Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Technologie informatyczne
Interpolacja – metoda Lagrange’a
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych 5 – Część I
Opracowanie:
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Arkadiusz Cimiński, mgr inż.
Gdańsk
1. Wprowadzenie
Zagadnienie interpolacji polega na poszukiwaniu pewnej funkcji interpolującej, która
na danym dyskretnym zbiorze argumentów pokrywa się z wartościami funkcji
interpolowanej.
Interpolację stosuje się najczęściej gdy:
 nie znamy postaci analitycznej funkcji (jest ona stablicowana),
 postać analityczna funkcji jest zbyt skomplikowana.
Definicja 1
Niech na przedziale
danych będzie
(tzw. węzły interpolacyjne) oraz wartości funkcji
różnych punktów
w tych punktach:
(1)
Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji w punktach nie
będących węzłami interpolacyjnymi oraz oszacowanie błędu tych przybliżonych
wartości funkcji. W tym celu należy znaleźć funkcję interpolującą
, która w
węzłach interpolacyjnych przyjmuje takie same wartości co funkcja
(rys. 1).
f(x)
F(x)
F(x)
f(x)
f(x1)=F(x1)
Węzeł
interpolacyjny
f(x0)=F(x0)
0
x0
x1
x3
x2
x4
Rys. 1. Przykład interpolacji funkcji
x5
x
funkcją
Do podstawowych metod interpolacyjnych należą:
 interpolacja wielomianowa (metoda Lagrange’a, metoda Newtona, metoda
funkcji sklejanych),
 interpolacja wymierna,
 interpolacja trygonometryczna.
W dalszej części opracowania zostaną przedstawiona jedna z metod interpolacji
wielomianowej, a mianowicie metoda Lagrange’a.
2. Interpolacja wielomianowa
Interpolacja wielomianowa polega na poszukiwaniu wielomianu
, stopnia co
najwyżej
, spełniającego warunki (1).
Jednoznaczność sformułowanego powyżej zagadnienia interpolacyjnego zapewnia
następujące twierdzenie:
2
Twierdzenie 1
Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej
w punktach (w węzłach interpolacyjnych)
przyjmuje wartości
2.1.
, który
.
Metoda Lagrange’a
2.1.1. Istota metody
Interpolacja z wykorzystaniem wzoru Lagrange’a zakłada dowolne rozmieszczenie
węzłów interpolacyjnych. Wartość wielomianu interpolacyjnego można uzyskać bez
czasochłonnego rozwiązywania układu równań dla współczynników . W tym celu
stosuje się wzór interpolacyjny Lagrange’a:
(2a)
lub
(2b)
gdzie:
.
– wartość pochodnej w punkcie
.
Wielomian (2a) lub (2b) spełnia wszystkie warunki związane z interpolacją i jest
jedynym wielomianem stopnia co najwyżej .
Wartość błędu bezwzględnego interpolacji funkcji
w punktach z przedziału
nie będących węzłami interpolacyjnymi można oszacować z wykorzystaniem
pochodnej funkcji
z następującej zależności:
(3)
gdzie:
.
3
Przykład 1
Dana jest funkcja
. Dokonaj interpolacji tej funkcji w przedziale
wielomianem Lagrange’a stopnia:
 pierwszego,
 drugiego.
Przyjmij dla pierwszego przypadku węzły interpolacyjne jako końce rozpatrywanego
przedziału, zaś w drugim przypadku końce i środek rozpatrywanego przedziału. Dla
obu przypadków oszacuj błąd bezwzględny interpolacji w punkcie
.
Dokonując interpolacji korzystamy z zależności (2a):
Dla interpolacji wielomianem pierwszego stopnia mamy:
. Zatem otrzymujemy:
(4a)
Dla interpolacji wielomianem drugiego stopnia mamy:
. Zatem otrzymujemy:
(4b)
8
7
y=ex
y1=3.195*x+1
y2=1.477*x.2+0.241*x+1
6
5
f(x) 4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
1.2
1.4
1.6
Rys. 2. Ilustracja rozwiązania z przykładu 1
4
1.8
2
Szacując błąd interpolacji w punkcie
korzystamy z zależności (3):
Dla interpolacji wielomianem pierwszego stopnia mamy:
(5a)
Zatem otrzymujemy:
(5b)
Dla interpolacji wielomianem drugiego stopnia mamy:
(6a)
Zatem otrzymujemy:
(6b)
2.1.2. Wybór węzłów interpolacyjnych
Wielkość błędu interpolacji zależy od wartości
i od wartości
. Wartość
uzależniona jest tylko od własności funkcji i nie mamy na nią wpływu. Inaczej
jest z wartością
na którą mamy wpływ poprzez wybór węzłów interpolacyjnych.
Zatem należy zająć się zagadnieniem wyznaczenia takich węzłów interpolacyjnych
, aby wyrażenie:
(7)
miało jak najmniejszą wartość.
Powyższe zagadnienia zostało sformułowane przez Czebyszewa jako zagadnienie
znajdowania wielomianu algebraicznego najlepiej przybliżającego zero na zadanym
przedziale. Rozwiązaniem tego zagadnienia jest wielomian Czebyszewa
określony na przedziale
:
(8)
Każdy wielomian stopnia
ma
różnych pierwiastków w następujących punktach:
5
(9)
zawartych w przedziale
.
Jeżeli w przedziale
za węzły interpolacyjne przyjmiemy zera wielomianu
Czebyszewa to błąd interpolacji możemy oszacować z zależności:
(10)
Dokonując prostych przekształceń można uogólnić sytuację i znaleźć wartości
węzłów w przedziale
. Wartości te otrzymujemy poprzez przeskalowanie:
(11)
Optymalnymi węzłami interpolacyjnymi będą następujące punkty:
(12)
W miejscach wyznaczonych przez zależność (12) leżą węzły interpolacyjne, które
mają najmniejsze oszacowanie błędu. Wartość tego błędu wynosi:
(13)
Bibliografia
Dahlquist G., Björck A. (1983). Metody numeryczne. PWN.
Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J. (1982). Metody numeryczne. Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne.
Praca zbiorowa pod redakcją D. Zboś (1989). Metody numeryczne. Wydawnictwo
Politechniki Krakowskiej.
6