Pola elektryczne w materii

Elektrodynamika
Część 3
Pola elektryczne w materii
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas
Spis treści
4 Pola elektryczne w materii
4.1 Polaryzacja elektryczna . .
4.2 Pole ciała spolaryzowanego
4.3 Pole indukcji elektrycznej .
4.4 Dielektryki liniowe . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
9
19
23
4 Pola elektryczne w materii
4.1 Polaryzacja elektryczna
4.1.2 Indukowany moment dipolowy
Co się dzieje z atomem jeśli umieścimy go w polu elektrycznym E?
p = αE,
α — polaryzowalność atomowa
Przykład:
Przyjmijmy, że atom to punktowe jądro (+q) otoczone chmurą ładunku
w kształcie jednorodnie naładowanej kuli o promieniu a i całkowitym
ładunku −q. Obliczyć polaryzowalność atomową dla takiego modelu.
−q
a
d
+q
−q
+q
E
1 qd
E = Ee =
,
3
4π0 a
p = qd = (4π0 a3 )E
pole przesuniętych ładunków
równoważy pole zewnętrzne
⇒
α = 4π0 a3 = 30 v
O
p = α⊥ E⊥ + αk Ek ,
C
O
cząsteczka anizotropowa

h 2 i

α⊥ = 2 · 10−40 C m
h N2 i

αk = 4.5 · 10−40 C m
N


px = αxx Ex + αxy Ey + αxz Ez 



py = αyx Ex + αyy Ey + αyz Ez  ,



pz = αzx Ex + αzy Ey + αzz Ez 
αij
współrzędne tensora
polaryzowalności
4.1.3 Zmiana orientacji momentów dipolowych cząsteczek
polarnych
p
H+
+q
H+
d
O
105◦
F+
F− −q
O−
E
cząsteczka polarna
F+ = qE = −F−
siły się równoważą
N = (r+ × F+ ) + (r− × F− )
= (d/2) × (qE) + (−d/2) × (−qE)
= qd × E
moment siły
N =p×E
F = F+ + F− = q(E+ − E− ) = q(δE)
pole niejednorodne
δE = (d · ∇)E
F = (p · ∇)E
U = −p · E
siła działająca na dipol w polu niejednorodnym
energia dipola w polu
1 1 U=
p1 · p2 − 3(p1 · r̂)(p2 · r̂)
3
4π0 r
energia oddziaływania
dwóch dipoli
4.1.4 Polaryzacja elektryczna
Co się dzieje z dielektrykiem umieszczonym w polu?
Materiał zostaje spolaryzowany.
P ≡ moment dipolowy na jednostkę objętości
polaryzacja elektryczna
4.2 Pole ciała spolaryzowanego
4.2.1 Ładunki związane
Jakie pole wytwarza spolaryzowane ciało?
R
P
p
1 R̂ · p
V (r) =
4π0 R2
1
V (r) =
4π0
Z
V
dla pojedynczego dipola
R̂ · P (r 0 ) 0
dτ
2
R
dla objętości V
1
R̂
∇
= 2
R
RZ
korzystamy z
1
1
0
0
V (r) =
P ·∇
dτ ,
∇ · (f A) = f (∇· A) + A · (∇f )
4π0 
R
V
Z
Z
1
1 
P
0
0
0
0
dτ
−
(∇
·
P
)
dτ
V (r) =
∇
·


4π0
R
R
VZ
IV
1
1
1
1
0
V (r) =
P · n̂ da −
(∇0 · P ) dτ 0
4π0
R
4π0
R
0
S
V
σzw ≡ P · n̂
gęstość powierzchniowa ładunków związanych
ρzw ≡ −∇ · P
gęstość objętościowa ładunków związanych
1
V (r) =
4π0
I
S
σzw 0
1
da +
R
4π0
Z
V
ρzw 0
dτ
R
Przykład:
Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez jednorodnie
spolaryzowaną kulę o promieniu R.
z
n̂
σzw = P · n̂ = P cos θ
θ
P
R
Szukamy pola wytworzonego przez rozkład powierzchniowy ładunku
P cos θ. To już obliczyliśmy!


 P r cos θ
V (r, θ) = 30 3

 P R cos θ
30 r2
dla r ≤ R
dla r ≥ R
P
1
E = −∇V = −
P
dla r < R, pole jednorodne
ẑ = −
30
30
potencjał od dipola
1 p · r̂
V =
dla r ≥ R, umieszczonego w środku
2
4π0 r
kuli
4 3
p = πR P , wartość dipola
3
1 p
E(r, θ) =
(2 cos θ r̂ + sin θ θ̂) pole dipola
3
4π0 r
linie pola dla jednorodnie spolaryzowanej kuli
4.2.2 Fizyczna interpretacja ładunków związanych
=
− +− +− +− +− +− + −
+
Spolaryzowany walec
A
= −q +q
d
P (Ad) = (P A)d = qd moment dipolowy wycinka
σzw
q
=
=P
A
gęstość powierzchniowa ładunku
+
+
+
− − −
+
−
−
+
− − −
+
+
+
polaryzacja niejednorodna
Z
ρzw dτ = −
V
ρzw = −∇ · P
I
S
P · da = −
Z
V
(∇ · P ) dτ
4.2.3 Pole w dielektryku
chcemy obliczyć pole
makroskopowe w punkcie r;
rozważmy kulę o promieniu R wokół
punktu r
R
r
E = Ezew + Ewew
Ewew =?.
Eśred
jakie jest pole od ładunków wewnątrz kuli?
1 p
=−
4π0 R3
uśrednione pole od ładunków znajdujących
się wewnątrz kuli o promieniu R; p jest
całkowitym momentem dipolowym
r
R
dτ
obliczamy średnie pole od ładunku q
umieszczonego w punkcie r
q
R
1
1
1 q
Eśred = 4 3
E dτ = 4 3
R̂ dτ
2
4π0 R
Z
3 πR
3 πR
pole w punkcie r od równomiernie
ρ
1
R̂ dτ
Eρ =
2
4π0
R
naładowanej
kuli, które łatwo policzyć
q
Eśred = Eρ jeśli ρ = − 4 3
1
1 qr3 πR 1 p
Eρ =
ρr = −
=−
3
30
4π0 R
4π0 R3
uśrednione pole od ładunków
1 p
Ewew = Eśred = −
3
4π0 R
wewnątrz kuli
Z
Vzew
1
=
4π0
Z
Z
na zewnątrz kuli
R̂ · P (r 0 ) 0
dτ
2
R
potencjał od ładunków
zewnętrznych
Ewew
Ewew
1 p
=−
,
3
4π0 R
1
=−
P
30
p=
4 3
πR P
3
Uśrednione po dowolnej kuli pole pochodzące od ładunków wewnątrz
kuli jest takie samo jak pole w środku jednorodnie spolaryzowanej kuli
Potencjał pola makroskopowego:
1
V (r) =
4π0
Z
R̂ · P (r 0 ) 0
dτ
2
R
całka obejmuje całą
objętość dielektryka
4.3 Pole indukcji elektrycznej
4.3.1 Prawo Gaussa w obecności dielektryka
ρ = ρzw + ρsw
gęstość ładunków związanych i swobodnych
0 ∇ · E = ρ = ρzw + ρsw = −∇ · P + ρsw
prawo Gaussa
∇ · (0 E + P ) = ρsw
D ≡ 0 E + P
∇ · D = ρsw
I
wektor indukcji elektrycznej
prawo Gaussa
D · da = Qsw wew
Przykład:
Długi prosty drut, naładowany jednorodnie z gęstością liniową λ,
otoczony jest gumową izolacją. Promień warstwy izolacji wynosi a.
Znaleźć indukcję elektryczną w tym układzie.
L
λ
a
s
D(2πsL) = λL z prawa Gaussa
λ
D=
ŝ, wzór słuszny wewnątrz i na zewnątrz izolacji
2πs
1
λ
E= D=
ŝ dla s > a (P = 0)
0
2π0 s
Wewnątrz izolacji nie znamy P !
4.3.2 Zwodnicze podobieństwo
1
D(r) 6=
4π
Z
R̂
0
0
ρ
(r
)
dτ
,
sw
2
R
dla D nie ma „prawa Coulomba”
∇ × D = 0 (∇ × E) + (∇ × P ) = ∇ × P
Do wyznaczenia pola wektorowego nie wystarczy znajomość
dywergencji. Trzeba jeszcze znać rotację.
∇ × D 6= 0,
D nie jest gradientem skalara,
D nie ma potencjału!
D nie jest wyznaczone wyłącznie przez ładunek swobodny.
4.3.3 Warunki brzegowe
I
D · da = Qsw wew
⊥
⊥
Dnad
− Dpod
= σsw
k
Dnad
−
k
Dpod
=
k
Pnad
skok składowej prostopadłej
−
k
Ppod ,
skok składowej równoległej
W obecności dielektyka te warunki są często bardziej
użyteczne niż warunki dla pola.
⊥
Enad
k
Enad
−
⊥
Epod
1
= σ
0
−
k
Epod
=0
4.4 Dielektryki liniowe
4.4.1 Podatność elektryczna i przenikalność elektryczna
P = 0 χe E
χe
dla niezbyt silnych pól
jest podatnością elektryczną ośrodka
D = 0 E + P = 0 E + 0 χe E = 0 (1 + χe )E,
D = E,
D jest proporcjonalne do E
≡ 0 (1 + χe )
przenikalność elektryczna ośrodka
r ≡ 1 + χe = ,
0
Przykład:
w ośrodkach
liniowych
względna przenikalność elektryczna
Metalowa kula o promieniu a naładowana została ładunkiem Q. Kula
otoczona jest powłoką z dielektryka o przenikalności elektrycznej ;
promień powłoki wynosi b. Znaleźć różnicę potencjałów między
środkiem kuli i punktem w nieskończoności.
a
Q
D=
r̂,
2
4πr
dla r > a
Q
b
ze względu na symetrię sferyczną
E = P = D = 0,


 Q 2 r̂
E = 4πr

 Q r̂
4π0 r2
V =−
Z0
Q
=
4π
dla a < r < b
dla r > b
E · dl = −
∞
wewnątrz metalowej kuli
Zb ∞
1
1
1
+
−
0 b a b
Q
4π0 r2
dr −
Za b
Q
4πr2
dr −
Z0
(0) dr
a
Nie musieliśmy obliczać polaryzacji ani gęstości ładunków związanych!
Chociaż w tym przypadku nie jest to trudne.
0 χe Q
P = 0 χ e E =
r̂
2
4πr
ρzw = −∇ · P = 0

 0 χe Q
4πb2
σzw = P · n̂ =
− 0 χe Q2
4πa
na powierzchni zewnętrznej
na powierzchni wewnętrznej
Znak minus wynika z tego, że wektor n̂ jest skierowany na zewnątrz
dielektryka (+r̂ dla r = b i −r̂ dla r = a).
P =0
P · dl 6= 0, ∇ × P 6= 0,
0 χe różne po obu stronach
H
próżnia
dielektryk
P 6= 0
Także dla dielektryków liniowych podobieństwo D i E jest
zwodnicze.
Chyba, że przestrzeń jest całkowicie wypełniona
jednorodnym dielektrykiem.
∇ · D = ρsw ,
∇ × D = 0,
znając ρsw można obliczyć D
Epróżni jest natężeniem pola elektrycznego jakie
D = 0 Epróżni ,
dany rozkład ładunków wytworzyłby w próżni
1
1
E = D = Epróżni pole w dielektryku jest redukowane o r
r
+
+
+
− − −
+
−
−
q
+
− − −
+
ładunek swobodny q umieszczony w
dużym kawałku dielektryka jest
ekranowany przez ładunki związane
+
+
1 1
E=
r̂,
2
4π r
we wzorze występuje a nie 0
Px = 0 χe xx Ex + χe xy Ey + χe xz Ez
dla kryształów tensor
Py = 0 χe yx Ex + χe yy Ey + χe yz Ez podatności
Pz = 0 χe zx Ex + χe zy Ey + χe zz Ez elektrycznej
4.4.2 Zagadnienia brzegowe w obecności dielektryków liniowych
ρzw
D
= −∇ · P = −∇ · 0 χe
!
χe
0 χe
∇·D =−
=−
0 (1 + χe )
1 + χe
!
ρsw
W jednorodnym dielektryku liniowym gęstość ładunku
związanego ρzw jest proporcjonalna do gęstości ładunku
swobodnego ρsw .
Jeśli w dielektryku nie ma ładunków swobodnych ρsw = 0, to
nieznikająca gęstość ładunku może wystąpić jedynie na
powierzchni.
⊥
⊥
nad Enad
− pod Epod
= σsw ,
warunek brzegowy
∂Vnad
∂Vpod
nad
− pod
= −σsw ,
∂n
∂n
Vnad = Vpod ,
potencjał jest ciągły
w języku potencjału
Przykład:
Kula wykonana z jednorodnego dielektryka liniowego została
umieszczona w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym o
natężeniu E0 . Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na
zewnątrz kuli.
E
E0
Należy rozwiązać równanie Laplace’a przy następujących warunkach
brzegowych:
(i)
Vwew = Vzew
(ii)
zew
wew
= 0 ∂V∂r
∂V∂r
gdy r = R
gdy r = R (nie ma ładunków swobodnych)
Vzew → −E0 r cos θ gdy r R
∞
X
Vwew (r, θ) =
Al rl Pl (cos θ)
(iii)
l=0
∞
X
Bl
Vzew (r, θ) = −E0 r cos θ +
Pl (cos θ)
l+1
r
l=0
∞
X
∞
X
Bl
l
Al R Pl (cos θ) = −E0 R cos θ +
Pl (cos θ),
l+1
R
l=0

A Rl = Bl
l
Rl+1
A1 R = −E0 R +
∞
X
l=0
dla l 6= 1
B1
R2
dla l = 1
r
lAl Rl−1 Pl (cos θ) = −E0 cos θ −
 l=0
 lA = − (l+1)Bl ,
dla l 6= 1
r
l
Rl+2
r A1 = −E0 − 2B31 , dla l = 1
R

A = B = 0
l
l
A1 = − 3 E0 , B1 = r −1 R3 E0 ,
r +2
(i)
r +2
∞
X
(l + 1)Bl
l=0
Rl+2
dla l 6= 1
dla l = 1
Pl (cos θ),
(ii)
3E0
3E0
Vwew (r, θ) = −
r cos θ = −
z
r + 2
r + 2
3
Ewew =
E0 , pole wewnątrz kuli jest jednorodne
r + 2
r − 1 R 3
E0 cos θ
Vzew (r, θ) = −E0 r cos θ +
2
r + 2 r
1 p
Ezew = E0 +
(2 cos θr̂ + sin θθ̂), pole E0 plus pole dipola
3
4π0 r
r − 1 3
p = 4π0
R E0 , moment dipolowy kuli
r + 2
4.4.3 Energia w układach z dielektrykami
0
W =
2
Z
0
W =
2
Z
δW =
Z
E 2 dτ,
energia zmagazynowana w polu
1
r E dτ =
2
2
(δρsw )V dτ,
Z
D · E dτ,
w układach z
dielektrykami
do dielektryka wprowadzamy
ładunki swobodne
∇ · D = ρsw ⇒ δρsw = ∇ · (δD)
Z
δW = [∇ · (δD)]V dτ
∇ · [(δD)V ] = [∇ · (δD)]V + δD · (∇V )
Z
Z
δW = ∇ · [(δD)V ] dτ + (δD) · E dτ
Z
Z
całkujemy po całej
∇ · [(δD)V ] dτ = (δD)V · da = 0
przestrzeni
S
Z
δW = (δD) · E dτ
D = E,
dla dielektryków liniowych
1
1
δ(D · E) = δ(E 2 ) = (δE) · E = (δD) · E
2
2
Z
1
δW = δ
D · E dτ
2
1
W =
2
Z
D · E dτ
Energia układu to praca konieczna do utworzenia danego układu.
Dwa sposoby „tworzenia układu”:
(i) Wprowadzamy małymi porcjami ładunki swobodne i związane i
umieszczamy je w ich położeniach
W = Wsw + Wzw
(ii) Wprowadzamy małymi porcjami ładunki swobodne pozwalając
dielektrykowi dostosować się do ich obecności
Wcałk = Wsw + Wzw + Wsprężynek