Oznaczenia: MA - widmo algebry A ΓA

Oznaczenia:
MA - widmo algebry A
ΓA - brzeg Szyłowa algebry A
A⊥ - zbiór miar ortogonalnych do algebry A
∂E - brzeg topologiczny zbioru E
D - otwarte koło jednostkowe na płaszczyźnie zespolonej
H ∞ (D) - algebra funkcji analitycznych i ograniczonych w D z normą supremum
P (E) - domknięcie algebry wielomianów w C(E) (E ⊂ Cn )
φz - funkcjonał wartościowania w punkcie z
Zadanie 1. Algebra funkcyjna A jest normalna na X, jeżeli dla dwóch domkniętych
i rozłącznych podzbiorów E, F zbioru X istnieje f ∈ A taka, że f = 0 na E i f = 1
na F . Wykazać, że jeżeli A jest normalna na X, to MA = ΓA = X. Ponadto dla
każdego x ∈ X istnieje jedyna miara Jensena.
Zadanie 2. Niech A i B będą dwiema algebrami funkcyjnymi na X takimi, że
zbiory A⊥ i B ⊥ są wzajemnie osobliwe. Wtedy A ∩ B jest algebrą funkcyjną na X i
(A ∩ B)⊥ = A⊥ + B ⊥ .
Jeżeli A i B są algebrami Dirichleta, to A ∩ B również. Wskazówka: Wykorzystać twierdzenie Kreina-Szmuljana, aby wykazać, że zbiór A⊥ + B ⊥ jest *-słabo
domknięty.
Zadanie 3. Niech α będzie liczbą zespoloną o module 1 i niech z oznacza funkcję
z → z. Oznaczmy:
Eα = {φ ∈ MH ∞ (D) : φ(z) = α},
Aα = H ∞ (D)|Eα .
Wtedy
(a) Eα jest zbiorem szczytowym H ∞ (D)|Eα .
(b) MAα = Eα , ΓAα = Eα ∩ ΓH ∞ (D) .
(c) Aα nie jest antysymetryczna.
(d) Jeżeli u ∈ C(ΓAα ), u > 0, to istnieje g ∈ Aα takie, że |g| = u. Wskazówka:
Należy rozszerzyć u tak, żeby log u ∈ L1 (dθ) i wziąć f ∈ H ∞ (D) takie, że
log |f | = u.
(e) Aα nie jest normalna na ΓAα .
(f) Domknięta podalgebra L∞ (dθ) generowana przez H ∞ (D) i funkcję z̄ składa się
ze wszystkich funkcji f ∈ L∞ (dθ) takich, że f|ΓA ∈ Aα dla α ∈ ∂D.
α
(g) Jeżeli f ∈ C(∂D), to
inf kf + gk∂D =
g∈P (D)
inf
g∈H ∞ (D)
kf + gk∞ .
(h) H ∞ (D)+C(∂D) jest domknięta w L∞ (dθ) i równa algebrze z punktu (f). Wskazówka:
Skorzystać z (g).
Zadanie 4. Jeżeli {Kn }∞
są zwartymi podzbiorami płaszczyzny zespolonej takimi,
n=1S
że R(Kn ) = C(Kn ), i K = ∞
n=1 Kn jest zwarty, to R(K) = C(K).
Zadanie 5.
n
(a) MP (Dn ) = D , ΓP (Dn ) = (∂D)n .
(b) P (Dn ) jest relatywnie maksymalna, tzn. jeżeli algebra A ⊂ C(Dn ) spełnia
warunek P (Dn ) ⊂ A, ΓP (Dn ) = ΓA , to P (Dn ) = A.
1
2
(c) Jeżeli f ∈ C(Dn ) jest analityczna poza zbiorem swoich zer, to f ∈ P (Dn ).
Zadanie 6. Załóżmy, że f ∈ A ma w A n-ty pierwiastek ∀n ∈ N. Wtedy
(a) f znika identycznie na każdej części Gleasona, na której ma zero.
(b) Jeżeli A jest logmodularna, f ∈ A, to zbiór {x ∈ MA : f (x) = 0} albo jest pusty
albo zawiera jednopunktową część Gleasona.
(c) H ∞ (D) posiada jednopunktową część Gleasona rozłączną z brzegiem Szyłowa.
Wskazówka: Rozważyć funkcję f (z) = exp((z − 1)/(z + 1)).
Zadanie 7.
S Niech Kn = {(z, w) : |z| 6 1, w = z/n} dla n ∈ N. Niech K = {(z, 0) :
|z| 6 1} ∪ ∞
n=1 Kn . Wtedy
(a) K jest wielomianowo wypukły.
(b) MA \ ΓA jest częścią Gleasona P (K).
(c) Jeżeli 0 < |z0 | < 1 i ε > 0 jest dostatecznie mały, to zbiór {(z, w) ∈ K :
kφ(z,w) − φ(z0 ,0) k < ε} jest niespójny.