Całka Riemanna

Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj.
m ≤ f (x) ≤ M
dla wszystkich x ∈ [a, b].
π = {x0 , . . . , xk },
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b];
∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k;
k
δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0.
i=1
k→∞
P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b].
mi = mi (f , π) :=
Mi = Mi (f , π) :=
inf
f (x)
x∈[xi −1 ,xi ]
sup
x∈[xi −1 ,xi ]
f (x)
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj.
m ≤ f (x) ≤ M
dla wszystkich x ∈ [a, b].
π = {x0 , . . . , xk },
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b];
∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k;
k
δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0.
i=1
k→∞
P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b].
mi = mi (f , π) :=
Mi = Mi (f , π) :=
inf
f (x)
x∈[xi −1 ,xi ]
sup
x∈[xi −1 ,xi ]
f (x)
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj.
m ≤ f (x) ≤ M
dla wszystkich x ∈ [a, b].
π = {x0 , . . . , xk },
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b];
∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k;
k
δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0.
i=1
k→∞
P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b].
mi = mi (f , π) :=
Mi = Mi (f , π) :=
inf
f (x)
x∈[xi −1 ,xi ]
sup
x∈[xi −1 ,xi ]
f (x)
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj.
m ≤ f (x) ≤ M
dla wszystkich x ∈ [a, b].
π = {x0 , . . . , xk },
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b];
∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k;
k
δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0.
i=1
k→∞
P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b].
mi = mi (f , π) :=
Mi = Mi (f , π) :=
inf
f (x)
x∈[xi −1 ,xi ]
sup
x∈[xi −1 ,xi ]
f (x)
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj.
m ≤ f (x) ≤ M
dla wszystkich x ∈ [a, b].
π = {x0 , . . . , xk },
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b];
∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k;
k
δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0.
i=1
k→∞
P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b].
mi = mi (f , π) :=
Mi = Mi (f , π) :=
inf
f (x)
x∈[xi −1 ,xi ]
sup
x∈[xi −1 ,xi ]
f (x)
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Założenie: f : [a, b] → R jest ograniczona, tj.
m ≤ f (x) ≤ M
dla wszystkich x ∈ [a, b].
π = {x0 , . . . , xk },
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b - podział odcinka [a, b];
∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , k;
k
δ(π) := max ∆xi . Dopuszczamy podziały dla których lim δ(π) = 0.
i=1
k→∞
P = P[a, b] - rodzina podziałów odcinka [a, b].
mi = mi (f , π) :=
Mi = Mi (f , π) :=
inf
f (x)
x∈[xi −1 ,xi ]
sup
x∈[xi −1 ,xi ]
f (x)
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Dolna i górna suma całkowa Darboux funkcji f względem π
s(f , π) :=
k
X
mi ∆xi
S(f , π) :=
i=1
estimated area = 6.2837
actual area = 5.7506
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
2
3
Mi ∆xi
i=1
estimated area = 5.1639
actual area = 5.7506
1
k
X
4
5
1
2
3
4
5
Rysunek: Sumy dolna i górna dla funkcji ln(x + 1) i podziału odcinka [0, 5]:
8
π1 = i 85 i =0
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Dolna i górna suma całkowa Darboux funkcji f względem π
s(f , π) :=
k
X
mi ∆xi
S(f , π) :=
i=1
estimated area = 5.9702
actual area = 5.7506
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
2
3
Mi ∆xi
i=1
estimated area = 5.5223
actual area = 5.7506
1
k
X
4
5
1
2
3
4
5
Rysunek: Sumy dolna i górna dla funkcji ln(x + 1) i podziału odcinka [0, 5]:
5 20
π2 = i 20
i =0
Całka Riemanna
Dolna i górna suma całkowa Darboux
Dolna i górna suma całkowa Darboux funkcji f względem π
s(f , π) :=
k
X
mi ∆xi
S(f , π) :=
i=1
estimated area = 5.8247
actual area = 5.7506
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
2
3
Mi ∆xi
i=1
estimated area = 5.6754
actual area = 5.7506
1
k
X
4
5
1
2
3
4
5
Rysunek: Sumy dolna i górna dla funkcji ln(x + 1) i podziału odcinka [0, 5]:
5 60
π3 = i 60
i =0
Całka Riemanna
Całka dolna i górna
Dla dowolnego podziału π ∈ P zachodzi nierówność:
m(b − a) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ M(b − a)
Całka Riemanna
Całka dolna i górna
Dla dowolnego podziału π ∈ P zachodzi nierówność:
m(b − a) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ M(b − a)
Całka dolna
b
Z
f := sup {s(f , π); π ∈ P}
a
Całka górna
Z
b
f := inf {S(f , π); π ∈ P}
a
Całka Riemanna
Całkowalność
Definicja
Funkcja ograniczona f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna
na przedziale [a, b], jeżeli
Z
b
Z
a
b
f.
f =
a
Rb
Wspólną wartość całki dolnej i górnej oznaczamy przez a f (x) dx lub
Rb
krótko a f i nazywamy całką Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
Przykład 1.
f (x) = x na odcinku [1, 2]
π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział.
mj = f (xj−1 ) = xj−1 , Mj = xj
n
n
P
P
s(f , π) =
xj−1 (xj − xj−1 ), S(f , π) =
xj (xj − xj−1 )
j=1
j=1
1
1
(xj + xj−1 ) + (xj − xj−1 )
2
2
R
2
< S(f , π) ≤ 32 + 21 δ(π) skąd 1 f = 32
R2
− 12 δ(π) ≤ s(f , π) < 32 skąd 1 f = 23 .
xj =
3
2
3
2
Przykład 1.
f (x) = x na odcinku [1, 2]
π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział.
mj = f (xj−1 ) = xj−1 , Mj = xj
n
n
P
P
s(f , π) =
xj−1 (xj − xj−1 ), S(f , π) =
xj (xj − xj−1 )
j=1
j=1
1
1
(xj + xj−1 ) + (xj − xj−1 )
2
2
R
2
< S(f , π) ≤ 32 + 21 δ(π) skąd 1 f = 32
R2
− 12 δ(π) ≤ s(f , π) < 32 skąd 1 f = 23 .
xj =
3
2
3
2
Wniosek: Funkcja f (x) = x jest całkowalna w sensie Riemanna na
przedziale [1, 2] oraz
Z 2
3
f =
2
1
Przykład 2.
Funkcja Dirichleta na przedziale [a, b]
f (x) =
1, gdy x ∈ Q ∩ [a, b];
0, gdy x ∈ [a, b] \ Q.
π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział przedziału [a, b].
mj = 0, Mj = 1
n
n
P
P
0 · (xj − xj−1 ) = 0, S(f , π) =
1 · (xj − xj−1 ) = b − a
s(f , π) =
j=1
R2
1
R2
1
f =b−a
f = 0.
j=1
Przykład 2.
Funkcja Dirichleta na przedziale [a, b]
f (x) =
1, gdy x ∈ Q ∩ [a, b];
0, gdy x ∈ [a, b] \ Q.
π = {x0 , . . . , xn } dowolny podział przedziału [a, b].
mj = 0, Mj = 1
n
n
P
P
0 · (xj − xj−1 ) = 0, S(f , π) =
1 · (xj − xj−1 ) = b − a
s(f , π) =
j=1
R2
1
R2
1
j=1
f =b−a
f = 0.
Wniosek: Funkcja Dirichleta nie jest całkowalna w sensie Riemanna na
żadnym przedziale.
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne c.d.
f : [a, b] → R ograniczona;
π = {x0 , . . . , xn } ∈ P;
Dla 1 ≤ i ≤ n niech ξi ∈ [xi−1 , xi ] dowolny punkt;
ξπ = {ξ1 , . . . ξn }
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne c.d.
f : [a, b] → R ograniczona;
π = {x0 , . . . , xn } ∈ P;
Dla 1 ≤ i ≤ n niech ξi ∈ [xi−1 , xi ] dowolny punkt;
ξπ = {ξ1 , . . . ξn }
Definicja
Sumą całkową Riemanna funkcji f względem podziału π i wyboru
punktów ξπ nazywamy wyrażenie
σ(f , π, ξπ ) :=
n
X
i=1
f (ξi )∆xi .
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne c.d.
estimated area = 5.7591
actual area = 5.7506
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
Rysunek: Suma całkową Riemanna funkcji ln(x + 1) na przedziale [0, 5]:
10
π1 = i 21 i =1
ξπ 1 =
xi−1 + xi
2
10
i=1
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne c.d.
estimated area = 5.7515
actual area = 5.7506
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
Rysunek: Suma całkową Riemanna funkcji ln(x + 1) na przedziale [0, 5]:
30
π2 = i 61 i =1
ξπ 2 =
xi−1 + xi
2
30
i=1
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne c.d.
Twierdzenie (Darboux–Riemanna)
Ograniczona funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje granica lim σ(f , π, ξπ ). Wówczas również
δ(π)→0
Z
b
f = lim σ(f , π, ξπ ).
a
δ(π)→0
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne c.d.
Twierdzenie (Darboux–Riemanna)
Ograniczona funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje granica lim σ(f , π, ξπ ). Wówczas również
δ(π)→0
Z
b
f = lim σ(f , π, ξπ ).
a
δ(π)→0
Uwaga: Powiemy, że L = lim σ(f , π, ξπ ), jeżeli dla dowolnej liczby
δ(π)→0
ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że nierówność
|σ(f , π, ξπ ) − L| < ε
jest spełniona dla każdego układu liczb ξπ , jeśli tylko δ(π) < δ.
Przykład
f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b
πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ;
∆xj = a(b/a)
j −1
n
q=
p
n
b/a → 1, gdy n → ∞;
(q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞
Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów);
Przykład
f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b
πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ;
∆xj = a(b/a)
j −1
n
q=
p
n
b/a → 1, gdy n → ∞;
(q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞
Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów);
Przykład
f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b
πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ;
∆xj = a(b/a)
j −1
n
q=
p
n
b/a → 1, gdy n → ∞;
(q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞
Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów);
Przykład
f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b
πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ;
∆xj = a(b/a)
j −1
n
q=
p
n
b/a → 1, gdy n → ∞;
(q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞
Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów);
σn : = σ(f , π, ξπ ) =
n−1
n
X
X
(aq j )2 (aq j+1 − aq j ) = a3 (q − 1)
(q 3 )j−1
j=0
3n
= a3 (q − 1)
j=1
3
q −1
(b/a) − 1
q−1
= a3 (q − 1)
= (b 3 − a3 ) 3
q3 − 1
q3 − 1
q −1
Przykład
f (x) = x 2 na przedziale [a, b], 0 < a < b
πn = a, aq, aq 2 , . . . , aq n = b ;
∆xj = a(b/a)
j −1
n
q=
p
n
b/a → 1, gdy n → ∞;
(q − 1) ≤ a ba (q − 1) = b(q − 1) → 0, gdy n → ∞
Wybieramy ξj := aq j , 0 ≤ j ≤ n − 1 (lewe końce przedziałów);
σn : = σ(f , π, ξπ ) =
n−1
n
X
X
(aq j )2 (aq j+1 − aq j ) = a3 (q − 1)
(q 3 )j−1
j=0
j=1
3n
= a3 (q − 1)
Z
a
3
q −1
(b/a) − 1
q−1
= a3 (q − 1)
= (b 3 − a3 ) 3
q3 − 1
q3 − 1
q −1
b
x 2 dx = lim σn = (b 3 − a3 ) lim
n→∞
q→1
q−1
1
= (b 3 − a3 )
q3 − 1
3
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne
Twierdzenie
Funkcja ograniczona f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna na
przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje
podział π ∈ P taki, że
S(f , π) − s(f , π) < ε.
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne: dowód
(⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0.
Rb
Rb
1
s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ;
Rb
Rb
2
f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych
a
podziałów π1 , π2 ;
3
4
S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε;
Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i
π2 . Wówczas
s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 )
5
S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne: dowód
(⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0.
Rb
Rb
1
s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ;
Rb
Rb
2
f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych
a
podziałów π1 , π2 ;
3
4
S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε;
Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i
π2 . Wówczas
s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 )
5
S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne: dowód
(⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0.
Rb
Rb
1
s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ;
Rb
Rb
2
f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych
a
podziałów π1 , π2 ;
3
4
S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε;
Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i
π2 . Wówczas
s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 )
5
S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne: dowód
(⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0.
Rb
Rb
1
s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ;
Rb
Rb
2
f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych
a
podziałów π1 , π2 ;
3
4
S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε;
Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i
π2 . Wówczas
s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 )
5
S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne: dowód
(⇒) Założenia: Funkcja f jest całkowalna; ε > 0.
Rb
Rb
1
s(f , π1 ) ≤ a f ≤ a f ≤ S(f , π2 ) dla dowolnych podziałów π1 , π2 ;
Rb
Rb
2
f − s(f , π1 ) < 2ε oraz S(f , π2 ) − a f < 2ε dla pewnych
a
podziałów π1 , π2 ;
3
4
S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε;
Niech π = π1 ∪ π2 będzie wspólnym podpodziałem podziałów π1 i
π2 . Wówczas
s(f , π1 ) ≤ s(f , π) ≤ S(f , π) ≤ S(f , π2 )
5
S(f , π) − s(f , π) ≤ S(f , π2 ) − s(f , π1 ) < ε
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne: dowód
(⇐) Założenia: Niech ε > 0 oraz π niech będzie takim podziałem, że
S(f , π) − s(f , π) < ε.
1
Zachodzi nierówność:
b
Z
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
2
b
Z
f ≤
a
Zatem
Z
b
Z
f −
a
b
f <ε
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Warunki konieczne i dostateczne: dowód
(⇐) Założenia: Niech ε > 0 oraz π niech będzie takim podziałem, że
S(f , π) − s(f , π) < ε.
1
Zachodzi nierówność:
b
Z
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
2
b
Z
f ≤
a
Zatem
Z
b
Z
f −
a
b
f <ε
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna.
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna.
Dowód.
Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0;
π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ :=
mj (f , π) = f (xj−1 )
Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n;
ε
f (b)−f (a)
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna.
Dowód.
Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0;
π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ :=
mj (f , π) = f (xj−1 )
Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n;
ε
f (b)−f (a)
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna.
Dowód.
Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0;
π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ :=
mj (f , π) = f (xj−1 )
Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n;
ε
f (b)−f (a)
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna.
Dowód.
Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0;
π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ :=
mj (f , π) = f (xj−1 )
Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n;
ε
f (b)−f (a)
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Funkcja monotoniczna f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna.
Dowód.
Załóżmy, że f jest niemalejąca; ε > 0;
π = {x0 , . . . xn } podział o średnicy δ(π) < δ :=
ε
f (b)−f (a)
mj (f , π) = f (xj−1 )
Mj (f , π) = f (xj ), dla j = 1, 2, . . . , n;
S(f , π)−s(f , π) =
n
X
j=1
(Mj −mj )∆xj < δ
n
X
j=1
(f (xj )−f (xj−1 )) = δ(f (b)−f (a)) = ε
Całkowalność w sensie Riemanna
Funkcje monotoniczne są całkowalne w sensie Riemanna
Mi =f Hxi L
mi =f Hxi-1 L
a
xi-1 xi
b
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, to
1
jest ona całkowalna w sensie Riemanna
2
dla dowolnej liczby ε > 0, istnieje δ > 0 taka, że
Z b f<ε
σ(f , π, ξπ ) −
a
dla dowolnego podziału π o średnicy mniejszej niż δ i dowolnego
układu ξπ .
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia
f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b]
z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) <
ε
b−a
π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny
wybór punktów
mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są
osiągane na mocy tw. Weierstrassa.
Mi − mi <
ε
b−a
S(f , π) − s(f , π) =
n
X
(Mi − mi )∆xi <
n=1
n
ε X
∆xi = ε
b − a n=1
b
Z
s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π)
oraz
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia
f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b]
z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) <
ε
b−a
π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny
wybór punktów
mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są
osiągane na mocy tw. Weierstrassa.
Mi − mi <
ε
b−a
S(f , π) − s(f , π) =
n
X
(Mi − mi )∆xi <
n=1
n
ε X
∆xi = ε
b − a n=1
b
Z
s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π)
oraz
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia
f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b]
z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) <
ε
b−a
π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny
wybór punktów
mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są
osiągane na mocy tw. Weierstrassa.
Mi − mi <
ε
b−a
S(f , π) − s(f , π) =
n
X
(Mi − mi )∆xi <
n=1
n
ε X
∆xi = ε
b − a n=1
b
Z
s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π)
oraz
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia
f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b]
z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) <
ε
b−a
π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny
wybór punktów
mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są
osiągane na mocy tw. Weierstrassa.
Mi − mi <
ε
b−a
S(f , π) − s(f , π) =
n
X
(Mi − mi )∆xi <
n=1
n
ε X
∆xi = ε
b − a n=1
b
Z
s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π)
oraz
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia
f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b]
z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) <
ε
b−a
π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny
wybór punktów
mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są
osiągane na mocy tw. Weierstrassa.
Mi − mi <
ε
b−a
S(f , π) − s(f , π) =
n
X
(Mi − mi )∆xi <
n=1
n
ε X
∆xi = ε
b − a n=1
b
Z
s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π)
oraz
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia
f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b]
z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) <
ε
b−a
π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny
wybór punktów
mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są
osiągane na mocy tw. Weierstrassa.
Mi − mi <
ε
b−a
S(f , π) − s(f , π) =
n
X
(Mi − mi )∆xi <
n=1
n
ε X
∆xi = ε
b − a n=1
b
Z
s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π)
oraz
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Klasy funkcji całkowalnych - dowód twierdzenia
f ciągła na [a, b] ⇒ f jednostajnie ciągła na [a, b]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ [a, b]
z − z 0 < δ ⇒ f (z) − f (z 0 ) <
ε
b−a
π = {x0 , x1 , . . . , xn } dowolny podział taki, że δ(π) < δ oraz ξπ dowolny
wybór punktów
mi (f , π) = f (zi ) ≤ f (ξi ) ≤ f (zi0 ) = Mi (f , π), kresy na [xi −1 , xi ] są
osiągane na mocy tw. Weierstrassa.
Mi − mi <
ε
b−a
S(f , π) − s(f , π) =
n
X
(Mi − mi )∆xi <
n=1
n
ε X
∆xi = ε
b − a n=1
b
Z
s(f , π) ≤ σ(f , π, ξπ ) ≤ S(f , π)
oraz
s(f , π) ≤
f ≤ S(f , π)
a
Całkowalność w sensie Riemanna
Funkcje ciągłe są całkowalne w sensie Riemanna
1
Π
Rysunek: Funkcja
jest znana”
sin x
x
jest całkowalna na [0, π], ale dokładna jej wartość ”nie
Całka Riemanna
Własności
Niech f , g będą całkowalne na przedziale [a, b], λ ∈ R.
(1) Funkcje f + g i λf są całkowalna na [a, b] oraz zachodzą wzory
Z
b
b
Z
(f + g ) =
a
Z
f +
a
Z
b
b
Z
f
a
a
(2) Jeśli f (x) ≤ g (x) dla x ∈ [a, b], to
Z
b
Z
f ≤
a
g
a
(λf ) = λ
b
g
a
b
Całka Riemanna
Własności
Niech f , g będą całkowalne na przedziale [a, b], λ ∈ R.
(1) Funkcje f + g i λf są całkowalna na [a, b] oraz zachodzą wzory
Z
b
b
Z
(f + g ) =
a
Z
f +
a
Z
b
b
Z
f
a
a
(2) Jeśli f (x) ≤ g (x) dla x ∈ [a, b], to
Z
b
Z
f ≤
a
g
a
(λf ) = λ
b
g
a
b
Całka Riemanna
Własności c.d.
(3) Niech c ∈ [a, b]. Funkcja f jest całkowalna na [a, b] wtedy i tylko
wtedy, gdy jest całkowalna na [a, c] i [c, b] oraz
Z
b
Z
f =
a
c
Z
f +
a
b
f.
c
(4) Jeśli f jest całkowalna na [a, b], to również |f | i zachodzi wzór
Z
b Z b
|f | .
f≤
a a
Całka Riemanna
Własności c.d.
(3) Niech c ∈ [a, b]. Funkcja f jest całkowalna na [a, b] wtedy i tylko
wtedy, gdy jest całkowalna na [a, c] i [c, b] oraz
Z
b
Z
f =
a
c
Z
f +
a
b
f.
c
(4) Jeśli f jest całkowalna na [a, b], to również |f | i zachodzi wzór
Z
b Z b
|f | .
f≤
a a
Całka Riemanna
Twierdzenie o wartości średniej
Twierdzenie
Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, to istnieje punkt ξ ∈ [a, b] taki, że
1
f (ξ) =
b−a
Z
b
f
a
Całka Riemanna
Twierdzenie o wartości średniej
1
1
Rysunek: f (x) = x na [0, 1]
Całka Riemanna
Twierdzenie o wartości średniej
1
1
2
0
Ξ=
1
1
2
Rysunek: f (x) = x na [0, 1]. Wartość średnia
1
2
osiągana w ξ =
1
2
Całka Riemanna
Twierdzenie o wartości średniej
1
1
Rysunek: Założenia o ciągłości nie można pominąć w twierdzeniu o wartości
średniej
Całka Riemanna
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Notacja
Przyjmujemy:
Z
a
Z
b
f := −
b
f
a
jeśli a < b oraz
Z
a
f := 0.
a
Całka Riemanna
Funkcja górnej granicy całkowania
Definicja
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną na przedziale [a, b] oraz
a ≤ c ≤ b. Funkcję F : [a, b] → R zdefiniowaną wzorem
Z x
F (x) :=
f (t) dt
c
nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Całka Riemanna
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Twierdzenie
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną i niech RF : [a, b] → R
x
będzie jej funkcją górnej granicy całkowania: F (x) := c f (a ≤ c ≤ b).
Wówczas
1
F jest ciągła jednostajnie (więcej: spełnia warunek Lipschitza);
2
Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a, b), to F jest w x0
różniczkowalna oraz F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Całka Riemanna
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Twierdzenie
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną i niech RF : [a, b] → R
x
będzie jej funkcją górnej granicy całkowania: F (x) := c f (a ≤ c ≤ b).
Wówczas
1
F jest ciągła jednostajnie (więcej: spełnia warunek Lipschitza);
2
Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a, b), to F jest w x0
różniczkowalna oraz F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Całka Riemanna
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: dowód
1
Ciągłość jednostajna: ε > 0
Funkcja f jest ograniczona (jest całkowalna): istnieje M > 0 że
|f (x)| ≤ M dla x ∈ [a, b].
Zatem
Z x
Z y Z x Z x
f ≤
|f | ≤ M |x − y |
|F (x) − F (y )| = f −
f = c
c
y
y
dla ciągłości jednostajnej wystarczy przyjąć δ := ε/M.
Całka Riemanna
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: dowód
1
Różniczkowalność: Niech ε > 0.
Zakładamy, że f jest ciągła w x0 :
∃ δ 0 > 0 ∀h ∈ R
|h| < δ 0 =⇒ |f (x0 + h) − f (x0 )| < ε
Mamy wykazać, że
∃δ > 0∀h ∈ R
F (x0 + h) − F (x0 )
− f (x0 ) < ε
0 < |h| < δ =⇒ h
Przyjmijmy δ := δ 0 .
Całka Riemanna
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: dowód
1
Różniczkowalność: Niech ε > 0.
Zakładamy, że f jest ciągła w x0 :
∃ δ 0 > 0 ∀h ∈ R
|h| < δ 0 =⇒ |f (x0 + h) − f (x0 )| < ε
Mamy wykazać, że
∃δ > 0∀h ∈ R
F (x0 + h) − F (x0 )
0 < |h| < δ =⇒ − f (x0 ) < ε
h
Przyjmijmy δ := δ 0 .
x +h
x +h
Z0
Z0
Zx0
1
1
1
=
f
−
f
−
f
(x
)
f
−
f
(x
)
0 0 h
h
h
c
c
x0
x +h
xZ0 +h
Z0
xZ0 +h
1
1
1
=
f −
f (x0 ) = (f (t) − f (x0 )) dt h
h
h
x0
≤
1
|h|
x0
xZ0 +h
|f (t) − f (x0 )| dt < ε
x0
x0
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Wniosek
Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, to posiada ona pierwotną
Z x
F (x) =
f (t) dt
c
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Wniosek (Wzór Newtona-Leibniza)
Niech ϕ : [a, b] → R będzie dowolną funkcją pierwotną ciągłej funkcji
f : [a, b] → R. Wówczas
Z
b
f = ϕ(b) − ϕ(a)
a
istnieje C ∈ R taka, że ϕ(x) = F (x) + C =
Rb
ϕ(b) = a f (t) dt + C . Ile wynosi C ?
Ra
ϕ(a) = a f (t) dt + C = C , czyli C = ϕ(a).
Rx
a
f (t) dt + C ;
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Wniosek (Wzór Newtona-Leibniza)
Niech ϕ : [a, b] → R będzie dowolną funkcją pierwotną ciągłej funkcji
f : [a, b] → R. Wówczas
Z
b
f = ϕ(b) − ϕ(a)
a
istnieje C ∈ R taka, że ϕ(x) = F (x) + C =
Rb
ϕ(b) = a f (t) dt + C . Ile wynosi C ?
Ra
ϕ(a) = a f (t) dt + C = C , czyli C = ϕ(a).
Rx
a
f (t) dt + C ;
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Wniosek (Wzór Newtona-Leibniza)
Niech ϕ : [a, b] → R będzie dowolną funkcją pierwotną ciągłej funkcji
f : [a, b] → R. Wówczas
Z
b
f = ϕ(b) − ϕ(a)
a
istnieje C ∈ R taka, że ϕ(x) = F (x) + C =
Rb
ϕ(b) = a f (t) dt + C . Ile wynosi C ?
Ra
ϕ(a) = a f (t) dt + C = C , czyli C = ϕ(a).
Rx
a
f (t) dt + C ;
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Przykład 1
Z
0
1
dx
+1
x2
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Przykład 1
Z
0
1
dx
+1
x2
= arc tg(1) − arc tg(0) =
π
4
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Przykład 2
Obliczyć
lim
n→∞
1
1
1
+
+ ... +
n+1 n+2
n+n
Rozwiązanie:
!
1
1
+
+ ... +
1
1 + nn
1 + n2
n
Z 1
n
1X 1
dx
= lim
=
= ln 2 − ln 1 = ln 2
k
n→∞ n
1
+x
1
+
0
n
k=1
1
lim an = lim
n→∞
n→∞ n
1
1+
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Przykład 2
Obliczyć
lim
n→∞
1
1
1
+
+ ... +
n+1 n+2
n+n
Rozwiązanie:
!
1
1
+
+ ... +
1
1 + nn
1 + n2
n
Z 1
n
1X 1
dx
= lim
=
= ln 2 − ln 1 = ln 2
k
n→∞ n
1
+x
1
+
0
n
k=1
1
lim an = lim
n→∞
n→∞ n
1
1+
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Wniosek
Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła oraz α, β : [A, B] → [a, b] są różniczkowalne
na (A, B), to funkcja ϕ : [A, B] → R zadana wzorem
Z
β(x)
f
ϕ(x) :=
α(x)
jest różniczkowalna na (A, B) oraz
ϕ0 (x) = f (β(x))β 0 (x) − f (α(x))α0 (x)
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Wniosek
Jeśli f : [a, b] → R jest ciągła oraz α, β : [A, B] → [a, b] są różniczkowalne
na (A, B), to funkcja ϕ : [A, B] → R zadana wzorem
Z
β(x)
f
ϕ(x) :=
α(x)
jest różniczkowalna na (A, B) oraz
ϕ0 (x) = f (β(x))β 0 (x) − f (α(x))α0 (x)
Rx
Dowód. Niech F (x) = c f . Wówczas
ϕ(x) = F ◦ β(x) − F ◦ α(x)
Całka Riemanna
Wnioski z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
Przykład
√
Z
x
t dt
ϕ(x) =
x2
√
1
1
ϕ0 (x) = ( x) √ − (x 2 )2x = − 2x 3
2
2 x
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Niech
2
fn (x) = nxe −nx ,
x ∈ [0, 1]
Dla wszystkich x ∈ [0, 1]
lim fn (x) = 0
n→∞
zatem
Z
1
lim fn (x) dx = 0
0 n→∞
Ale
Z
lim
n→∞
1
fn (x) dx = lim
0
n→∞
1
1
(1 − e −n ) =
2
2
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Niech
2
fn (x) = nxe −nx ,
x ∈ [0, 1]
Dla wszystkich x ∈ [0, 1]
lim fn (x) = 0
n→∞
zatem
Z
1
lim fn (x) dx = 0
0 n→∞
Ale
Z
lim
n→∞
1
fn (x) dx = lim
0
n→∞
1
1
(1 − e −n ) =
2
2
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Niech
2
fn (x) = nxe −nx ,
x ∈ [0, 1]
Dla wszystkich x ∈ [0, 1]
lim fn (x) = 0
n→∞
zatem
Z
1
lim fn (x) dx = 0
0 n→∞
Ale
Z
lim
n→∞
1
fn (x) dx = lim
0
n→∞
1
1
(1 − e −n ) =
2
2
Całkowanie ciągu funkcyjnego
1
Rysunek: Zbieżność punktowa ciągu fn (x) = nxe −nx
2
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Twierdzenie
∞
Niech (fn )n=1 będzie ciągiem funkcji całkowalnych na [a, b] zbieżnym
jednostajnie na [a, b] do funkcji f . Wówczas funkcja f jest całkowalna na
[a, b] oraz zachodzi równość
Zb
Zb
lim fn = lim
n→∞
fn
n→∞
a
a
Więcej: Ciąg
Z
In (x) =
x
fn
c
jest zbieżny jednostajnie do I (x) =
Rx
c
f na przedziale [a, b].
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Wniosek
∞
Niech (fn )n=1 będzie ciągiem funkcji całkowalnych na [a, b]. Jeżeli
f (x) =
∞
X
fn (x)
n=1
przy czym zbieżność jest jednostajna na [a, b], to
Zb
b
f =
fn
n=1 a
a
Więcej: Szereg
∞ Z
X
∞ Z
X
n=1
c
jest zbieżny jednostajnie do I (x) =
Rx
c
x
fn
f na przedziale [a, b].
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Przykład
Obliczyć sumę szeregu
∞
X
(−1)n
n=1
n2n
P∞
Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym
1
przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t
.
Z
0
∞
x X
t n dt =
n=0
∞ Z
X
0
n=0
Z drugiej strony
x
Z
0
x
t n dt =
∞
∞
X
X
x n+1
xn
=
n + 1 n=1 n
n=0
dt
= − ln(1 − x)
1−t
∞
X
xn
n=1
n
= − ln(1 − x)
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Przykład
Obliczyć sumę szeregu
∞
X
(−1)n
n=1
n2n
P∞
Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym
1
przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t
.
Z
0
∞
x X
t n dt =
n=0
∞ Z
X
0
n=0
Z drugiej strony
x
Z
0
x
t n dt =
∞
∞
X
X
x n+1
xn
=
n + 1 n=1 n
n=0
dt
= − ln(1 − x)
1−t
∞
X
xn
n=1
n
= − ln(1 − x)
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Przykład
Obliczyć sumę szeregu
∞
X
(−1)n
n=1
n2n
P∞
Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym
1
przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t
.
Z
0
∞
x X
t n dt =
n=0
∞ Z
X
0
n=0
Z drugiej strony
x
Z
0
x
t n dt =
∞
∞
X
X
x n+1
xn
=
n + 1 n=1 n
n=0
dt
= − ln(1 − x)
1−t
∞
X
xn
n=1
n
= − ln(1 − x)
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Przykład
Obliczyć sumę szeregu
∞
X
(−1)n
n=1
n2n
P∞
Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym
1
przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t
.
Z
0
∞
x X
t n dt =
n=0
∞ Z
X
0
n=0
Z drugiej strony
x
Z
0
x
t n dt =
∞
∞
X
X
x n+1
xn
=
n + 1 n=1 n
n=0
dt
= − ln(1 − x)
1−t
∞
X
xn
n=1
n
= − ln(1 − x)
Całkowanie ciągu funkcyjnego
Przykład
Przykład
Obliczyć sumę szeregu
∞
X
(−1)n
n=1
n2n
P∞
Szereg geometryczny n=0 t n jest zbieżny jednostajnie w każdym
1
przedziale domkniętym zawartym w (−1, 1) do sumy 1−t
.
Z
0
∞
x X
t n dt =
n=0
∞ Z
X
0
n=0
Z drugiej strony
x
Z
0
x
t n dt =
∞
∞
X
X
x n+1
xn
=
n + 1 n=1 n
n=0
dt
= − ln(1 − x)
1−t
∞
X
xn
n=1
n
= − ln(1 − x)