Elementy logiki

Elementy logiki
Zdania proste i złożone
1. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań:
(a) 2 jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180◦ .
(b) Jeśli sin 0◦ = 2, to 52 < 5.
(c) Równanie x2 + bx + c = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy,
gdy funkcja f (x) = x2 + bx + c nie jest stałego znaku na prostej rzeczywistej.
(d) Nieprawda, że (2 ¬ 4 lub 2 > 4).
(e) Nieprawda, że (52 = 25 i 52 6= 25).
(f) Jeżeli reszta z dzielenia liczby naturalnej a przez 11 jest równa 1 i reszta z dzielenia
liczby naturalnej b jest równa 2, to reszta z dzielenia liczby a + b przez 11 jest równa
3.
(g) Jeżeli reszta z dzielenia liczby naturalnej a przez 11 jest równa 1 i reszta z dzielenia
liczby naturalnej b jest równa 2, to reszta z dzielenia liczby a − b przez 11 jest równa
10.
2. Zbudować tabelki logiczne wyznaczające wartości logiczne następujących zdań złożonych
w zależności od wartości logicznej zdań składowych.
(a) (p ∨ q) ∧ (p ∨ ∼ q)
(b) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
(c) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ⇔ q)
3. Zdanie q jest prawdziwe. Czy dla każdego zdania p prawdziwe jest zdanie
(a) p ⇒ (p ⇒ q)
(b) ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p
1
4. Wyznaczyć zbiór wszystkich wartości rzeczywistych parametru a, dla których zdanie
(q ∨ r) ⇒ p jest prawdziwe, jeśli
• p = istnieje liczba rzeczywista x ∈ (0, 1) taka, że x2 + x < 0;
a
• q = suma pierwiastków równania x2 + ax − = 0 jest mniejsza od 1
2
a+1
ma co najwyżej jedno rozwiązanie w przedziale (0 ; π).
• r = równanie sin x =
3a − 1
5. Wyznaczyć zbiór wszystkich wartości parametru rzeczywistego a, dla których prawdziwe
jest zdanie:
Jeżeli równanie |x2 − 5x + 6| = a ma trzy rozwiązania, to istnieje liczba rzeczywista y taka,
że y 2 = −1.
6. Sprawdzić, że następujące zdania złożone są tautologiami rachunku zdań.
(a) [∼ (∼ p)] ⇔ p
(prawo podwójnego przeczenia)
(b) p ∨ (∼ p)
(prawo wyłączonego środka)
(c) ∼ [p ∧ (∼ p)]
(prawo sprzeczności)
(d) [(∼ q) ⇒ (∼ p)] ⇔ (p ⇒ q)
(prawo transpozycji)
(e) [(p ⇒ q)] ⇔ [∼ p ∨ q]
(f) [∼ (p ∨ q)] ⇔ [(∼ p) ∧ (∼ q)]
(prawo de Morgana dla alternatywy)
(g) [∼ (p ∧ q)] ⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)]
(prawo de Morgana dla koniunkcji)
7. Sprawdzić, że następujące schematy określają reguły wnioskowania.
p, p ⇒ q
(reguła odrywania)
q
(∼ q) ⇒ [p ∧ (∼ p)]
(dowód przez sprowadzenie do niedorzeczności)
(b)
q
p ⇒ q, (∼ p) ⇒ (∼ q)
(c)
p⇔q
(a)
Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory
8. Określić zbiory argumentów, dla których prawdziwe są następujące funkcje zdaniowe. Zilustrować odpowiedź rysunkiem.
(a) x2 − 1 ­ 4, dla x ∈ R;
2
(b) |x| + |y| ¬ 1, dla (x, y) ∈ R × R
9. Podać wartość logiczną następujących zdań, zapisać zaprzeczenia tych zdań zmieniając
odpowiednio kwantyfikatory i funkcje zdaniowe.
(a) ∀x ∈ R : x2 > 0
1
2
2
(c) ∃x ∈ R : sgn x = x − 1
(b) ∃α ∈ [0, 1] : sin α =
(d) ∀n ∈ N : 7|n2 ⇒ 7|n
(e) ∀n ∈ N : 9|n2 ⇒ 9|n
(f) ∀x ∈ R : ([x] ¬ 0 ∨ x · [x] > 0).
10. Określić zbiory argumentów x ∈ R, dla których prawdziwe są funkcje zdaniowe.
(a) ∃y ∈ R : x2 + y 2 ¬ 1
(b) ∀y ∈ [−1, +1] : x + y ¬ 1
11. Podać wartość logiczną następujących zdań, zapisać zaprzeczenia tych zdań zmieniając
odpowiednio kwantyfikatory i funkcje zdaniowe.
(a) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x + y = 5
(b) ∃y ∈ R, ∀x ∈ R : x + y = 5
(c) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R : x − y 3 = cos x
(d) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R : (x − y)2 − (x − y)(x + y) ­ y 2 − 2xy
1
(e) ∀ε > 0, ∃k ∈ N, ∀n ­ k : < ε
n
12. Napisać zaprzeczenie następującego wyrażenia zmieniając odpowiednio kwantyfikatory i
funkcję zdaniową.
∀ε > 0, ∃k ∈ N, ∀n ­ k : |an − g| < ε
13. Podać przykład funkcji zdaniowych Φ(x) , Ψ(x) , x ∈ R, dla których zdanie
(a) [∀x : (Φ(x) ∨ Ψ(x))] ⇒ [(∀x : Φ(x)) ∨ ((∀x : Ψ(x))]
(b) [∃x : (Φ(x) ⇒ Ψ(x))] ⇒ [(∃x : Φ(x)) ⇒ (∃x : Ψ(x))].
jest fałszywe.
Dwumian Newtona
3
14. Wyznaczyć siódmy wyraz rozwinięcia dwumianu
√
1
3
x− √
6
x
15. Wyznaczyć wszystkie wyrazy rozwinięcia dwumianu
!30
.
√
1
√
+ 4x
4
x
!18
, w których x wystę-
puje w potędze naturalnej.
16. Wyznaczyć wszystkie wyrazy rozwinięcia dwumianu
turalnymi.
!
!
√
5
2−
225
√
9
, które są liczbami na3
!
n
n
n
17. Wykazać, że
+
+ ··· +
= 2n dla każdej liczby naturalnej n.
0
1
n
!
!
n
n
n
18. Wykazać, że ciąg liczbowy (an ) o wyrazie ogólnym an =
−
+ · · · + (−1)n ·
0
1
n
jest stały.
!
!
!
n
n
n+1
19. Wykazać, że
+
=
dla każdego n ∈ N i k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} .
k
k+1
k+1
Indukcja matematyczna
20. Stosując metodę indukcji matematycznej udowodnić:
(a)
(b)
n
X
(2k − 1) = n2
k=1
n
X
k=1
k2 =
n
(2n2 + 3n + 1)
6
(c) 3 | (n3 + 2n)
(d) 9 | 4n + 15n + 35
(e) 31 | 5n+2 + 62n+1
1
1
1
1
(f) 1 + 2 + 2 + · · · + 2 ¬ 2 −
2
3
n
n
1 3
2n − 1
1
(g) · · . . . ·
<√
2 4
2n
2n + 1
n
X 1
√
√ > n (dla n ­ 2)
(h)
k
k=1
(i) ∀a > 0 , b > 0 , ∀n ∈ N : (a + b)n < 2n (an + bn ).
Wskazówka: (∀a > 0, b > 0, n ∈ N) (a − b) (an − bn ) ­ 0
4
!
(j) ∀x ∈ (−1, ∞) , ∀n ∈ N : (1 + x)n ­ 1 + nx (nierówność Bernoulliego)
21. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ­ 2 i dowolnych liczb rzeczywistych a1 , a2 , . . . , an
prawdziwa jest nierówność
|a1 + a2 + . . . + an | ¬ |a1 | + |a2 | + . . . + |an |
22. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba wszystkich podzbiorów zbioru n – elementowego jest równa 2n .
23. Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że liczba przekątnych w wielokącie
n(n − 3)
wypukłym o n bokach, n ­ 3, jest równa
.
2
10n + 4n − 17
jest
24. Wyznaczyć zbiór wszystkich liczb naturalnych n, dla których ułamek
3
liczba naturalną.
25. Wykazać metodą indukcji matematycznej, że ciąg (an ) określony zależnościami: a1 =
an+1 =
1 + 2a2n
, n ­ 2, jest rosnący i ograniczony z góry.
4
1
,
4
26. Niech (an ) będzie ciągiem określonym zależnościami: a0 = 2 , a1 = 3 , an+1 = 3an − 2an−1 ,
n ­ 1 . Korzystając z zasady indukcji wykazać, że an = 2n + 1 , n ∈ N.
27. Niech (an ) będzie ciągiem określonym zależnościami: a1 = a2 = 1 , an = an−2 +an−1 , n ­ 3
(ciąg Fibonacciego). Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że
√ "
√ !n
√ !n #
5
1+ 5
1− 5
−
,n∈N
an =
5
2
2
√
√
1+ 5 1− 5
(Wsk. w dowodzie kroku indukcyjnego wykorzystać fakt, że liczby
i
są
2
2
2
pierwiastkami równania x = x + 1).
5