Lista 6
Transkrypt
Lista 6
Bartªomiej Skowron Logika I 2011 /2012 Rudymenty algebry abstrakcyjnej. Algebry Boole'a. Wspóªczesne uj¦cie poj¦cia analogii proporcjonalno±ci poj¦cie (homo)izomorfizmu. Syntetyczno±¢ twierdze« matematyki w uj¦ciu Kanta Cz¦±¢ poj¦¢ wprowadzonych na tej li±cie znacz¡co przekracza tradycyjny program wykªadu z logiki. Po co jednak s¡ one wprowadzane? Otó» cho¢by poj¦cie izomorzmu (i jego odmiany) pojawiaj¡ si¦ w wielu argumentacjach dwudziestowiecznej (i nie tylko) lozoi (np. w Epistemologii Wole«skiego izomorzm pojawia si¦ co najmniej kilkana±cie razy), aby wy- peªni¢ pust¡ intencj¦ przez naoczno±¢ i nie ±lizga¢ si¦ po tych poj¦ciach prze¢wiczymy ich elemetarne wersje. Z tych te» powodów caªo±¢ punktów z tej listy nie b¦dzie wliczana w ogólny rozrachunek innymi sªowy rozwi¡zuj¡c zadania z tej listy korzystamy wiele, a nie rozwi¡zuj¡c nie tracimy Zadanie 1. (i) nic. Sprawd¹ czy podane operacje s¡ dziaªaniami w zbiorze Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze (ii) A: A = {−1, 0, 1}. Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze (iii) Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze (iv) Niech przez przez (v) A = N. A = Z. n ∈ N+ . Przyporz¡dkowanie liczbie naturalnej jej reszty z dzielenia n w A = N, a je±li A = Z? Reszt¦ z dzielenia liczby caªkowitej m n oznaczamy mmodn. Oczywi±cie mmodn ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Dziaªania +n i · n w A = {1, 2, 3, . . . , n − 1} zdeniowane nast¦puj¡co: a +n b = (a + b)modn, a·n b = (a· b)modn (vi) a b = (vii) (viii) √ ab + a + b − 7 Operacja 11 =1 Niech Zadanie 2. A=Q , a w zbiorze okre±lona w nast¦puj¡cy sposób 00 w zbiorze B w zbiorze = 0, 01 = 0, 10 = 0, A = {0, 1}. b¦dzie dowolnym zbiorem. Narysuj tabelk¦ dziaªa« ∩, ∪, \, 4 +4 i ·4 w zbiorze (i) A = P(B). {0, 1, 2, 3}. +4 ? w zbiorze one ª¡czne i przemienne? Czy ·4 jest rozdzielne wzgl¦dem Zadanie 3. A = R? Czy s¡ W zbiorze liczb caªkowitych poda¢ przykªady: podzbioru zamkni¦tego wzgl¦dem dodawania, który nie jest zamkni¦ty wzgl¦dem mno»enia, (ii) podzbioru zamkni¦tego wzgl¦dem mno»enia, który nie jest zamkni¦ty wzgl¦dem dodawania. Zadanie 4. Czy podane dziaªania w odpowiednich zbiorach s¡ ª¡czne, prze- mienne, idempotentne oraz czy istnieje element neutralny? Wyznaczy¢ te elementy podanego zbioru, dla których istnieje element odwrotny i wyrazi¢ element odwrotny do a (o ile istnieje) przez a. (i) ab = ab w zbiorze N+ ; Lista 6 (lista dodatkowa) 1 Bartªomiej Skowron Logika I 2011 /2012 a+b 2 w zbiorze (ii) a b = (iii) a b = a + b + 1 R; w zbiorze ab a+b w zbiorze Zadanie 5. ; w zbiorze (iv) a b = ab + a + b (v) a b = Q R; R; Dziaªanie w zbiorze p p q r s t p q r s t A = {p, g, r, s, t} q q p s q p r r t t s q s s p r t p zadane jest tabelk¡: t t p s p p A. , nazywamy grup¡, Wskaza¢ elementy odwrotne (o ile istniej¡) do elementów zbioru Zadanie 6. Zbiór G, w którym okre±lone jest dziaªanie je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki: 1. dziaªanie 2. w G jest ª¡czne; istnieje element neutralny wzgl¦dem dziaªania 3. dla ka»dego ; g ∈ G istnieje w G element odwrotny do g wzgl¦dem dziaªania . Warunki (1)-(3) nazywamy aksjomatami teorii grup. Sprawd¹ czy podany system algebraiczny A jest grup¡: (i) A = hN, +i, A = hZ, +i; (ii) A = hZ, · i, A = hQ, · i; (iii) A = hR\{0}, · i, A = hQ+ , · i; (iv) A = hZn , +n i p gdzie Zn = {0, . . . , n − 1} oraz n ∈ N+ , A = hZp , ·p i, gdzie jest liczb¡ pierwsz¡. (v) A = hP(X), 4i, Zadanie 7. gdzie X jest dowolnym zbiorem. Wyka», »e dla dowolnego zbioru system algebraiczny zªo»ony ze zbioru pot¦gowego oraz dziaªa«: sumy, iloczynu i dopeªnienia mnogo±ciowego jest algebr¡ Boole'a. Podobnie, udowodnij, »e system algebraiczny, którego uniwersum skªada si¦ z 0 i 1, na którym okre±lone s¡ dziaªania koniunkcji, alternatywy i negacji jest (dwuelementow¡) algebr¡ Boole'a. Co jest zerem a co jedynk¡ tych algebr? Zadanie 8. A i B. Sprawdzi¢, »e podane funkcje f s¡ izomorzmami systemów (Wªa±nie w takim sensie mo»emy ±ci±le wypowiedzie¢ my±l, »e s¡ one analogiczne). (i) A = (R, +), B = (R+ , · ) oraz f (x) = 2x ; (ii) A = (P(X), ∪, ∩), B = (P(X), ∩, ∪) oraz f (A) = A0 ; Lista 6 (lista dodatkowa) 2 Bartªomiej Skowron Logika I 2011 /2012 (iii) A = (R, ∧, ∨), B + (R, ∨, ∧) oraz f (a) = −a, gdzie a ∧ b = max(a, b), a ∨ b = min(a, b); (iv) Podaj tak¡ funkcj¦ Zadanie 9. f, która jest izomorzmem A w A. Jakie systemy algebraiczne nazywamy pier±cieniami, a jakie ciaªami? Podaj ich denicj¦ (tzn. aksjomatyk¦ teorii pier±cieni i teorii ciaª), i dwa przykªady pier±cienia i dwa przykªady ciaªa (razem 4 Zadanie 10. ró»ne przykªady). Na gruncie dost¦pnej wiedzy z algebry abstrakcyjnej skomen- tuj twierdzenie Kanta: S¡dy matematyczne s¡ s¡dami syntetycznymi a priori. Jak mo»na uzasadni¢ syntetyczno±¢ twierdze« matematyki u»ywaj¡c rydymentów algebry? Oto dokªadne wysªowienie Kanta z Krytyki czystego rozumu : S¡dy matematyczne s¡ wszystkie syntetyczne. (. . . ) Przede wszystkim trzeba zauwa»y¢: wªa±ciwe twierdzenia matematyczne s¡ zawsze s¡dami a priori, a nie s¡dami empirycznymi, gdy» odznaczaj¡ si¦ konieczno±ci¡, której nie mo»na zaczerpn¡¢ z do±wiadczenia. (. . . ) Mo»na by pocz¡tkowo my±le¢, »e twierdzenie, i» 7 + 5 = 12, jest zdaniem czysto analitycznym, wynikaj¡cym na mocy zasady sprzeczno±ci z poj¦cia sumy siedmiu i pi¦ciu. Jednak»e rozpatrzywszy spraw¦ bli»ej znajdujemy, »e poj¦cie sumy siedmiu i pi¦ciu nie zawiera w sobie niczego wi¦cej, jak poª¡czenie obu liczb w jedn¡, przez co wcale nie my±limy, jak¡ jest owa jedna liczba, która je obie w sobie ª¡czy. Poj¦cie liczby dwana±cie nie jest jeszcze wcale samo przez to pomy±lane, »e my±l¦ sobie jedynie owo poª¡czenie siedmiu i pi¦ciu. I mog¦ sobie poj¦cie takiej mo»liwej sumy do woli analizowa¢, a mimo to nie znajd¦ w nim liczby dwana±cie. Trzeba wyj±¢ poza te poj¦cia, bior¡c sobie do pomocy dane unaocznione, które jednemu z nich odpowiadaj¡, np. swoje pi¦¢ palców (. . . ) To, »e liczba 5 miaªa by¢ dodana do 7, pomy±laªem wprawdzie w poj¦ciu = 7 + 5, ale nie to, »e ta suma równa si¦ 12. Twierdzenie arytmetyczne jest wi¦c zawsze syntetyczne, a u±wiadamiamy sobie to tym wyra¹niej, im nieco wi¦ksze liczby bierzemy, poniewa» wówczas staje si¦ jasne, »e cho¢by±my nasze poj¦cia do woli obracali na wszystkie strony, nigdy nie mogliby±my znale¹¢ sumy przy pomocy samej analizy naszych poj¦¢, bez uciekania 1 si¦ do pomocy naoczno±ci . 1 I. Kant, Krytyka czystego rozumu, ANTYK, K¦ty 2001, s.61-62. Lista 6 (lista dodatkowa) 3 Bartªomiej Skowron Logika I 2011 /2012 Podstawowe definicje. Dodatek C Definicja 1 (Dziaªanie n-argumentowym n funkcj¦ f : A → A. niem Definicja n -argumentowe) Niech okre±lonym w niepustym zbiorze A n ∈ N+ . Dziaªanazywamy dowoln¡ 2 (System algebraiczny) Dowolny niepusty zbiór A z wy- ró»nionym ukªadem dziaªa« n-argumentowych (liczby argumentów odpowiadaj¡ce ró»nym dziaªaniom mog¡ by¢ ró»ne) okre±lonych w A oraz wyró»nionym ukªadem elemntów zbioru A nazywamy systemem algebraicznym b¡d¹ po prostu hA, (fi )i∈I , (at )t∈T i. Gdzie I, T s¡ dowolnymi zbiorami injest dowolnie argumentowym dziaªaniem w A dla ka»dego i, at ∈ A algebr¡. Notacja: deksów, fi dla ka»dego t. Definicja 3 (Wªasno±ci dziaªa« dwuargumentowych) Niech * b¦dzie dziaªaniem dwuargumentowym okre±lonym w zbiorze A. Mówimy, »e dziaªanie to jest: idempotentne, je±li ª¡czne, je±li przemienne, je±li Je±li ⊕ a∗a = a dla ka»dego a∗(b∗c) = (a∗b)∗c a∗b = b∗a a ∈ A, dla dowolnych dla dowolnych a, b, c ∈ A, a, b ∈ A. jest równie» dwuargumentowym dziaªaniem w zbiorze A, to dziaªanie * nazywamy : obustronnie rozdzielnym wzgl¦dem ⊕, gdy a∗(b ⊕ c) = (a∗b) ⊕ (a∗c) oraz (b ⊕ c)∗a = (b∗a) ⊕ (c∗a). Definicja 4 (Element neutralny, element odwrotny) Niech b¦dzie dziaªaniem okre±lonym w zbiorze A oraz Mówimy, »e e jest elementem neutralnym dziaªania dla wszystkich a, b ∈ A. Je±li e jest elementem neutralnym dziaªania mentem odwrotnym do a wzgl¦dem dziaªania Definicja je±li ae = ea = a a ∈ A. , , to mówimy, »e b jest eleje±li ab = ba = e. 5 (Algebra Boole'a) System algebraiczny A = hA, ∪, ∩,0 , 0, 1i nazywamy algebr¡ Boole'a, je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci: 1. dziaªania ∪, ∩ s¡ idempotentne, przemienne i ª¡czne; 2. ∪ 3. x ∪ (x ∩ y) = x, x ∩ (x ∪ y) = x; 4. x ∩ 1 = x, x ∩ x0 = 0, x ∪ 0 = x, x ∪ x0 = 1. jest rozdzielne wzgl¦dem ∩; 6 (Homomorfizm) Niech A = hA, (fi )i∈I , (cj )j∈J i oraz B = hB, (gi )i∈I , (dj )j∈J i b¦d¡ systemami algebraicznymi, gdzie odpowiednie dziaªania maj¡ t¦ sam¡ arno±¢. Homomorzmem z A do B nazywamy funkcj¦ F : A → B tak¡, »e dla ka»dego i ∈ I oraz a1 , ..., ami ∈ A, gdzie mi jest liczb¡ argumentów Definicja i-tej funkcji, mamy: Lista 6 (lista dodatkowa) 4 Bartªomiej Skowron Logika I 2011 /2012 F (fi (a1 , ..., ami )) = gi (F (a1 ), ..., F (ami )) oraz dla ka»dego j∈J mamy: F (cj ) = dj W przypadku, gdy B A = hA, +, · , ci oraz B = hB, , , di homomorzmem F : A → B tak¡, »e dla a, b, c ∈ A oraz d ∈ B : z A w nazywamy funkcj¦ F (a + b) = F (a) F (b) F (a· b) = F (a) F (b) oraz F (c) = d Je±li istnieje homomorzm z A do B to mówimy, »e s¡ one homomorczne. Podobnie w przypadku endo- mono- i izomorzmu. Jak widzimy, dziaªania jednego systemu przenosz¡ si¦ homomorcznie na dziaªania drugiego, oraz obrazem elementów wyró»nionych pierwszego systemu s¡ odpowiednio elementy wyró»nione drugiego systemu. Te okoliczno±ci pozwalaj¡ dopatrywa¢ si¦ zbie»no±ci z lozocznym poj¦ciem analogii proporcjonalno±ci. Poznali±my jednak tylko uj¦cie algebraiczne wspóªczesnego odpowiednika poj¦cia analogii, s¡ te» inne, jak np. (chyba najogólniejsze) w matematycznej teorii kategorii poj¦cie morzmu oraz o czym warto wspomnie¢ poj¦cie homeomorzmu w topologii. Platon nie wpuszczaª do Akademii osobników nieznaj¡cych geometrii nie bez powodu, otó» wskazuje si¦, »e geneza lozocznego poj¦cia istoty ma swe ¹ródªo w geometrii. Wspóªczesn¡ wersj¡, niejako uogólnieniem, geometrii jest analysis situs, czyli topologia. Oddajmy w tej sprawie gªos Kazimierzowi Kuratowskiemu: Topologia jest to nauka o tych wªasno±ciach tworów geometrycznych, które nie ulegaj¡ zmianie, gdy twory te poddajemy przeksztaªceniom ró»nowarto±ciowym i obustronnie ci¡gªym, czyli homeomorzmom. (. . . ) logicznymi. Wªasno±ci takie nazywamy niezmiennikami topo- Na przykªad wªasno±¢ okr¦gu polegaj¡ca na tym, »e rozcina on pªaszczyzn¦ na dwa obszary, jest niezmiennikiem topologicznym; je±li okr¡g przeksztaªcimy w elips¦ czy w obwód trójk¡ta, wªasno±¢ ta zostanie zachowana. Natomiast posiadanie stycznej w ka»dym punkcie nie jest wªasno±ci¡ topologiczn¡; posiada j¡ okr¡g, nie posiada za± obwód trójk¡ta, cho¢ powstaje on z okr¦gu przez 2 przeksztaªcenie ró»nowarto±ciowe i obustronnie ci¡gªe. Homeomorzm oraz inne poj¦cia topologiczne (np. otoczenie, brzeg, g¦sto±¢, ró»ne wersje spójno±ci, zwarto±¢, ograniczono±¢, metryka) s¡ wykorzystywane we wspóªczesnej metazyce (na wzór Scholastyków i Husserla). wie wystarczy przestudiowa¢ pisma np. Barry'ego Smith'a 4 W tej spra- 3 z Uniwersytetu w Bualo w Stanie NY lub ±p. Jerzego Perzanowskiego . 2 Kuratowski K., Wst¦p do teorii mnogo±ci i topologii, PWN, Warszawa 1972, s.103. 3 http://ontology.bualo.edu/smith/ 4 Perzanowski J., Ontologie i ontologiki oraz Byt [w:] Studia lozoczne, nr 6-7, Warszawa 1988, i wiele innych prac. Lista 6 (lista dodatkowa) 5 Bartªomiej Skowron Definicja Logika I 2011 /2012 7 (Izomorfizm, monomorfizm, endomorfizm) Homo- 1 − 1, endomorzmem je±li jest na 1 − 1 i na. Je±li dwa systemy algebraiczne A i B piszemy A ∼ = B . atwo zauwa»y¢, »e bycie izomorcznym morzm nazywamy monorzmem, je±li jest oraz izmorzmem je±li jest s¡ izomorczne, to 0 ∼0 = jest zwrotne, symetryczne i przechodnie. Definicja 8 (Funkcja, dziedzina i obraz funkcji) Niech X i Y b¦d¡ : X → Y ) nazywamy ⊆ X × Y ) taki, »e: zbiorami. Funkcj¡ ze zbioru X w zbiór Y (f zbiór iloczynu kartezja«kiego X i Y (f 1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y )(hx, yi ∈ f ) 2. (∀x ∈ X)(∀y1 , y2 ∈ Y )(hx, y1 i ∈ f ∧ hx, y2 i ∈ f ⇒ y1 = y2 ) dowolny pod- dom(f ) = X oraz rng(f ) = {y ∈ Y : (∃x ∈ X)hx, yi ∈ f } Dziedzina funkcji obraz funkcji f : A → B nazywamy ró»nowarto±ciow¡, (inaczej: 1−1, wzajemnie jednoznaczn¡ czy injekcj¡) wtedy, gdy dla ró»nych argumentów przyjmuje ró»ne warto±ci, tzn. (∀a, b ∈ A)(a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b)). Funkcj¦ f : A → B za± nazywamy na (surjekcj¡), gdy caªy zbiór B jest zbiorem warto±ci f, tzn. (∀b ∈ B)(∃a ∈ A)(f (a) = b). Je±li funkcja jest surjekcj¡ i injekcj¡, Dla przypomnienia: funkcj¦ to mówimy wówczas, »e jest bijekcj¡. Definicja 8 jest ju» drug¡ denicj¡ funkcji, któr¡ podajemy (pierwsza byªa w dodaku B), pomimo, »e ró»ni¡ si¦ te denicje w wysªowieniu (oraz, co za tym idzie, podkre±laj¡ inny aspekt funkcji) s¡ one jednak równowa»ne. Lista 6 (lista dodatkowa) 6