Kinematyka punktu

5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu
Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do określenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i końcu
w rozważanym punkcie M.
z
L
hodograf wektora
wodzącego
M
r
wektor
wodzący
O
y
x
Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego
Wektorową funkcję czasu
r = r( t )
(5.1)
nazywamy wektorem wodzącym. Wektor ten możemy zapisać analitycznie
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych
w postaci funkcji wektorowej:
r = r( t ) = x( t ) i + y( t ) j+ z( t ) k
(5.2)
lub równoważnych trzech równań skalarnych
x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ) .
(5.3)
Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy
równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi równaniami ruchu.
91
Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu
swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy
nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano
w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez
końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.
W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją
wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t1 położenie punktu M1 wyznacza
wektor wodzący r1 = r(t1), a w chwili t2 = t1 + ∆t punkt zajmuje położenie M2 wyznaczone przez wektor wodzący r2 = r(t2), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po upływie
czasu ∆t = t2 – t1 wektor wodzący uzyskał przyrost ∆r = r2 – r1. Iloraz ∆r/∆t jest
wektorem współliniowym z wektorem ∆r, czyli jest skierowany wzdłuż cięciwy
M1M2. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy pochodną wektora r względem czasu:
lim
∆t →0
∆r dr
=
= v,
dt
∆t
nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że prędkością punktu nazywamy
pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:
v=
z
dr
.
dt
(5.4)
M1
L
v=
∆r
r1
dr
dt
M2
r2
∆r
∆t
O
y
x
Rys. 5.2. Prędkość punktu
Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M2 dąży do punktu M1, to cięciwa M1M2 dąży
do stycznej do toru w punkcie M1. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do
toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r.
92
Gdy wektor wodzący zapiszemy w postaci (5.2), to zgodnie z podanymi
w p. 2.3.7 zasadami różniczkowania jego pochodna
v=
d r dx dy dz
=
i+
j+ k .
dt dt
dt
dt
(5.5)
Po zapisaniu prędkości v w układzie współrzędnych x, y, z
v = v x i + v y j+ v z k
(5.6)
i podstawieniu do równania (5.5) oraz po porównaniu wyrazów przy tych samych
wersorach otrzymamy wzory na współrzędne prędkości:
vx =
dx
dy
dz
, vy =
, vz =
.
dt
dt
dt
(5.7)
Widzimy, że współrzędne prędkości są równe pochodnym względem czasu odpowiednich współrzędnych wektora wodzącego.
Wartość prędkości określa wzór:
v = v 2x + v 2y + v 2z .
(5.8)
W czasie ruchu punktu M jego prędkość v w ogólnym przypadku ruchu zmienia
zarówno swoją wartość, jak i kierunek. Jeżeli dla dwóch położeń punktu M, odpowiadających chwilom t1 i t2 = t1 + ∆t, wektory prędkości oznaczymy odpowiednio
przez v1 i v2 i przesuniemy je tak, aby ich początki znalazły się w jednym punkcie
O1 (rys. 5.3), to widzimy, że prędkość w czasie ∆t = t2 – t1 uzyskała przyrost
∆v = v2 – v1. Końce tych wektorów leżą na linii, którą nazywamy hodografem
prędkości.
a=
dv
dt
hodograf prędkości
∆v
v1
v2
∆v
∆t
O1
Rys. 5.3. Przyśpieszenie punktu
Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor ∆v/∆t
o kierunku przyrostu prędkości ∆v. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to
93
w granicy otrzymamy pochodną prędkości v względem czasu, nazywaną przyśpieszeniem a punktu M:
∆v dv
lim
=
=a.
∆t →0 ∆t
dt
Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą
pochodną wektora wodzącego względem czasu.
a=
d v d2 r
= 2 .
dt
dt
(5.9)
Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości v.
W prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie a możemy zapisać w następujący sposób:
a = a x i + a y j+ a z k .
(5.10)
W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem
czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6):
a=
d v dv x dv y
dv
=
i+
j+ z k .
dt
dt
dt
dt
(5.11)
Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane zależnościami:
ax =
dv y d 2 y
dv x d 2 x
dv
d2z
= 2 , ay =
= 2 , az = z = 2 .
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(5.12)
Z powyższych wzorów wynika, że współrzędne przyśpieszenia punktu w nieruchomym prostokątnym układzie współrzędnych są pierwszymi pochodnymi względem czasu współrzędnych prędkości lub drugimi pochodnymi względem czasu
odpowiednich współrzędnych tego punktu.
Znając współrzędne przyśpieszenia, jego moduł obliczymy ze wzoru:
a = a 2x + a 2y + a 2z .
(5.13)
5.2.2. Prędkość i przyśpieszenie punktu w naturalnym układzie współrzędnych
W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy współrzędne prędkości v i przyśpieszenia a w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Na podstawie takiego postę-
94
powania nie można ustalić, jak porusza się punkt względem toru L i jak zmieniają
się moduły i kierunki wektorów prędkości v i przyśpieszenia a w funkcji przebytej
drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie przyjmijmy w punkcie M lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach s, n, b o kierunkach
odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do krzywej
w rozważanym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego układu współrzędnych będą określone odpowiednio wersorami es, en i eb. Tak zdefiniowane
wersory es, en i eb wyznaczają w każdym punkcie linii (toru) L prawoskrętny układ
współrzędnych, który nazywamy układem naturalnym.
b
z
n
eb
en
r(l)
M
L
es
s
O
y
x
Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym układzie współrzędnych
Wykażemy, że jeżeli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l mierzonej wzdłuż toru:
r = r(l) ,
(5.14)
to wersory te są opisane wzorami:
es =
dr
d2 r
, e n = ρ 2 , e b = es × e n ,
dl
dl
(5.15)
gdzie ρ jest promieniem krzywizny w punkcie M.
W tym celu przedstawmy fragment linii L w płaszczyźnie ściśle stycznej sn
widzianej od strony strzałki osi binormalnej b (rys. 5.5). Na torze (linii) obierzmy
punkt M i drugi M′ tak, aby długość ∆l drogi mierzona po łuku MM′ była niewielka. Jeżeli weźmiemy granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego ∆r i przyrostu
drogi ∆l
95
∆r dr
=
,
∆l
dl
to otrzymamy pochodną wektora wodzącego r względem drogi l. Moduł tej pochodnej jest równy jedności, ponieważ gdy ∆l będzie dążyć do zera, to długość
cięciwy MM′ = ∆r będzie dążyć do długości łuku ∆l:
lim
∆ →0
lim
∆l→0
∆r
dr
=
= 1.
∆l
dl
Zatem pochodna wyrażona wzorem:
es =
dr
dl
jest równa wersorowi stycznej es do toru w punkcie M.
n
n′
N
O
r(l+∆l)
L
ρ
r(l)
en
∆r
M
e ′s
∆es
es
M
es
s
Rys. 5.5. Ruch punktu w płaszczyźnie ściśle stycznej
Aby udowodnić słuszność wzoru na wersor normalnej en w punkcie M, wykreślamy styczną s oraz jej wersor es i normalną n, a w punkcie M′ wersor stycznej e ′s
i normalną n′. Punkt przecięcia osi n′ i n oznaczymy przez N. Widzimy, że wersor
es podczas przemieszczania się z punktu M do M′ doznał przyrostu ∆es. Jeżeli zbudujemy wektor będący ilorazem przyrostu ∆es i długości łuku ∆l i wyznaczymy
granicę tej wielkości przy ∆l dążącym do zera, to otrzymamy drugą pochodną wektora wodzącego r względem drogi l:
∆ es d es d 2 r
=
= 2 .
∆l→0 ∆l
dl
dl
lim
(a)
96
Kierunek tego wektora będzie normalny do krzywej w punkcie M, ponieważ jeżeli
punkt M′ będzie się zbliżał do punktu M, to kąt między przyrostem ∆es i wersorem
es będzie dążył do kąta prostego. Można to też wykazać analitycznie. Wiadomo, że
iloczyn wersora pomnożonego skalarnie przez siebie będzie równy jedności:
e s ⋅ e s = 1.
Po zróżniczkowaniu tej zależności względem czasu mamy:
es ⋅
d e dl
d es
= 0 lub e s ⋅ s
= 0,
dl dt
dt
a po podzieleniu przez dl/dt
es ⋅
d es
d2 r
= es ⋅ 2 = 0 .
dl
dl
Z powyższego wynika, że druga pochodna wektora wodzącego względem drogi
jest wektorem prostopadłym do osi stycznej s.
Wyznaczymy obecnie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r względem drogi l. Z rysunku 5.5 można zauważyć, że dla małych przyrostów ∆r trójkąt
es ∆es e ′s i trójkąt N M M′ są podobne. Możemy zatem napisać:
∆ es
e
= s .
∆r
MN
Wiadomo także, że gdy ∆l będzie dążyć do zera, to długość przyrostu ∆r będzie
dążyć do długości łuku ∆l, czyli ⏐∆r⏐ = ∆l. Powyższą równość zapiszemy zatem
w postaci:
∆ es
e
= s ,
∆l
MN
a po obliczeniu granicy tej równości mamy:
∆ es
e
d es
d2 r
1
1
=
=
= s =
= ,
2
∆l→0 ∆l
dl
MN MN ρ
dl
lim
ponieważ z geometrii analitycznej wiadomo, że granica:
lim M ′N = ρ
M ′→ M
jest promieniem krzywizny, czyli promieniem koła ściśle stycznego w rozpatrywanym punkcie.
97
Ostatecznie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r względem drogi l
jest równy odwrotności promienia krzywizny, nazywanej krzywizną
w rozważanym punkcie:
d2 r 1
= .
ρ
dl 2
(5.16)
Wersor osi normalnej en otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku
normalnej przez jego moduł (5.16):
d2 r
d2 r
2
2
d2 r
e n = dl2 = dl = ρ 2 .
1
dl
d r
2
ρ
dl
Dla wyprowadzenia wzorów na prędkość v i przyśpieszenie a punktu M przedstawimy wektor wodzący r(t) w postaci funkcji złożonej: r(t) = r[l(t)].
Z definicji prędkości i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji złożonej
mamy:
d r d r dl
v=
=
.
dt
dl dt
W powyższym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem es osi stycznej s, a druga modułem prędkości równym pochodnej drogi względem czasu:
v=
dl
.
dt
(5.17)
Zatem prędkość przedstawia wzór:
v = v es .
(5.18)
Otrzymaliśmy zatem potwierdzenie, że prędkość punktu jest styczna do toru.
Przyśpieszenie obliczymy, licząc pochodną prędkości względem czasu. Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu, otrzymamy:
2
d e s dv
d e s dl dv
dv
2 d r
a=
es + v
es + v
es + v
=
=
.
dt
dt
dt
dl dt dt
dl 2
Po podstawieniu do tego wzoru zależności na wersor normalnej:
d 2 r en
=
ρ
dl 2
98
otrzymujemy wzór na przyśpieszenie punktu M w naturalnym układzie współrzędnych:
dv
v2
a=
es +
en
(5.19)
dt
ρ
lub
a = as + an .
(5.20)
Z otrzymanego wzoru wynika, że przyśpieszenie w rozważanym układzie
współrzędnych s, n, b ma dwie składowe: styczną as i normalną an (skierowaną do
środka krzywizny) i leży w płaszczyźnie ściśle stycznej sn. Moduły tych składowych są następujące:
dv
v2
,
(5.21)
as =
, an =
ρ
dt
a wartość przyśpieszenia całkowitego obliczymy ze wzoru:
a = a 2s + a 2n .
(22)
Ze wzorów (5.21) widać, że przyśpieszenie styczne as jest miarą zmiany prędkości i jest równe zeru, gdy moduł prędkości będzie stały, z kolei przyśpieszenie
normalne an jest miarą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym przyśpieszenie
normalne jest równe zeru.
W ruchu punktu po krzywej płaskiej znane są kierunki składowych przyśpieszenia albo ich wyznaczenie nie nastręcza większych trudności, ponieważ wektory
obu składowych przyśpieszenia będą leżały w płaszczyźnie ruchu. W przypadku
ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych składowych przyśpieszenia mogą się pojawić trudności natury matematycznej.
Przykład 5.1. Punkt porusza się w płaszczyźnie xy zgodnie z równaniami ruchu:
x = −4 t 2 + 1, y = −3t .
Wyznaczyć równanie toru, prędkość, przyśpieszenie styczne normalne i całkowite
oraz promień krzywizny dla czasu t1 = 0,5 s. Przyjąć wymiary w metrach, a czas
w sekundach.
Rozwiązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu należy z równań ruchu
wyeliminować parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu
i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy:
99
y2 = −
9
( x − 1) .
4
Równanie to przedstawia parabolę.
Współrzędne prędkości punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduł ze
wzoru (5.8).
dx
dy
vx =
= −8 t , v y =
= −3 ,
dt
dt
2
⎛1⎞
v = v + v = 64t + 9 ,a v(t 1 ) = 64⎜ ⎟ + 9 = 25 = 5m / s .
⎝ 2⎠
2
x
2
y
2
Współrzędne przyśpieszenia i jego wartość wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13):
ax =
dv y
dv x
= −8, a y =
= 0,
dt
dt
a = a 2x + a 2y = 64 + 0 = 8 m / s2 .
Przyśpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21):
dv
2 ⋅ 64 t
64 t
=
=
,
dt 2 64 t 2 + 9
64 t 2 + 9
1
64 ⋅
32
2
=
= 6,4 m / s2 .
a s ( t1 ) =
2
25
⎛ 1⎞
64⎜ ⎟ + 9
⎝ 2⎠
as =
W celu wyznaczenia przyśpieszenia normalnego przekształcimy wzór (5.22) do
postaci:
a n = a 2 − a 2s .
Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wyżej wartości liczbowych otrzymamy przyśpieszenie normalne w chwili t 1 :
a n ( t 1 ) = 8 2 − (6,4) = 4,8 m / s 2 .
2
Promień krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):
ρ=
v 2 52
=
= 5,2m .
a n 4,8
100
Przykład 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w prostokątnym układzie współrzędnych:
x = 2 − 3t − 6t 2 , y = 3 −
3
t − 3t 2 ,
2
gdzie x i y są podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyć równanie toru,
promień krzywizny, prędkość, przyśpieszenie styczne, normalne i całkowite. Tor
oraz składowe prędkości i przyśpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawić
na rysunku.
Rozwiązanie. Jeżeli drugie równanie ruchu pomnożymy stronami przez − 2
i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:
y=
1
x+2.
2
y
ax
x0
v0x
M
v0
B
a
v0y
ay
O
A
y0
x
Rys. 5.6. Prędkość i przyśpieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie
Jest to równanie prostej, która odcina na osi odciętych odcinek OA = 4 m i na osi
rzędnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Położenie punktu M na prostej (torze) dla
chwili początkowej t = 0 wyznaczymy z równań ruchu: x 0 = 2, y 0 = 3 . Ponieważ
promień krzywizny jest równy nieskończoności ( ρ = ∞ ), przyśpieszenie normalne
jest równe zeru:
an =
v2
= 0.
ρ
Współrzędne prostokątne prędkości i przyśpieszeń oraz ich moduły obliczymy tak
jak w poprzednim przykładzie.
Prędkość:
101
vx =
dy
dx
3
= −3(1 + 4 t ), v y =
= − (1 + 4 t ) ,
dt
dt
2
v = v 2x + v 2y = 3 (1 + 4 t ) +
2
(a)
1
(1 + 4t )2 = 3 5 (1 + 4t ) .
4
2
(b)
Przyśpieszenie:
ax =
dv y
dv x
= −12, a y =
= −6 ,
dt
dt
a = a 2x + a 2y = 12 2 + 62 = 6 5 m / s2 .
Przyśpieszenie styczne:
as = a =
dv 3
5 ⋅ 4 = 6 5 m / s2 .
=
dt 2
Z otrzymanych wyników widzimy, że punkt M porusza się po prostej ze stałym
przyśpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.
Prędkości w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i
(b) t = 0.
3
3
v 0 x = −3, v 0 y = − , v 0 =
5 m / s.
2
2
Przykład 5.3. Trzpień AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimośrodu w kształcie
tarczy kołowej o promieniu r tak, że cały czas pozostaje z nim w kontakcie. Oś
obrotu mimośrodu przechodzi przez punkt O oddalony od środka tarczy C o OC =
e. Mimośród obraca się wokół osi obrotu ze stałą prędkością kątową ω = π s−1 .
Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie trzpienia dla czasu t1 = 0,5 s, jeżeli oś
trzpienia pokrywa się z osią x tak jak na rysunku.
Rozwiązanie. Dla obliczenia prędkości i przyśpieszenia trzpienia musimy ułożyć jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b możemy
napisać:
x A = OA = OD + DA = e cosϕ + r 2 − CD 2 =
= e cosϕ + r 2 − ( e sinϕ ) = e cosϕ + r 2 − e 2 sin 2 ϕ
2
.
102
a)
b)
y
y
r
C
C
r
e
O
ϕ
O
D
x
B
A
A
B
x
Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB
Po podstawieniu do tej zależności, zgodnie z treścią zadania, ϕ = ωt = πt otrzymamy równanie ruchu punktu A:
x A = e cosπt + r 2 − e 2 sin 2 πt .
(a)
Prędkość punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania względem
czasu:
vA =
dx A
− e 2 πsinπt cosπt
=
= −eπsinπt +
dt
2 r 2 − e 2 sin 2 πt
= −eπsinπt −
e2π
sin (2πt )
.
4 r 2 − e 2sin 2 πt
(b)
Po zróżniczkowaniu powyższego wzoru względem czasu i uporządkowaniu wyrazów otrzymamy przyśpieszenie:
(
)
π
⎡
⎤
2πcos(2πt ) r 2 − e 2 sin 2 πt + e 2 sin 2 (2πt )⎥
⎢
e
4
a A = −eπ ⎢cosπt +
⎥.
2
2
2
2
2
4
r − e sin πt r − e sin 2 πt
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
(
)
(c)
Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t1 = 0,5 s otrzymamy wartość prędkości
i przyśpieszenia dla tego czasu:
v A (t 1 ) = −eπ,a A (t 1 ) =
e2π2
2 r 2 − e2
.