Lista nr 2

Analiza matematyczna, sem. 2
Zadanie 1. Niech A : Rn → R będzie funkcjonałem liniowym.
(a) Wykazać, że istnieje dokładnie jeden y ∈ Rn , że Ax = hx, yi, dla x ∈ Rn ;
(b) Wywnioskować z punktu (a), że przestrzeń funkcjonałów liniowych na Rn jest izomorficzna Rn ;
(c) Pokazać, że izomorfizm ten jest również izometrią, tzn: kAk = kyk.
Wskazówka. Skorzystać z nierówności Schwarza do oszacowania z góry normy kAk.
Następnie wykazać, że znak słabej nierówności można zastąpić równością.
Zadanie 2. Wyznaczyć równanie hiperpłaszczyzny stycznej i wektor normalny w punkcie
x0 do wykresu funkcji:
(1) f (x1 , x2 , x3 ) := x1 exp(−x22 + x23 ), x0 = (1, 1, 1).
(2) g(x1 , x2 , x3 ) := x1 arc tg( xx23 ), x0 = (1, 1, −1).
Zadanie 3. Wykazać, że funkcja
f (x, y) = (1 + ey ) cos x − yey
posiada nieskończenie wiele maksimów, lecz nie ma żadnego minimum.
Zadanie 4. Wykazać, że równanie
dy
d2 y
+x +y =0
2
dx
dx
t
po zamianie zmiennych x(t) = e , u(t) = (y ◦ x)(t) przyjmuje postać
x2
d2 u
+ u = 0.
dt2
Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie 5. Wykazać, że równanie Laplace’a
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
po zamianie zmiennych x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ jest postaci
∂ 2v
1 ∂ 2 v 1 ∂v
+
+
= 0,
∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r
gdzie v(r, θ) = u(x(r, θ), y(r, θ)).
Zadanie 6. Niech f = (f1 , f2 ) : R4 → R2 będzie zadana wzorem:
f1 (x1 , x2 , y1 , y2 ) = x21 − x2 y1 + x1 y22
f2 (x1 , x2 , y1 , y2 ) = x1 + x22 − 2y12 + y2
Wykazać, że istnieje otoczenie U punktu (−1, 0) oraz funkcje g1 , g2 : U → R, takie że:
• g1 (−1, 0) = 1, g2 (−1, 0) = −1;
1
• f (g1 (y1 , y2 ), g2 (y1 , y2 ), y1 , y2 ) = 0 dla (y1 , y2 ) ∈ U .
∂gi
(−1, 0), i, j = 1, 2.
Policzyć pochodne
∂yj
Zadanie 7. Niech F : R3 → R3 będzie zadane wzorem
F (x, y, z) := (xy + yz, x − y, x + y + z).
Wykazać, ze F jest lokalnie odwracalne w punkcie x0 = (1, 1, 1). Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie y0 = F (x0 ). Sprawdzić czy F jest globalnie odwracalne.
Zadanie 8. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie p = (−1, 2, 1) do powierzchni
M zadanej równaniem
−3x3 − yz − z 2 = 0.
Zadanie 9. Niech Ω ⊂ Rn będzie zbiorem otwartym i f : Ω → R będzie funkcją gładką.
Załóżmy, że y0 jest wartością regularną funkcji f , tzn. Df (x) ma rząd równy 1 (pochodna
jest niezerowa) dla wszystkich x ∈ f −1 (y0 ). Wykazać, że jeśli x0 ∈ f −1 (y0 ), to gradient
∇f (x0 ) jest prostopadły do poziomicy f −1 (y0 ). Zilustrować zadanie przykładem.
Wskazówka: Rozpatrzyć krzywą różniczkowalną α : (−, ) → f −1 (y0 ) taką, że α(0) = x0
oraz α0 (0) = v. Następnie pokazać, że ∇f (x0 )⊥v.
Zadanie 10. Obliczyć pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji uwikłanej postaci z =
f (x, y) zadanej równaniami:
(1) x + y + z = e−(x+y+z) ;
(2) xz = ln yz + 1.
Zadanie 11. Niech T : R2 → R3 będzie zadane wzorem:
T (ϕ, ψ) = ((2 + cos ϕ) cos ψ, (2 + cos ϕ) sin ψ, sin ϕ).
(a) Opisać obraz odwzorowania T . Nazwijmy go K. Wskazówka: jest to pewna
zamknięta powierzchnia w R3 .
(b) Znaleźć te punkty p zbioru K (są cztery takie punkty) dla których ∇T1 (T −1 (p)) = 0.
(c) Wykazać, że dwa punkty znalezione w (b) realizują maksimum i minimum lokalne
T1 , a pozostałe dwa nie realizują ani maksimum ani minimum lokalnego funkcji T1
(pomimo tego, że gradient T1 się zeruje na przeciwobrazie tych punktów);
(d) Opisać zbiór {p ∈ K : ∇T3 (T −1 (p)) = 0}.
Zadanie 12. Niech f : Rn ⊃ Ω → R będzie funkcją klasy C 2 . Jeżeli ∇f (x0 ) = 0, to x0 nazywamy punktem krytycznym funkcji f . Punkt krytyczny x0 nazywamy niezdegenerowanym,
jeśli hessian f w punkcie x0 jest niezerowy: det D2 f (x0 ) 6= 0. Wykazać, że jeśli x0 jest niezdegenerowanym punktem krytycznym, to jest on punktem izolowanym w zbiorze (∇f )−1 (0).
Innymi słowy istnieje δ > 0, że jeśli x ∈ B(x0 , δ) jest punktem krytycznym f , to x = x0 .
2
Zadanie 13. Niech A ∈ L(Rn ) będzie odwzorowaniem symetrycznym, tzn. hAx, yi =
hx, Ayi. Formą kwadratową generowaną przez odwzorowanie symetryczne A nazywamy odwzorowanie F : Rn → R dane wzorem
F (x) := hAx, xi.
Opisać ekstrema warunkowe formy kwadratowej generowanej przez A na sferze S n−1 ⊂ Rn .
Zilustrować zadanie przykładem, gdy A = diag(−1, 2, −1).
n
P
Wskazówka: Użyć metody mnożników Lagrange’a. S n−1 = G−1 (0), gdzie G(x) =
x2i −1.
i=1
Zadanie 14. Niech F : R2 → R będzie odwzorowaniem klasy C 1 . Rozpatrujemy równanie
F (x, λ) = 0
(1)
i zakładamy, że F (0, λ) = 0 dla wszystkich λ ∈ R. Mówimy, że punkt λ0 jest punktem
rozgałęzienia rozwiązania równania (1), jeśli dla każdego > 0 istnieje (x, λ) ∈ B((0, λ0 ), )
taki, że x 6= 0 oraz F (x, λ) = 0. Pokazać, że jeśli punkt λ0 jest punktem rozgałęzienia
rozwiązania równania (1), to ∂F
(0, λ0 ) = 0. Znaleźć punkty rozgałęzienia rozwiązania, gdy
∂x
F (x, λ) = ax − λx.
Zadanie 15. Wyznaczyć ekstrema lokalne (i globalne) funkcji u(x, y, z) = x2 − y 2 + 2z 2 na
zbiorze zadanym przez układ równań
2
x + y 2 + z 2 = 1;
x + y + z = 0.
Co to jest za zbiór?
Zadanie 16. Narysować krzywą L zadaną równaniem f (x, y) = 0, gdzie
f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2(x2 − y 2 ).
Znaleźć punkty osobliwe tej krzywej, tzn. punkty w których pochodna f się zeruje. Wykazać,
że iloczyn odległości punktu (x, y) ∈ L od punktów (−1, 0) i (1, 0) jest równy 1 dla wszystkich
punków krzywej L.
Wskazówka: Aby narysować krzywą L, zapisać równanie krzywej we współrzędnych biegunowych.
Zadanie 17. Wykazać, że układ równań
x2 + y 2 + z 2 = 1,
√
x2 − 2xy − z 2 + xz =
1
2
√
opisuje w otoczeniu punktu p = ( 22 , 0, 22 ) krzywą różniczkowalną α : (−, ) → R3 . Znaleźć
unormowany wektor styczny do tej krzywej w punkcie p.
Zadanie 18. Znaleźć wektor styczny do krzywej z poprzedniego zadania korzystając z tezy
w Zadaniu 9. Sprawdzić czy spełnione są wszystkie wymagane tam warunki.
3
Zadanie 19. Przeanalizować przykład funkcji f : R → R
x + 2x2 sin( x1 ), dla x 6= 0;
f (x) :=
0,
dla x = 0.
aby wykazać, że ciągłości pochodnej w punkcie nie można wyeliminować z założeń twierdzenia
o lokalnym odwracaniu odwzorowań.
Zadanie 20. Niech f (x, y1 , y2 ) := x2 y1 + ex + y2 . Wykazać, że istnieje funkcja g : R2 ⊃
U → R określona na otoczeniu punktu (1, −1) o tej własności, że f (g(y1 , y2 ), y1 , y2 ) = 0 dla
(y1 , y2 ) ∈ U . Znaleźć ∇g(1, −1).
Zadanie 21. Znaleźć ekstrema funkcji f (x, y, z) = x − 2 + z na zbiorze x + y 2 − z 2 = 1.
4