Wstęp A, lista 7. Konwersatorium 29.04, Ćwiczenia 27.04. uwaga

Wstp A, lista 7.
Konwersatorium 29.04, ‚wizenia 27.04. uwaga: zadanie z konwersatorium nie obowi¡zuje tym razem na kartkówe 27.04.
1. Nieh A = {0, 1, 2}. Relaja inkluzji ⊆ jest z±iowym porz¡dkiem na zbiorze
X = P(A).
(a) Wypisa¢ i nazwa¢ literami a, b, c, d, e, f, g, h wszystkie podzbiory zbioru A
(tzn. elementy zbioru X ).
(b) Narysowa¢ diagram Hassego relaji ze±iowego porz¡dku ⊆ na zbiorze
X = {a, b, c, d, e, f, g, h}.
2. Rozwa»my zbiór N zsiowo uporz¡dkowany przez relaj n|m (tu: n|0 dla
wszystkih n). Nieh A = {2, 3, 5, 4, 6, 10, 15}.
(a) Narysowa¢ diagram Hassego relaji n|m ogranizonej do zbioru A.
(b) Znale¹¢ kresy dolny i górny zbioru A w zbiorze N.
() Które elementy w zbiorze A s¡ minimalne lub maksymalne ? (wzgldem
relaji n|m obitej do zbioru A)
3. Na zbiorze X = R2 deniujemy relaj wzorem:
hx, yi hu, vi ⇔ x < u ∨ (x = u ∧ y ≤ v).
(a) Zaznazy¢ w ukªadzie wspóªrzdnyh Oxy zbiory punktów:
U = {hx, yi ∈ R2 : h1, 2i hx, yi}, V = {hx, yi ∈ R2 : h1, 2i hx, yi}
oraz analogizne zbiory dla par hu, vi ∈ R2 zamiast h1, 2i.
(b)Sprawdzi¢, »e jest porz¡dkiem liniowym na zbiorze X (zwanym porz¡dkiem leksykograznym, w podobny sposób porz¡dkuje si hasªa w enyklopedii).
()* Napisa¢ analogizn¡ denij porz¡dku leksykograznego na zbiorze R5 .
4. Na zbiorze X = R2 deniujemy relaj z±iowego porz¡dku ≤ wzorem:
hx, yi ≤ hu, vi ⇔ x ≤ u ∧ y ≤ v.
(a) Zaznazy¢ w ukªadzie wspóªrzdnyh Oxy zbiór par porównywalnyh z par¡
h2, 1i (ogólniej: z dan¡ par¡ hu, vi).
(b) Które z nastpuj¡yh zbiorów s¡ ªa«uhami w X ?
A1 = {hx, xi : x ∈ Z}, A2 = {hx, yi : x2 + y 2 ≤ 1}, A3 = {hx, yi : y = mx + n}
(m, n to ustalone parametry rzezywiste), A4 = {hx, yi : |x| < 1 ∧ |y| < 2},
A5 = {hx, yi : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0}.
() Które ze zbiorów w (b) maj¡ ogranizenie górne lub dolne ? Wyznazy¢
zbiory tyh ogranize«. Wyznazy¢ kresy górne i dolne (o ile istniej¡).
(d) Ogranizaj¡ relaj ≤ kolejno do zbiorów podanyh w (b) sprawdzi¢, zy
maj¡ one w tyh zbiorah elementy maksymalne i jakie to s¡ elementy.
1
5. Zaªó»my, »e ≤ jest liniowym porz¡dkiem na zbiorze X , za± A ⊆ X . U»ywaj¡
funkji zdaniowyh x ≤ y oraz x ∈ A (gdzie zmienne x, y przebiegaj¡ zbiór X )
oraz symboli logiznyh i 6=, ∈, 6∈) napisa¢ zdania i funkje zdaniowe:
(a) x jest nastpnikiem y .
() Ka»dy nastpnik x jest poprzednikiem y .
(d) Pewien nastpnik x jest poprzednikiem y . (uwaga: zy funkje zdaniowe z
punktu () i (d) s¡ równowa»ne ?)
(e) x jest mniejsze od y i midzy x i y s¡ przynajmniej dwa ró»ne elementy
zbioru X .
(f) x jest kresem górnym zbioru A,
(g) x jest kresem dolnym zbioru A.
Nastepnie napisa¢ zaprzezenia tyh funkji zdaniowyh oraz przeksztaªi¢ je
równowa»nie (korzystaj¡ z praw de Morgana), by wyeliminowa¢ u»yie negaji.
(wskazówka: punkty (f) i (g) byªy na wykªadzie i w skrypie, ¬x ≤ y ⇔ y ≤
x ∧ x 6= y ).
6. K Zaªó»my, »e A, B ⊆ R. Udowodni¢ nastpuj¡e twierdzenia.
(a) Zaªó»my, »e lizba c ograniza z góry zbiór A oraz ograniza z doªu zbiór
B . Wtedy dla ka»dyh lizb a ∈ A i b ∈ B mamy a ≤ b.
(b) Zaªó»my, »e ka»da lizba a ∈ A ograniza z doªu zbiór B . Wtedy ka»da
lizba b ∈ B ograniza z góry zbiór A.
() Zaªó»my, »e lizba a oganiza z góry zbiór A. Wtedy lizba −a ograniza z
doªu zbiór −A = {−x : x ∈ A}.
(d)* Zaªó»my, »e lizba a jest kresem górnym zbioru A oraz b jest kresem
górnym zbioru B . Wtedy lizba a + b jest kresem górnym zbioru A + B =
{x + y : x ∈ A ∧ y ∈ B}.
2