Rozwiązania etap wojewódzki

Wojewódzki Konkurs Matematyczny
dla uczniów gimnazjów
13 luty 2014
Czas 90 minut
Rozwiązania zadań
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 10. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną
odpowiedź. W przypadku pomyłki na karcie odpowiedzi należy wypełnić następny diagram z odpowiedziami. Diagramy z niepoprawnymi odpowiedziami powinny
zostać przekreślone wzdłuż przekątnych. Zaznaczenie więcej niż jednej odpowiedzi
w jednym zadaniu jest równoznaczne z niepoprawną odpowiedzią.
Zadanie 1. (1 punkt) Objętość Ziemi równa jest 1, 08321 · 1012 km3 , czyli
a) 1, 08321 · 1015 m3
b) 1, 08321 · 1018 m3
d) 1, 08321 · 1025 m3
e) 1, 08321 · 109 m3
c) 1, 08321 · 1021 m3
Zadanie 2. (1 punkt) Trzej strzelcy strzelają do celu na strzelnicy. Pierwszy strzelec oddaje
strzały w odstępach 5 sekundowych, a drugi i trzeci odpowiednio 7 i 9 sekundowych. Ile razy
strzelcy oddadzą jednocześnie strzał w ciągu 15 minut, licząc łącznie z pierwszym strzałem,
który wszyscy oddali jednocześnie?
a) 4 razy
b) 3 razy
c) 5 razy
d) 2 razy
e) 6 razy
Zadanie 3. (1 punkt) Środkowa w dowolnym trójkącie:
a) przechodzi przez środek okręgu wpisanego
w trójkąt
b) dzieli kąt przy wierzchołku z którego wychodzi na połowę
c) przechodzi przez środek okręgu opisanego
na trójkącie
d) dzieli trójkąt na dwa trójkąty o jednakowych polach
e) dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne
Zadanie 4. (1 punkt) Wysokość ostrosłupa czworokątnego, którego wszystkie krawędzie mają
długość 10 cm wynosi
a) 10 cm
b) 5 cm
√
c) 5 2 cm
√
d) 5 3 cm
√
e) 10 3 cm
Zadanie 5. (1 punkt) Boki trójkąta mają długości: 5, 8, x. Wynika z tego, że x należy do
zbioru:
a) x ∈ (0, ∞)
b) x ∈ (0, 1)
c) x ∈ (3, 11)
d) x ∈ (11, 13)
e) x ∈ (3, 13)
Zadanie 6. (1 punkt) Ile wynosi x?
a) 2
b) 3
c) 4, 5
d) 12
e) 8
Zadanie 7. (1 punkt) Która z liczb jest niewymierna?
a)
d)
√
22013 + 22013
√
b)
22012 + 22015
e)
√
22010 + 22013 + 22014
√
c)
√
22014 + 22014
22013 − 22012
Zadanie 8. (1 punkt) Środkiem symetrii kwadratu jest początek układu współrzędnych, a jednym z jego wierzchołków jest punkt (2, 2). Promień okręgu opisanego na tym kwadracie wynosi
a)
√
2
√
b) 4 2
c)
√
3
d)
√
8
√
e) 16 2
Zadanie 9. (1 punkt) Marek waży półtora raza więcej niż Małgosia, która waży dwa razy
więcej niż Julia. Łączna waga całej trójki to 120 kg. Ile waży Julia?
a) 6 kg
b) 10 kg
c) 12 kg
d) 15 kg
e) 20 kg
Zadanie 10. (1 punkt) W ciągu jednego miesiąca trzykrotnie wypadła niedziela w dniu parzystym. Jaki dzień tygodnia wypadł 19-tego w tym miesiącu?
a) poniedziałek
b) wtorek
c) środa
d) czwartek
e) piątek
kod ucznia
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań od 11. do 15. należy zapisać w wyznaczonym miejscu pod ich
treścią.
Zadanie 11.(3 punkty) Na stadionie, którego bieżnia ma 400 m długości, odbył się bieg na
10 km. Zwycięzca ukończył bieg po 30 minutach, a ostatni zawodnik po 32 minutach. Ile
okrążeń przebiegł zwycięzca do momentu zdublowania ostatniego zawodnika. Przyjmij, że każdy
z zawodników biegł ze stałą prędkością.
Rozwiązanie:
Oznaczamy prędkość zwycięzcy jako V1 a prędkość ostatniego zawodnika jako V2 .
m
m
V2 = 10000
V1 = 10000
30
32
min ,
min
W momencie zdublowania zwycięzca przebiegnie odległość o 400 m większą od zawodnika
ostatniego . Oznaczamy czas po którym to nastąpi przez t.
Otrzymujemy następujące równanie:
V1 · t = V2 · t + 400
Z powyższego równania wyznaczamy t
t=
400
V1 − V2
Po podstawieniu za V1 i V2
t=
400
400
10000 =
1
− 32
−
10000 · 30
10000
30
1
32
=
30 · 32
4
·
= 19, 2 min
100 32 − 30
W czasie t zwycięzca przebiegł
V1 · t =
10000
· 19, 2 = 6400m
30
Jedno okrążenie ma 400 m więc zwycięzca przebiegł
6400
400
= 16 okrążeń
Odpowiedź: Zwycięzca do momentu zdublowania przebiegł 16 okrążeń.
• Wyznaczenie prędkości obu zawodników - 1 punkt
• Wyznaczenie układu równań umożliwiających obliczenie czasu w którym jeden zwycięzca
zdublował ostatniego zawodnika - 1 punkt
• Obliczenie ilości okrążeń zwycięzcy do momentu zdublowania - 1 punkt
W przypadku innego sposobu rozwiązywania zadania ilość punktów została przyznana w stosunku do zaawansowania obliczeń umożliwiających otrzymanie poprawnego wyniku.
√
Zadanie 12.(3 punkty) Ogrodzona łąka ma kształt kwadratu o boku 30 3 m. W jednym
z rogów łąki (wierzchołku kwadratu) zaczepiona jest koza na łańcuchu o długości 60 m. Jaką
część łąki ma w zasięgu koza? Wynik wyraź w procentach.
Rozwiązanie:
Część łąki w zasięgu kozy można podzielić √
na trzy figury geometryczne. Dwie z nich to
trójkąty prostokątne o przyprostokątnej 30 3 m i przeciwprostokątnej 60m. Druga
przyprostokątna trójkąta jest równa 30 m, natomiast jeden z kątów (zaznaczony na rysunku)
jest równy 30o . Trzecią figurą jest wycinek koła o kącie wewnętrznym 30o i promieniu 60 m.
Pole łąki w zasięgu kozy jest równe sumie pól trzech wymienionych figur.
√
30 3 · 30 π · 602
P =2·
+
2
12
P = 900 · 1, 73 + 3, 14 · 300 = 1557 + 942 = 2499m2
Całkowite pole łąki wynosi
Procent łąki w zasięgu kozy =
√
(30 3)2 = 2700m2
2499
2700
· 100% = 92, 6%
Odpowiedź: Koza ma w zasięgu 92,6% łąki.
Punktacja:
• Poprawny rysunek (długość łańcucha dłuższa od boku i krótsza od przekątnej) - 1 punkt
• Wyznaczenie kątów w trójkątach i wycinku koła - 1 punkt
• Obliczenie pól figur i wyznaczenie ich stosunku procentowego - 1 punkt
Zadanie 13.(3 punkty) Wierzchołki trójkąta o bokach 4, 5 i 6 są środkami okręgów z których
każdy jest zewnętrznie styczny do dwóch pozostałych. Oblicz długość promieni tych okręgów.
Rozwiązanie:
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku promienie okręgów spełniają następujący układ równań:
r1 + r2 = 6
r1 + r3 = 4
r2 + r3 = 5
Rozwiązując ten układ otrzymujemy r1 = 2, 5 r2 = 3, 5 r3 = 1, 5
Odpowiedź: Promienie okręgów wynoszą r1 = 2, 5 r2 = 3, 5 r3 = 1, 5
Punktacja:
• Poprawny rysunek poglądowy (okręgi są styczne w punktach leżących na bokach trójkąta)
- 1 punkt
• Napisanie układu równań - 1 punkt
• Obliczenie długości promieni - 1 punkt
Zadanie 14.(3 punkty) Pole prostokątnej łąki o powierzchni 693 m2 należy ogrodzić siatką
rozciągniętą na słupkach. Odległość między dwoma kolejnymi słupkami wyrażona w metrach
jest stała i jest liczbą całkowitą. Jaka jest długość siatki, jeżeli do ogrodzenia łąki nie trzeba
więcej niż 50 słupków? (w każdym rogu łąki znajduje się jeden słupek).
Rozwiązanie: Oznaczamy boki łąki przez x i y.
Wtedy
x · y = 693m2
Liczby x i y są liczbami całkowitymi gdyż są wielokrotnościami odległości między słupkami.
Liczbę 393 można rozłożyć na iloczyn
693 = 3 · 3 · 7 · 11
Łąka może mieć następujące wymiary:
lp x
y
1 1 693
2 3 231
3 7 99
4 9 77
5 11 63
6 21 33
W przypadkach 1), 3), 4) , 5) jedynym wspólnym podzielnikiem długości boków jest liczba 1.
Odległość między dwoma kolejnymi słupkami wynosi więc 1. Ilość słupków potrzebna do
ogrodzenia byłaby równa obwodowi łąki, a więc przekraczałyby 50. W przypadkach 2) i 6)
oprócz jedynki wspólnym podzielnikiem jest liczba 3. W tych przypadkach odległość między
słupkami może wynosić 3.
W przypadku 2) do ogrodzenia łąki potrzeba:
3 231
+
= 156
2·
3
3
słupków, a więc też powyżej 50. W przypadku 6) do ogrodzenia łąki potrzeba:
21 33
2·
+
= 36
3
3
słupków, a więc mniej niż 50.
Obwód łąki jest więc równy
O = 2 · 21 + 2 · 33 = 108 m.
Odpowiedź: Długość siatki potrzebna do ogrodzenia łąki wynosi 108 m.
• Rozłożenie liczby 693 na czynniki i przedstawienie wszystkich możliuwości długości boków
prostokąta - 1 punkt
• Zauważenie że odległość między słupkami powinna wynosić 3 m - 1 punkt
• Wyznaczenie właściwego rozwiązania i obliczenie długości siatki - 1 punkt
Zadanie 15.(3 punkty) Zwiększenie prędkości pociągu na drodze z miasta A do miasta B
o 10 km/h skraca czas podróży o 1 godzinę, natomiast zmniejszenie prędkości o 10 km/h
wydłuża czas podróży o 4 godziny. Oblicz odległość między miastami A i B.
Rozwiązanie:
Oznaczamy odległość między miastami przez S, prędkość pociągu przez V , czas przejazdu
przez t.
Z warunków zadania otrzymujemy następujący układ równań:



S = V ·t
S = (V + 10) · (t − 1)


S = (V − 10) · (t + 4)
Po wymnożeniu prawych stron równań otrzymujemy:



S = V ·t
S = V · t − V + 10 · t − 10


S = V · t + 4 · V − 10 · t − 40
Odejmując pierwsze równanie od dwóch pozostałych otrzymujemy:



S = V ·t
0 = −V + 10 · t − 10


0 = 4 · V − 10 · t − 40
Dodając stronami równanie drugie i trzecie:



S = V ·t
0 = −V + 10 · t − 10


0 = 3 · V − 50
Ostatecznie obliczamy
V =
50
3
t=
V + 10
8
=
10
3
S =V ·t=
50 8
400
· =
3 3
9
km , czas t wyrażony jest w godzinach, odległość S wyrażona
Prędkość V wyrażona jest w godz
jest w km.
Odpowiedź:
Odległość między miastami wynosi
400
9
km.
• Wyznaczenie układu równań - 1 punkt
• Eliminacja z układu równań iloczynu V · t - 1 punkt
• Wyznaczenie odległości między miastami - 1 punkt
W przypadku innego sposobu rozwiązywania zadania ilość punktów została przyznana w stosunku do zaawansowania obliczeń umożliwiających otrzymanie poprawnego wyniku.