Kolokwium z 21-04-2006

Kolokwium z Analizy matematycznej I - 21.IV.2006 r.
Zestaw A
Czas rozwiązywania - 90 min. Zadania 1-4 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne
rozwiązanie zadania 5∗ można dostać 15 punktów. Należy rozwiązać cztery spośród pięciu zadań. Wszystkie
czynności należy dokładnie uzasadniać.
1. W zależności od parametru a > 0 zbadaj zbieżność następującego ciągu funkcyjnego:
√
√
fn : R+ → R, fn (x) = x + an + 2 − x + n.
Znajdź obszar zbieżności punktowej, funkcję graniczną. Sprawdź czy zbieżność jest jednostajna. Jeśli nie
jest, podaj przykład „możliwie dużego” podzbioru, na którym zbieżność jest jednostajna.
2. Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji g : R2 → R
g(x, y) =
tan(x2 y)
.
x2 + y 2
3. Dane jest odwzorowanie f : (0, ∞) × R → R2 , f (x, y) = (u, v) = ((y 2 + 2y)ex+sin x , ln x). Znajdź punkty w
których odwzorowanie to jest lokalnie odwracalne . Znajdź „możliwie duży” zbiór, po obcięciu do którego
otrzymane odwzorowanie jest globalnie odwracalne. Podaj dziedzinę odwzorowania odwrotnego (uzasadnij).
Korzystając z Twierdzenia o pochodnej odwzorowania odwrotnego wyznacz macierz pochodnej
odwzorowania odwrotnego w punkcie p = (0, e).
4. Dany jest zbiór na płaszczyźnie zadany przez równanie we współrzędnych biegunowych
r = 2 − 2 sin φ.
W jakich punktach to równanie zadaje funkcję x = x(y)? Policz pochodną tej funkcji w punktach o
współrzędnej y = 0.
Wsk. x = r cos φ; y = r sin φ.
5.* Udowodnij, że obraz zbioru zwartego przy odwzorowaniu ciągłym jest zbiorem zwartym. Czy obraz zbioru
domkniętego musi być zbiorem domkniętym? A otwartego?
Powodzenia!