Rachunek Prawdopodobieństwa, dr inż. P. Hetman Matematyka, I

Rachunek Prawdopodobieństwa, dr inż. P. Hetman
Matematyka, I rok, sem. letni
Lista nr 2
1. Pracownik wytwarza n elementów pewnego urządzenia. Niech Ai , i = 1, . . . , n oznacza zdarzenie, że i-ty
element jest wadliwy. Za pomocą wprowadzonych zdarzeń przedstaw zdarzenia: a) żaden z elementów nie jest
wadliwy; b) co najmniej jeden z elementów jest wadliwy; c) tylko jeden element jest wadliwy; d) dokładnie
dwa elementy są wadliwe; e) co najwyżej dwa elementy są wadliwe.
2. W urnie jest m > 2 białych i n > 2 czarnych kul. Obliczyć prawd. wylosowania 3 czarnych kul, gdy losujemy
a) bez zwracania b) ze zwracaniem.
3. Ile liczb należy wylosowac ze zbioru {0, 1, ..., 9}, aby prawdopodobienstwo wystapienia wsród nich liczby 7
było nie mniejsze niż 0,9 ? Uwzglednić schemat losowania ze zwracaniem i bez zwracania.
4. W partii n wyprodukowanych przedmiotów k jest wykonanych wadliwie. Oblicz prawdopodobieństwo, że
wśród m zakupionych przedmiotów dokładnie l będzie wadliwych.
5. Z 10 losów w urnie 2 wygrywają. Kupiono jednocześnie 5 losów. Oblicz prawd., że wśród nich znajdzie się a)
jeden los będzie wygrywający, b) oba lisy wygrywające c) co najmniej jeden wygrywający.
6. W urnie znajduje się n + m losów w tym n wygrywających. Kupiono jednocześnie k. Oblicz prawd., że wśród
nich znajdzie się dokładnie s wygrywających.
7. Dla zmniejszenia ilości meczy rozgrywanych podczas rozgrywek podzielono losowo 2n startujących drużyn na
2 grupy. Oblicz prawd., że 2 najsilniejsze drużyny znajdą się w różnych grupach?
8. Z talii 52 kart wybieramy losowo bez zwracania 3 karty, jakie jest prawd., ze będą to 3, 7 i A w dowolnej
kolejności?
9. Prawdopodobieństwo, że student posiada drukarkę wynosi 0,21; skaner - 0,24; aparat fotograficzny - 0,44;
drukarkę i skaner - 0,07; drukarkę i aparat - 0,08; skaner i aparat - 0,11; skaner, drukarkę i aparat - 0,003.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że student posiada drukarkę lub skaner lub aparat.
10. Hasło potrzebne do uzyskania połączenia w sieci komputerowej składa się z jednej cyfry i następnie pięciu
dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli
wiadomo, że cyfra jest nieparzysta, a wśród liter są dokładnie trzy litery P.
11. Użytkownik karty bankomatowej używa czterocyfrowego kodu pin. Bankomat blokuje kartę, gdy po raz trzeci
pin zostanie nieprawidłowo podany. Jakie jest prawdopodobieństwo, że złodziej karty dostanie się na nasze
konto nie znając hasła?
12. Drewniany sześcian, którego wszystkie boki są pomalowane na niebiesko, rozpiłowano na 64 = 43 jednakowej
wielkości mniejsze sześcianiki. Sześcianiki te dokładnie wymieszano, następnie wylosowano 10 z nich. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden z wylosowanych sześcianików będzie miał 3 niebieskie ściany?
13. Niech Ω = {ωn , n = 1, 2, . . .}. Weźmy ciąg pn = cz −n , n = 1, 2, . . ., gdzie z > 1 jest ustalone. Dobrać
stałą c tak, aby ciąg (pn ) określał prawdopodobieństwo P na zbiorze Ω tak, że pn = P ({ωn }). Obliczyć
P ({ω1 , . . . , ω10 }).
14. Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę. Określić Ω i P odpowiadające
temu eksperymentowi dla monety symetrycznej. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej niż 7 i
więcej niż 2 rzuty.
15. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu |x| < 4, |y| < 4 leży na zewnątrz
koła x2 + y 2 < 1.
16. Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo i niezależnie 2 liczby p i q. Jakie jest prawd., że równanie x2 + px + q = 0
ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste? 2 sprzężone pierwiastki zespolone?