∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫

1. Dla jakich wartości x szereg jest zbieżny? Oblicz sumę dla x = x0
∞
∑ (1 − ln x )n ,
n =0
3
x0 = e 2
2. Zbadaj warunkową i bezwzględną zbieżność szeregu liczbowego
∞
cos(n 2 + 1)
(4p)
∑ (− 1)n n(n + 1)
n =1
3. Zbadaj zbieżność korzystając z wybranych kryteriów (napisz z których).
∞
∑ 2 + 4n+2 (6n++...1)+ 2n
(4p)
n =1
∞
4. Znajdź przedział zbieżności szeregu potęgowego
2n
∑ nx2 4 n
n =1
5. Rozwiń w szereg potęgowy funkcję f (x) i podaj przedział zbieżności otrzymanego
(
)
szeregu, gdzie f ( x) = ln 1 + x 3
6. Losowo ustawiamy 5 chłopców i 4 dziewczyny w rzędzie. Oblicz
prawdopodobieństwo, że chłopcy i dziewczyny będą stali na przemian.
7. Rzucono pięcioma kostkami do gry. Niech X oznacza liczbę jedynek lub szóstek,
które wypadły.
Znaleźć funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej
losowej X oraz wartość średnią i i wariancję.
(7p)
8. Dla jakiej wartości a funkcja f (x) jest gęstością prawdopodobieństwa. Znajdź i
przedstaw graficznie dystrybuantę tej zmiennej.
 0;
x ≤ −2
 1
f ( x) =  ; − 2 < x ≤ 0
 4 −2 x
ae ;
x>0
1
9. Oblicz wartość średnią i wariancję zmiennej losowej o gęstości f ( x) =
,
π 1+ x2
x ∈ R.
(
)
 0; x < 0
10. Udowodnij, że funkcja f ( x) =  −5 x
, jest gęstością prawdopodobieństwa.
5e ; x ≥ 0
Znajdź dystrybuantę tej zmiennej.
WZORY
∞
E ( X ) = ∑ x i pi
E( X ) =
i =1
D( X ) =
∞
∫ (x − E ( X ) )
−∞
∞
∞
∫ xf ( x)dx
D ( X ) = ∑ ( x i − E ( X ) )2 p i
−∞
2
f ( x)dx
D( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X )
i =1