Mechanika ośrodków ciągłych Zadania domowe, seria 11 Data

Mechanika ośrodków ciągłych
Zadania domowe, seria 11
Data oddania: 14.05.2015
Paweł Kondratiuk
7 maja 2015
Zad. 1
Przy omawianiu prawa Torricellego i teoretycznym opróżnianiu√beczki wina na wykładzie pokazano, że
prędkość wypływu wina z beczki jest równa (w przybliżeniu) 2gh, gdzie h jest wysokością lustra cieczy w beczce. Rozważ proces opróżniania beczki wina. Załóż, że proces jest quasistacjonarny, tj. w każdej
chwili spełnione jest prawo Toricellego (z chwilową wysokością słupa cieczy). Powiąż prędkość wypływu z
przy pomocy tej
prędkością obniżania się lustra cieczy. Wyraź szybkość zmian wysokości lustra cieczy dh
dt
prędkości wypływu.
Całkując otrzymane równanie z warunkiem początkowym h(t = 0) = h0 , znajdź czas opróżniania
beczki o wysokości h0 = 2 m i średnicy R = 1 m przez otwór o średnicy 5 cm przy dnie.
Jak zmieni się wynik, jeśli opróżnianie beczki nie będzie quasistacjonarne, tzn. nie będzie spełnione
prawo Toriccellego (ale nadal będzie spełnione prawo Bernoulliego)? Wskazówka: weź pod uwagę niezerową prędkość cieczy przy lustrze, która była zaniedbana podczas wyprowadzania prawa Toricellego.
Zad. 2
Rozważmy model Wszechświata, będący uogólnieniem modelu omawianego na wykładzie, zawierającego
oprócz ’zwykłej’ materii ’ciemną energię’ o gęstości ρ0 , stałą w czasie i jednorodną w przestrzeni. W tym
wypadku wyrażenie na ’energię’, wyprowadzone na wykładzie, zmieni się następująco
M + M0
4π 2
1
=
Ga (ρc − (ρ + ρ0 )),
E = ȧ2 − G
2
a
3
gdzie M0 = (4/3)πρ0 a3 , ρ jest gęstością ’zwykłej’ materii, która spełnia równanie ciągłości, a ρc jest zdefiniowaną na wykładzie gęstością krytyczną.
(a) Znajdź równanie opisujące zmianę ’energii’ w czasie Ė i pokaż, że warunek stałości energii implikuje
następującą równość
4π
Ḣ + H 2 = − G(ρ − 2ρ0 )
3
(b) Czy taki Wszechświat może być stacjonarny (z czynnikiem skali niezależnym od czasu)? Kiedy tak
się dzieje? Jak zinterpretujesz sytuację, w której 2ρ0 > ρ?
(c) Rozważ następnie sytuację w której ρ0 < ρc /3. Pokaż, że jeśli w pewnej chwili 2ρ0 < ρ < ρc ,
to początkowo Wszechświat będzie się rozszerzał coraz wolniej, (ä < 0), jednak w pewnym momencie
(jakim?) jego prędkość rozszerzania zacznie się zwiększać. Ostatnie obserwacje kosmologiczne pokazują,
że proces taki ma miejsce również i w przypadku naszego Wszechświata.
1
Zad. 3
Ciecz doskonała obraca się w polu grawitacyjnym ze stałą prędkością kątową Ω tak, że prędkość w układzie
laboratoryjnym ma postać u = (−Ωy, Ωx, 0). Znajdźmy powierzchnie stałego ciśnienia, a co za tym idzie
(kładąc p = patm ) również kształt powierzchni wody w wirującym wiadrze. Zgodnie z prawem Bernoulliego
wielkość p/ρ + 21 u2 + gz jest stała, a więc powierzchnia stałego ciśnienia spełnia równanie
z = const −
Ω2 2
(x + y 2 ).
2g
Ale to oznacza, że poziom wody jest najwyższy w środku obracającego się wiadra. Co tu się nie zgadza?
Jakie jest prawdziwe równanie powierzchni stałego ciśnienia i dlaczego?