =
R1 ⋅ L3
R1
R
+
+ 1
48 ⋅ EI 2 ⋅ C
C1
Stąd oblicza się R1 i dalej RA = RB = (q·L – R1)/2:
10
EI
+
L
384 C ⋅ L3
R1 = q ⋅ ⋅
8
EI
EI
2
+
+
3
384 2 ⋅ C ⋅ L
C1 ⋅ L3
Wniosek:
o współpracy belki z podłożem decyduje jej WZGLĘDNA sztywność bezwymiarowa, tj.
ηA = EI/(CA· L3) , ηB = EI/(CB·L3) , η1 = EI/(C1·L3).
•
•
Dla CA = CB = C >> C1, czyli C1 → 0 jest R1 = 0.
Dla CA = CB = C << C1, czyli C → 0 jest R1 = q ⋅ L ⋅ 2 = q ⋅ L .
2
Najprostszy przypadek CA = CB = C1 = C:
10
EI
10
+
+η
L
L
384 C ⋅ L3
R1 = q ⋅ ⋅
= q ⋅ ⋅ 384
3 ⋅ EI
2 8
2 8
+
+ 3 ⋅η/ 2
384 2 ⋅ C ⋅ L3
384
i dla CA = CB = C1 = C → +∞ lub EI → 0 jest
R1 = q ⋅
L 10
⋅
2 8
.
R1/(qL/2) jako funkcja parametru eta
dla podłoża jednorodnego,
tj. dla CA=CB=C1
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
Ważne uogólnienie:
1) analizowana jest belka na n+2 podporach, gdzie n ≥ 1 jest stopniem statycznej niewyznaczalności,
a przy końcach są dwie podpory A oraz B,
2) obciążenie na górnej powierzchni fundamentu jest w postaci układu sił skupionych (ale może też
być dodatkowo obciążenie rozłożone q); zazwyczaj te siły Pj przykłada się w środkach segmentów
obliczeniowych, choć nie jest to regułą; oczywiście niektóre z nich (albo nawet wszystkie) mogą
być zerowe,
3) osiadania poszczególnych podpór nie muszą być niezależne (por.np. „efekt sąsiada” dla podpór na
półprzestrzeni sprężystej),
4) podpory nie muszą być podporami, tj. mogą to być myślowo wydzielone segmenty obliczeniowe,
które wraz z dwoma końcowymi segmentami dają w sumie całą belkę o ciągłym kontakcie z podłożem; jeśli przyjąć równą długość wszystkich obliczeniowych segmentów stykowych, to wynosi
ona L/(n+2); jeśli następnie każdą wyznaczoną rekcję podporową RA , RB , Rj rozłożyć równomiernie na swoim segmencie obliczeniowym, to otrzyma się lokalnie stałe odpory podłoża rj ,
które są schodkową aproksymacją ciągłego odporu gruntu r(x).
Pj [kN/m]
q [kN/m]
B
A
CA
RA [kN]
L
Cj
Rj [kN]
CB
RB [kN]
Te zagadnienia są szczegółowo omówione w zakładce:
STUDIA II-go stopnia
Uzupełnienia
Pakiety programów dla TK (do pobranie)
Program ZEM-SIN
ZEM_SIN_podstawy.DOC
a nawet jest to zrobione trochę lepiej, gdy punkty A,B są końcami belki
(występuje n niewiadomych reakcji Ri, i=1,…,n > 2 pod belką i dwa osiadania końców uA,uB).