Wyklad2

Metoda prądów obwodowych
· Zamieniamy wszystkie rzeczywiste źródła prądowe na napięciowe,
· Tworzymy układ równań liniowych opisujących poszczególne obwody.
1
Dowolną sieć liniową składającą się z elementów skupionych można opisać
za pomocą układu i równań liniowych
i = g - w +1
gdzie: g – liczba gałęzi sieci, w – liczba niezależnych węzłów.
a ) E1 = i1R1 - i5 R5 - i3 R3 ü
ï
b ) E2 = i3 R3 - i6 R4 + i2 R2 ïï
ý
ï
c ) E3 = i5 R5 + i6 R4
ï
ï
d ) E3 = -i7 R6
þ
2
Prądy gałęziowe można zastąpić prądami obwodowymi: ia, ib, ic oraz id
a ) E1 = ia R1 - (ic - ia )R5 - (ib - ia )R3 ü
ï
b ) E2 = (ib - ia )R3 - (ic - ib )R4 + ib R2 ïï
ý
ï
c ) E3 = (ic - ia )R5 + (ic - ib )R4
ï
ï
d ) E3 = -id R6
þ
id = i7 =
- E3
R6
3
Pozostaje do rozwiązania układ trzech równań, który można przekształcić do
postaci
a ) E1 = (R1 + R3 + R5 )ia
- R3ib
b ) E2 = - R3ia
+ (R2 + R3 + R4 )ib
c ) E3 = - R5ia
- R4ib
Ea = Raa ia
- Rabib
- R5ic
- R4ic
+ (R4 + R5 )ic
- Rac ic
Eb = - Rba ia
+ Rbb ib
- Rbc ic
Ec = - Rca ia
- Rcbib
+ Rcc ic
ü
ï
ý
ï
þ
ü
ï
ï
ý
ï
ï
þ
i - równań
4
Zależność tę można zapisać w postaci równania macierzowego
[Ec ]i ,1 = [Rc ]i ,i [ic ]i ,1
gdzie: [Ec] – wektor obwodowych sił elektromotorycznych,
[Rc] – macierz rezystancji obwodowych,
[ic] – wektor prądów obwodowych.
Metoda Cramera:
Liczymy wyznacznik główny Wcc macierzy rezystancji obwodowych, z zależności
Raa
Wcc = - Rba
- Rca
- Rab
- Rac
Rbb
- Rbc
- Rcb
Rcc
5
· Liczymy wyznaczniki pomocnicze:
Ea
Wa = Eb
Ec
- Rab
- Rac
Rbb
- Rbc
- Rcb
Rcc
Ea
- Rac
Wb = - Rba
Eb
- Rbc
- Rca
Ec
Rcc
Raa
Raa
Wc = - Rba
- Rca
- Rab
Ea
Rbb
Eb
- Rcb
Ec
6
· Liczymy prądy obwodowe z zależności:
Wa
Wb
Wc
ia =
, ib =
, ic =
Wcc
Wcc
Wcc
· Liczymy prądy gałęziowe z zależności:
i1 = ia,
i2 = ib,
i3 = ib - ia,
i4 = ic - id,
i5 = ic - ia,
i6 = ic - ib,
i7 = id.
7
Metoda potencjałów węzłowych
W metodzie tej:
· zamieniamy wszystkie rzeczywiste źródła napięciowe na źródła prądowe,
· wybieramy węzeł odniesienia,
zapisujemy w = w’ – 1 liniowych równań węzłowych dla pozostałych węzłów.
8
9
Prądy gałęziowe dla pierwszego węzła A można wyrazić w postaci:
i1'
VA
= J1 R1
i4'
VB - VA
= J4 R4
'
i5
VC - VA
= J5 R5
i1' - i'4 - i5' = 0
VA
VB - VA
VC - VA
J1 - J4 +
- J5 +
=0
R1
R4
R5
æ1
1
1 ö
1
1
+ ÷÷VA - VB - VC
J1 - J 4 - J 5 = çç +
R4
R5
è R1 R4 R5 ø
10
Pełny opis obwodu przyjmie zatem postać
æ1
1
1 ö
1
1
÷
ç
A ) J1 - J 4 - J 5 = ç +
+ ÷VA - VB - VC
R4
R5
è R1 R4 R5 ø
æ 1
1
1
1 ö
1
B ) J 4 + J 2 = - VA + çç +
- VC
+ ÷÷
R4
R6
è R2 R4 R6 ø
æ 1
1
1
1
1 ö
C ) J 3 + J 5 = - VA - VB + çç +
+ ÷÷VC
R5
R6
è R3 R5 R6 ø
Powyższy układ równań można zapisać w postaci ogólnej
J A = G AAV A - G ABVB - G ACVC ü
ï
J B = - GBAV A + GBBVB - GBCVC ý
J C = - GCAV A - GCBVB + GCCVC ïþ
w – równań
[J p ]w,1 = [G p ]w,w [V p ]w,1
11
W kolejnym etapie obliczamy potencjały węzłowe stosując metodę Cramera:
·
Liczymy wyznacznik główny
GAA
W pp = - GBA
- GCA
- GAB
- G AC
GBB
- GBC
- GCB
GCC
· Liczymy wyznaczniki pomocnicze
JA
WA = J B
JC
- G AB
GBB
- GCB
JA
- G AC
WB = - GBA
JB
- GBC
- GCA
JC
GCC
G AA
- G AC
- GBC
GCC
G AA
WC = - GBA
- G AB
GBB
JC
JB
- GCA
- GCB
JC
12
· Obliczamy potencjały węzłowe
VA =
WA
W
W
, VB = B , VC = C
W pp
W pp
W pp
· Obliczamy prądy gałęziowe
- VA
i1 =
R1
i5 =
,
V A - VC
R5
- VB
i2 =
R2
,
i6 =
- VC
i3 =
R3
,
VB - VC
R6
,
i4 =
V A - VB
R4
,
.
13
Zastosowanie grafów w rozwiązywaniu obwodów
Odwzorowanie w wyniku którego poprzez incydencję I, każdej krawędzi xi
odpowiada para wierzchołków (yj, yk) nazywamy grafem. Grafem skierowanym jest
graf, w którym wierzchołki określają początek i koniec krawędzi.
G = á X ,Y , I ñ
14
· Określenie macierzy strukturalnej [d]
c1 ) 1u1 + 1u2 + 1u3 + 0u4 + 0u5 + 0u6 = 0
c2 ) 0u1 - 1u2 + 0u3 - 1u4 - 1u5 + 0u6 = 0
c3 ) 0u1 + 0u2 - 1u3 + 0u4 + 1u5 + 1u6 = 0
ü
ï
ý
ï
þ
z tego układu równań otrzymujemy drugie prawo Kirchhoffa w postaci
uogólnionej
gdzie :
[d]i ,k [u g ]k ,1 = [0]i ,k
[ug] – wektor napięć gałęziowych,
[d] – macierz gałęziowo obwodowa (obwodowa).
15
Macierz [d] dla rozpatrywanego obwodu ma postać
0 0 0ù
é1 1 1
ê
ú
[d] = ê0 - 1 0 - 1 - 1 0ú
êë0 0 - 1 0 1 1úû
c1 ü
ï
c2 ý
c3 ïþ
Wszystkie prądy gałęziowe można wyrazić za pomocą sumy algebraicznej
wszystkich prądów obwodowych
i1 = 1ic1
i2 = 1ic1
i3 = 1ic1
i4 = 0ic1
i5 = 0ic1
i6 = 0ic1
+ 0ic2
- 1ic2
+ 0ic2
- 1ic2
- 1ic2
+ 0ic2
+ 0ic3
+ 0ic3
- 1ic3
+ 0ic3
+ 1ic3
+ 1ic3
16
· Obliczenie wektora prądów gałęziowych [ig]
[ig ]k ,1 = [d] [ ]
T
k ,i ic i ,1
[ic ]i ,1 = [ ] [Ec ]i ,1
-1
Rc i ,i
[ig ]k ,1 = [d] [ ] [Ec ]i ,1
T
k ,i
-1
Rc i ,i
Powyższa zależność przedstawia związek pomiędzy pobudzeniem w postaci wektora
obwodowych sił elektromotorycznych a odpowiedzią w postaci wektora prądów
gałęziowych.
17
· Określenie macierzy strukturalnej [l]
- 1i1
+ 1i2
+ 0i3
- 1i4
+ 0i5
A2 ) + 0i1
- 1i2
+ 1i3
+ 0i4
+ 1i5
+ 1i1
+ 0i2
- 1i3
+ 0i4
+ 0i5
A1 )
A3 )
+ 0i6 = 0ü
ï
+ 0i6 = 0ý
- 1i6 = 0 ïþ
[l ]w,k [ig ]k ,1 = [0]w,1
Macierz [l] nazywa się macierzą gałęziowo – węzłową lub macierzą incydencji.
Wszystkie napięcia gałęziowe można wyrazić za pomocą algebraicznej sumy
potencjałów węzłowych.
18
u1 = - 1V1 + 0V2
u2 = + 1V1 - 1V2
u3 = + 0V1 + 1V2
u4 = - 1V1 + 0V2
u5 = + 0V1 + 1V2
u6 = + 0V1 + 0V2
+ 1V3 ü
ï
+ 0V3
ï
- 1V3 ï
ý
+ 0V3 ï
+ 0V3 ï
ï
- 1V3 þ
[u g ]k ,1 = [l] [V p ]w,1
T
k ,w
[V p ]w,1 = [ ] [J p ]w,1
-1
G p w ,w
19
· Obliczenie wektora napięć gałęziowych [ug]
[ug ]k ,1 = [l] [ ] [J p ]w,1
T
k ,w
-1
G p w ,w
Powyższa zależność przedstawia związek pomiędzy pobudzeniem przedstawionym
w postaci wektora źródłowych prądów węzłowych a odpowiedzią przedstawioną
w postaci wektora napięć gałęziowych.
20
Twierdzenia o włączaniu źródeł idealnych
·
źródła napięciowe
W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli
do wszystkich gałęzi należących do tego samego węzła włączymy po
jednym idealnym źródle napięciowym o tej samej wartości siły
elektromotorycznej i o tym samym zwrocie w stosunku do węzła.
· źródła prądowe
W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli
równolegle do wszystkich gałęzi należących do tego samego obwodu
włączymy po jednym idealnym źródle prądowym o tej samej wartości
prądu zwarciowego i o tym samym zwrocie w stosunku do obwodu.
21
22
a)
b)
(R1 + R2 )ic1 - R1ic2 = E2 - E2 - E1 = - E1 ü
- R1ic1 + (R1 + R3 ) ic2 = E1 + E2 - E2 = E1 ýþ
ü
æ1
1 ö
1
çç + ÷÷VA - VB = J1 + J 2 - J 2 = J1 ï
R2
ï
è R1 R2 ø
ý
æ 1
1
1 ö
- VA + çç + ÷÷VB = J 2 - J 2 = 0 ï
ïþ
R2
è R2 R3 ø
Wektor odpowiedzi (prądów gałęziowych) nie zmieni się tak długo jak długo
wektor pobudzeń (obwodowych sił elektromotorycznych) będzie stały.
Wektor odpowiedzi (napięć gałęziowych) nie zmieni się tak długo jak długo
wektor pobudzeń (węzłowych prądów źródłowych) nie ulegnie zmianie.
23
Zasada superpozycji
Prąd w dowolnej gałęzi sieci liniowej stanowi sumę prądów od
każdego źródła z osobna, przy wyłączonych źródłach pozostałych
· Wyłączenie
źródła
napięciowego
oznacza
zastąpienie
zwarciem
siły
elektromotorycznej,
· Wyłączenie źródła prądowego oznacza usunięcie gałęzi zawierającej źródło
(rozwarcie).
Metoda transformacji źródeł
24
R1R2
æ E1 E2 ö R1 + R2
÷÷
i3 = çç +
è R1 R2 ø R1R2 + R3
R1 + R2
25
i3'
E1
=
R1
i3"
E2
=
R2
R1R2
R1R2
R1 + R2
R1 + R2
= E1
R1R2
æ R1R2
ö
+ R3
R1çç
+ R3 ÷÷
R1 + R2
è R1 + R2
ø
R1R2
R1R2
R1 + R2
R1 + R2
= E2
R1R2
æ R1R2
ö
+ R3
R2 çç
+ R3 ÷÷
R1 + R2
è R1 + R2
ø
[ig ]k ,1 = [c]k ,i [Ec ]i ,1
[u g ]k ,1 = [g ]k ,w [J p ]w,1
ü
ï
ï
ï
ïï
ý
ï
ï
ï
ï
ïþ
i1 = c1,1E1 + c1,2 E2 ü
ï
i2 = c 2 ,1E1 + c 2 ,2 E2 ý
i3 = c3,1E1 + c3,2 E2 ïþ
26
Twierdzenie Thevenina
Każdą sieć liniową można zastąpić z punktu widzenia pary dowolnych
wyprowadzeń
rzeczywistym
źródłem
napięciowym
o
sile
elektromotorycznej ET, równej napięciu na wyprowadzeniach w stanie
rozwarcia oraz oporze wewnętrznym RT , równym oporowi pomiędzy
wyprowadzeniami przy wyłączonych źródłach.
27
· Obliczamy napięcie Thevenina na rozwartych wyprowadzeniach obwodu,
· Obliczamy rezystancję Thevenina widzianą od strony wyróżnionych wyprowadzeń
przy wyłączonych źródłach,
· Obliczamy prąd płynący przez obciążenie, korzystając z zastępczego źródła Thevenina.
Zgodnie z algorytmem postępowania prąd i płynący przez obciążenie przyjmie postać
ET
i=
RT + Ro
28