Geometria powłoki - Politechnika Opolska :: Wydział Budownictwa

Geometria powłoki - Politechnika Opolska :: Wydział Budownictwa

Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran
Gładką i regularną powierzchnię środkową S powłoki można opisać za pomocą
funkcji wektorowej (rys. 2.1) dwóch współrzędnych krzywoliniowych u1 i u2 w postaci :
 
(2.1)
r  r (u1 , u 2 ) .
Opis geometryczny dowolnej warstwy równoległej do powierzchni środkowej powłoki,
będącej powierzchnią, będzie związany z opisem powierzchni środkowej [19]. W dalszych
rozważaniach dla uproszczenia opisu wprowadza się nową, niekartezjańską bazę, opartą na
    


pięciu wektorach r1, r2 , m1, m2 , m . Wektory ri i mi leżą w płaszczyźnie stycznej do powierzchni,

natomiast wektor m jest do niej prostopadły. Wprowadzona baza jest przestrzenią
pięciowymiarową, w której może być zrealizowany pełny opis powierzchni.
Rys. 2.1. Opis geometrii powierzchni.


Wektory ri i mi tworzące bazę płaszczyzny stycznej do powierzchni S, są obliczane przez


różniczkowanie cząstkowe funkcji wektorowej r i m , względem parametrów ui.
Różniczkując wyrażenie (2.1) otrzymamy wektory bazy kowariantnej styczne do powierzchni
środkowej:
oraz



  r  r1 
ri  i     ,
 u r2 
(2.2)


m
mi  i .
u
(2.3)
Wektor jednostkowy m , wyznaczamy z iloczynu wektorowego:
  
g m  r1  r2 ,
(2.4)
w którym g jest wyróżnikiem zbudowanym ze współczynników pierwszej formy
różniczkowej. Określimy także wektory bazy kontrawariantnej, wg zależności:


r i  rk g ki .
(2.2a)
Przykład parametryzacji - Parametryzacja prostokreślna
Powierzchnie środkowe powłok prostokreślnych są utworzone przez proste, zwane
tworzącymi prostoliniowymi. To znaczy, że przez każdy punkt powierzchni prostokreślnej
przechodzi prosta leżąca na niej całkowicie. Ze względów konstrukcyjnych możemy podzielić
powłoki prostokreślne na dwie grupy:
 powierzchnie rozwijalne;
 powierzchnie pozostałe.
Będziemy rozpatrywać pewną grupę powłok opisanych równaniem wektorowym:

 







r  a1 cos(u 2 )i  sin(u 2 ) j  u1 cos(u 2   )i  sin(u 2   ) j cos  u1 sin  k .
(2.24)
gdzie:
 u1, u2
- współrzędne krzywoliniowe określające położenie punktu na powierzchni
(rys. 2.3);
 u1 - współrzędna mierzona w jednostkach długości, określa położenie punktu na
tworzącej, 0  u1  L / sin  ,
 u2 - współrzędna mierzona w radianach po okręgu, wskazuje tworzącą na której
leży punkt, 0  u 2  2[rad ] ,
  - parametr kątowy, kąt zawarty pomiędzy rzutem tworzącej na płaszczyzne podstawy
X0Y a promieniem podstawy;
  - parametr kątowy, kąt określający nachylenie tworzącej do płaszczyzny X0Y;
 a1 - promień podstawy;
 L - wysokość powłoki mierzona w jednostkach długości zgodnie ze współrzędną Z;
 L/sin
- długość tworzącej.
Rys. 2.3. Powierzchnia w parametryzacji prostokreślnej
Wprowadzając w równaniu (2.24) odpowiednie wartości parametrów kątowych  i  ,
możemy kształtować jedną z trzech typów powierzchni środkowej (tablica 2.1), a mianowicie:
walec, stożek lub hiperboloidę jednopowłokową.
Tablica 2.1. Opis parametrów kątowych w parametryzacji prostokreślnej.
Typ powłoki
Wartość
parametrów  i  [rad]
Walec
=0
 = /2
Stożek
=0
  /2
Hiperboloida jednopowłokowa
0
  /2
STOŻEK
WALEC
HIPERBOLOIDA
JENOPOWŁOKOWA
PRZYKŁAD ĆWICZENIA
PROJEKTOWEGO
ROZWIĄZANIE POWŁOKI W KSZTAŁCIE WALCA
POLITECHNIKA OPOLSKA
WYDZIAŁ BUDOWNICTWA
KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH I INŻYNIERSKICH
Rok studiów I, Semestr 2, Grupa .........
Studia stacjonarne, drugiego stopnia
Rok akademicki 20…../ ….
ĆWICZENIE PROJEKTOWE Z PRZEDMIOTU
KONSTRUKCJE POWIERZCHNIOWE
dla studenta .....................................................................................................
TEMAT: ELEMENTY ROZWIĄZANIA POWŁOK
TREŚĆ ĆWICZENIA:
Dla powłoki walcowej projektowanej z przeznaczeniem na zbiornik na ciecz
wyznaczyć siły przekrojowe i przemieszczenia od następujących oddziaływań:
- ciężar własny (z dachem),
- parcie cieczy,
- /wpływy środowiskowe/*,
- /temperatura/*.
* zagadnienie dodatkowe należy wykonać obliczenia w programie ROBOT
Wykonać projekt wstępny powłoki trzonu zbiornika wg PN-EN 1993-1-6
Dane do obliczeń:
- pojemność;
V = 10 000,0 [m3]
- średnica wewnętrzna płaszcza; dw_pł = 29 000,0 [mm]
- wysokość płaszcza;
hpł = 15 140,0 [mm]
- liczba pierścieni płaszcza;
n = 7 [szt.]
- grubości pierścieni płaszcza;
tpł = 14, 12, 10, 10, 8, 8, 8 [mm]
- grubości pierścieni dna;
tdna = 8 / 14 [mm]
- materiał:
stal ..........................................................
- lokalizacja; (jak w indeksie); ......................................................................
1. Opis geometryczny powłoki
Równanie wektorowe powierzchni środkowej:
[
⃗
(
)⃗
(
) ⃗]
[
(
)⃗
(
) ⃗]
– dla walca
[
⃗
(
)⃗
(
⃗⃗
) ⃗]
Kowariantne wektory bazy:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
(
(
)⃗
(
) ⃗)
Współczynniki pierwszej formy różniczkowej:
⃗⃗⃗⃗
W dalszych obliczeniach korzystano z zależności:
( )
( )
( )
( )
– przemnażanie skalarne wektorów
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
– iloczyn skalarny
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
- iloczyn wektorowy
Korzystając iloczynu skalarnego ⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗
⃗
( ) otrzymano:
⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
(
|
(
)⃗
( )⃗
( )⃗
( )⃗
(
) ⃗) ⃗⃗
(
) ⃗) (
( )⃗
( ) ⃗)
(
(
)⃗
)⃗
(
) ⃗)
( )⃗
|
|
|
Kowariantny tensor metryczny:
⃗
⃗
Gdzie:
|
jest dopełnieniem algebraicznym elementu
|
Wektor jednostkowy
√
√
⃗⃗⃗
:
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗
|
⃗⃗
⃗
(
)
(
|
)
√
(
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
)⃗
(
)⃗
(
)⃗
(
)⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
(
)⃗
(
)⃗
Współczynniki drugiej (II) formy różniczkowej (kowariantnej):
⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
(
⃗
⃗)
Wyznacznik drugiej formy różniczkowej:
|
|
|
|
Kowariantny tensor II formy różniczkowej
Mieszany tensor II formy różniczkowej:
Współczynniki III formy różniczkowej:
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
(
⃗
⃗)
Krzywizna Gaussa:
Krzywizna średnia:
(
)
(
)
(
)
Symbole Christoffela II rodzaju
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Ze względu na fakt, iż wszystkie współczynniki I formy różniczkowej są stałe, ich
pochodne są równe 0. Stad symbole Christofela II rodzaju są również równe zeru.
Podstawianie danych liczbowych
Dane do obliczeń:
Współczynniki pierwszej formy różniczkowej:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
Wyznacznik I formy różniczkowej
|
|
Kowariantny tensor metryczny:
Współczynniki drugiej (II) formy różniczkowej (kowariantnej):
⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗
Wyznacznik drugiej formy różniczkowej:
|
|
|
|
Wyznacznik drugiej formy różniczkowej:
|
|
|
|
Kowariantny tensor II formy różniczkowej
Mieszany tensor II formy różniczkowej:
Współczynniki III formy różniczkowej:
Krzywizna Gaussa:
Krzywizna średnia:
Symbole Christoffela II rodzaju