Wyznaczenie współczynnika oporu ciała o kształcie nieopływowym

Wyznaczenie współczynnika oporu ciała o kształcie nieopływowym

Ćwiczenie 4
Wyznaczenie współczynnika oporu ciała
o kształcie nieopływowym
1. Wprowadzenie
Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie wartości współczynnika oporu
ciśnieniowego ciała o kształcie nieopływowym w funkcji kąta napływu strumienia dla
ustalonej wartości liczby Reynoldsa.
Jak zostało to omówione w ćwiczeniu 2, siły ciśnieniowe działające na opływane
ciało określić moŜna poprzez pomiar rozkładu ciśnienia na jego powierzchni.
Znajomość rozkładu ciśnienia pozwala poprzez całkowanie określić wypadkową sił
ciśnieniowych. MoŜliwe jest następnie zastąpienie sił rozłoŜonych w sposób ciągły
siłami skupionymi, przy czym dla przepływu płaskiego moŜe to być układ sił
skierowanych wzdłuŜ osi prostokątnego układu współrzędnych x, y. Zakładając, Ŝe
kierunek napływającego strumienia pokrywa się z osią x, siły te moŜna zapisać
następująco:
U2
Px = c x ρ ∞ S
(1)
2
U ∞2
Py = c y ρ
S
(2)
2
gdzie:
Px - siła oporu czołowego, N,
Py - siła nośna, N,
cx - współczynnik oporu czołowego,
cy - współczynnik siły nośnej,
ρ - gęstość przepływającego czynnika, kg/m3,
U∞ - prędkość strumienia niezakłóconego, m/s,
S - charakterystyczna powierzchnia, m2.
W przypadku, gdy zmienia się kąt napływu strumienia na badane ciało, wówczas
wygodniej jest posługiwać się dwoma układami współrzędnych. Oprócz układu
stałoprzestrzennego x, y związanego z kierunkiem napływającego strumienia,
wprowadzić moŜna układ osi t, n, związany z opływanym ciałem, jak przedstawiono
na rys. 1.
30
Rys. 1. Schemat przyjętych układów współrzędnych
ZaleŜność między składowymi wypadkowej siły aerodynamicznej:
P = Pt2 + Pn2 = Px2 + Py2
gdzie:
Pt - siła styczna do opływanego ciała,
Pn - siła normalna do opływanego ciała,
wyznaczyć moŜna następująco:
Px = P cos (β − α )
Py = P sin (β − α )
(3)
(4)
gdzie:
 Pn 

(5)
 Pt 
JeŜeli na powierzchni badanego ciała wyodrębniony zostanie element powierzchni dS
(rys. 2), na który działa ciśnienie p, wówczas elementarna siła ciśnieniowa działająca
na ten element i normalna do niego wynosi:
dP = p dS
(6)
Wprowadzając analogicznie jak w ćwiczeniu nr 2 pojęcie współczynnika ciśnienia
p
(7)
cp =
p d∞
gdzie:
p - ciśnienie na powierzchni opływanego ciała,
pd∞ - ciśnienie dynamiczne przepływu niezakłóconego,
związek (6) przekształcić moŜna do postaci:
dP = c p ⋅ pd∞ ⋅ dS
(8)
β = arctg 
31
Rys. 2. Szkic modelu opływanego ciała
Rzuty elementarnej siły aerodynamicznej na kierunek normalnej i stycznej do cięciwy
opływanego ciała zapisać moŜna następująco:
dPn = c p pd∞ dt dz
(9)
dPt = c p p d∞ dn dz
(10)
gdzie:
dn dz - rzut elementarnej powierzchni dS na płaszczyznę n0z,
dt dz - rzut elementarnej powierzchni dS na płaszczyznę t0z.
Przy załoŜeniu opływu płaskiego ciała, po zsumowaniu elementarnych sił wzdłuŜ
obwodu jego przekroju poprzecznego otrzymuje się zaleŜności:
Pt = pd∞ L ∫ c pc − c pt dn
(11)
(
)
Pn = pd∞ L ∫ (c pd − c pg ) dt
gdzie:
L cpc cpt cpd cpg -
(12)
długość profilu,
współczynnik ciśnienia części czołowej profilu,
współczynnik ciśnienia części tylnej profilu,
współczynnik ciśnienia części dolnej profilu,
współczynnik ciśnienia części górnej profilu.
2. Opis stanowiska pomiarowego
Zasadniczym elementem stanowiska pomiarowego, pokazanego na rys. 3, jest
model opływanego ciała 1 umieszczony w przestrzeni pomiarowej 2 tunelu
aerodynamicznego. Ciśnienie z otworów na powierzchni opływanego ciała
odprowadzane jest króćcami 3 do manometru bateryjnego 4. Ciśnienie statyczne w
płaszczyźnie przepływu niezakłóconego mierzone jest sondą do pomiaru ciśnienia
statycznego 5 zamontowaną w górnej ścianie 6 tunelu. Kąt α między cięciwą
opływanego ciała i kierunkiem napływającego strumienia odczytać moŜna na tarczy
kątomierza 7 zespolonego z badanym modelem.
32
Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego
Rozmieszczenie punktów pomiarowych na powierzchni modelu pokazane zostało
na rys. 4, a ich współrzędne podano w poniŜszej tabeli.
Rys. 4. Schemat rozmieszczenia punktów pomiarowych
Tabela 1
Nr
otworu
1
2
3
4
5
6
7
8
t
mm
0
2,6
6,7
12,2
18,8
26,0
33,2
39,8
n
mm
0
11,4
17,4
22,0
25,0
26,0
25,0
22,0
Nr
otworu
9
10
11
12
13
14
15
16
33
t
mm
45,3
49,4
52,0
51,1
39,0
26,0
13,0
0,9
n
mm
17,4
11,4
0
-4,0
-4,0
-4,0
-4,0
-4,0
3. Metodyka pomiarów i obliczeń
Nadciśnienie panujące w otoczeniu danego punktu pomiarowego na powierzchni
modelu jest określone zaleŜnością:
p j = i ρ m g ∆l j , N/m2
(13)
przy czym:
∆l j = ls − l j ,
m
gdzie:
i
ρm
g
j
lj
-
3.1.
Obliczanie składowej stycznej Pt siły aerodynamicznej
(14)
przełoŜenie manometru,
gęstość cieczy manometrycznej, kg/m3,
przyspieszenie ziemskie, m/s2,
numer punktu pomiarowego (j = 1÷16),
długość słupa cieczy manometrycznej odpowiadająca ciśnieniu w j-tym
otworku pomiarowym, m,
ls
- długość słupa cieczy manometrycznej odpowiadająca ciśnieniu statycznemu
w przestrzeni pomiarowej, m.
Ciśnienie dynamiczne w strumieniu niezakłóconym wyznaczyć moŜna ze wzoru:
p d∞ = i ρ m g ∆l max
(15)
w którym ∆l max - maksymalna dodatnia róŜnica długości słupów cieczy
manometrycznej, m. Po wykorzystaniu zaleŜności (13) i (15) współczynnik ciśnienia
określić moŜna jako:
pj
∆l j
c pj =
=
(16)
p d∞ ∆l max
Znając wartości współczynników ciśnienia we wszystkich otworkach na
powierzchni modelu przy pełnej symetrii ich rozmieszczenia względem osi
równoległej do n, sporządzić moŜna wykres (cpc - cpt) = f(n). Wartość całki
występującej we wzorze (11) równa jest polu powierzchni St zawartej pomiędzy linią
róŜnicy współczynników a osią odciętych i moŜna ją obliczyć przybliŜoną metodą
prostokątów (rys. 5).
Rys. 5. Wyznaczanie pola St metodą graficzną
34
Przy podziale odciętej wykresu na 12 przedziałów powierzchnia St będzie równa :
St =
ng
12
nd
i =1
∫ (c pc − c pt )dn = ∑ ∆n hi
gdzie:
i - numer kolejnego przedziału (i = 1÷12),
hi - rzędna wykresu w środku i-tego przedziału,
∆n - szerokość przedziału, m.
Zgodnie ze wzorem (11) składowa styczna Pt wyraŜona moŜe być zaleŜnością:
Pt = pd∞ L St , N
3.2.
(17)
(18)
Obliczanie składowej normalnej Pn siły aerodynamicznej
Znając wartości współczynników ciśnienia cp odpowiadające części dolnej cpd i
górnej cpg modelu, sporządzamy wykresy cpd = f1(t), cpg = f2(t) oraz wykres wynikowy
(cpd - cpg) = f(t) (rys. 6).
Podobnie jak poprzednio, dzieląc cięciwę na 12 przedziałów elementarnych,
obliczamy wartość całki występującej we wzorze (12) przybliŜoną metodą
prostokątów jako sumę:
b
(
)
12
S n = ∫ c pd − c pg dt =∑ ∆t H i
i =1
0
gdzie:
Sn i Hi ∆t -
powierzchnia zawarta pomiędzy krzywą (cpd - cpg) a osią t,
numer kolejnego przedziału (i = 1÷12),
rzędna wykresu w środku i-tego przedziału,
szerokość przedziału, m.
Rys. 6. Wyznaczanie pola Sn metodą graficzną
Składowa normalna Pn wyrazi się zgodnie ze wzorem (12) zaleŜnością:
35
(19)
Pn = pd∞ L S n , N
Wypadkowa siła aerodynamiczna będzie, zgodnie z zaleŜnością (3) równa:
(20)
P = Pt2 + Pn2 = pd∞ L St 2 + S n 2 ,
(21)
natomiast kąt zawarty między kierunkiem siły wypadkowej i osią t:
S 
P
(22)
β = arc tg n = arc tg  n  .
Pt
S
 t 
Siła oporu ciśnieniowego Px określona będzie więc zgodnie z zaleŜnością (4) wzorem:
Px = pd∞ L St 2 + S n 2 cos (β − α )
który w połączeniu z definicyjnym równaniem (1)
U ∞2
Px = c x ρ
S = c x p d∞ b L
2
pozwala na wyznaczenie współczynnika oporu badanego modelu:
cx =
1
b
St 2 + S n 2 cos (β − α )
(23)
(24)
(25)
4. Szczegółowy program ćwiczenia
Pomiar wykonać naleŜy przy stałej liczbie Reynoldsa (stałej prędkości przepływu)
i kątach napływu α wskazanych przez prowadzącego ćwiczenie. Odczytane długości
słupków cieczy manometrycznej naleŜy wpisać do tabeli 2, a następnie obliczyć
wartości ∆lj oraz współczynniki cpj zgodnie ze wzorem (16). Wartości tych
współczynników odpowiadające stronie czołowej cpc i tylnej cpt wpisać do tabeli 3a; w
tabeli 3b obliczyć róŜnice (cpc - cpt) a następnie korzystając z tabeli 1 (współrzędne
punktów pomiarowych) naleŜy wykreślić przebieg zmienności (cpc - cpt) = f(n). Po
podziale przedziału nd ÷ ng na 12 równych części naleŜy odczytać rzędne wykresu w
ich środkach i wpisać je do tabeli 3c. Korzystając z zaleŜności (17), moŜna obliczyć
powierzchnię St.
Po wpisaniu wartości współczynników ciśnienia odpowiadających dolnej cpd i
górnej cpg części modelu do tabeli 4a, naleŜy w tym samym układzie współrzędnych
narysować przebiegi zmienności cpd = f1(t), cpg = f2(t) i na ich podstawie sporządzić
wykres (cpd – cpg) = f(t). Po wpisaniu rzędnych tego wykresu odpowiadających
środkom 12 przedziałów elementarnych do tabeli 4b obliczamy powierzchnię Sn (wzór
19).
Korzystając z zaleŜności (22), obliczamy kąt β zawarty między siłą wypadkową P a jej
składową w kierunku t, tzn. Pt, a następnie przy pomocy wzoru (25) określamy
wartość współczynnika oporu cx.
Powtarzając pomiary i obliczenia dla róŜnych wartości kąta α, określamy zaleŜność
tego współczynnika od kąta napływu cx = cx(α).
Literatura
1.
2.
Bukowski J., Kijowski P.: Kurs mechaniki płynów, PWN, Warszawa 1980
Martynov A.: Eksperimentalnaja aerodynamika, GIOP, Moskwa 1958
36
Tabele pomiarowo-obliczeniowe
b = 0,052 m;
α = ……….;
∆n = ………m;
St = ∆n ∑ hi = ...............m;
12
S n = ∆t
∆t = ….....…m;
β = arc tg
Sn
= ............;
St
i =1
12
∑ Hi
= ...............m;
i =1
cx =
1
b
St 2 + S n 2 cos (β − α )
Tabela 2
Nr otw.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
lj
∆lj=1s-1j
c pj =
∆l j
∆lmax
Nr otw.
lj
∆lj=1s-1j
c pj =
∆l j
∆lmax
Tabela 3a
Nr
otw.
14
cpc
Tabela 3b
Nr
otw.
14
cpt
Tabela 3c
Cpc – cpt
cp14 – cp14
15
15
cp15 –cp13
16
16
cp16 –cp12
1
1
cp1 –cp11
2
2
cp2 –cp10
3
3
cp3 –cp9
4
4
cp4– cp8
5
5
6
6
0
cp5 –cp7
Nr
rzędnej
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
cp6 –cp6
0
∑ hi
i =1
37
hi
1s
Tabela 4a
Nr
otw.
1
cpd
Tabela 4b
Nr
otw.
1
Nr
rzędnej
1
cpg
16
2
2
15
3
3
14
4
4
13
5
5
12
6
6
11
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
∑H
i =1
38
i
Hi