Kinematyka

5.1. Uwagi ogólne
Jak już powiedziano w punkcie 1.1, kinematyka zajmuje się ruchem ciał
materialnych bez uwzględniania przyczyn (sił) ten ruch wywołujących, czyli
kinematyka zajmuje się wyłącznie matematycznym opisem ruchu bez
uwzględniania praw fizycznych.
Ruchem mechanicznym ciała nazywamy zmianę jego położenia w czasie
względem innego ciała uważanego za nieruchome. Wynika z tego, że rozpatrując
ruch jakiegoś ciała, należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała
będziemy go opisywać. Ciało, względem którego rozpatrujemy ruch, będziemy
uważać za nieruchome i nazwiemy je ciałem odniesienia. Dla analitycznego opisu
ruchu z ciałem tym możemy sztywno związać prostokątny układ współrzędnych,
który nazwiemy układem odniesienia. Wtedy położenie dowolnego punktu
w przestrzeni określimy za pomocą trzech współrzędnych prostokątnych.
Z powyższego wynika, że ruch jest pojęciem względnym i że jego charakter
będzie zależał od układu odniesienia, względem którego rozpatrujemy ruch ciała.
Najczęściej za nieruchomy układ odniesienia przyjmujemy milcząco układ
związany z Ziemią i względem niego badamy ruch innych ciał.
Jednak do badania np. ruchu kuli ziemskiej względem Słońca takie założenie nie
wystarczy i za układ nieruchomy należy przyjąć układ związany ze Słońcem.
Jak już mówiliśmy, w kinematyce będziemy się zajmować badaniem zmian
położenia ciał z upływem czasu. W mechanice klasycznej Newtona przyjmujemy,
że czas jest niezależny od wyboru układu odniesienia i że jest taki sam dla
wszystkich punktów przestrzeni i nie zależy od ich ruchu. Tak zdefiniowany czas
nazywamy czasem absolutnym, który w przybliżeniu odzwierciedla rzeczywisty
czas fizyczny. Jednak, jak wynika z mechaniki relatywistycznej, błąd związany z
takim przybliżeniem nie ma praktycznego znaczenia dla prędkości małych w
porównaniu z prędkością światła.
Ruch ciała będziemy uważali za znany, jeżeli potrafimy w każdej chwili czasu
określić położenie i ruch dowolnego punktu tego ciała. W pierwszej kolejności
zajmiemy się kinematyką punktu, a następnie bryły.
5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu
Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do
określenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem
nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i
końcu w rozważanym punkcie M.
z
L
hodograf wektora
wodzącego
M
r
wektor
wodzący
O
y
x
Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego
Wektorową funkcję czasu
r = r( t )
(5.1)
nazywamy wektorem wodzącym. Wektor ten możemy zapisać analitycznie
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych
w postaci funkcji wektorowej:
r = r( t ) = x( t ) i + y( t ) j+ z( t ) k
(5.2)
lub równoważnych trzech równań skalarnych
x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ) .
(5.3)
Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy
równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi
równaniami ruchu.
Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu
swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy
nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano
w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez
końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.
W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją
wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t1 położenie punktu M1 wyznacza
wektor wodzący r1 = r(t1), a w chwili t2 = t1 + ∆t punkt zajmuje położenie M2
wyznaczone przez wektor wodzący r2 = r(t2), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po
upływie czasu ∆t = t2 – t1 wektor wodzący uzyskał przyrost ∆r = r2 – r1. Iloraz
∆r/∆t jest wektorem współliniowym z wektorem ∆r, czyli jest skierowany wzdłuż
cięciwy M1M2. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to w granicy
otrzymamy pochodną wektora r względem czasu:
∆r dr
=
= v,
∆t →0 ∆t
dt
lim
nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że prędkością punktu nazywamy
pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:
v=
dr
.
dt
(5.4)
z
M1
L
v=
∆r
r1
dr
dt
M2
r2
O
y
x
Rys. 5.2. Prędkość punktu
∆r
∆t
Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M2 dąży do punktu M1, to cięciwa M1M2 dąży
do stycznej do toru w punkcie M1. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do
toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r.
Gdy wektor wodzący zapiszemy w postaci (5.2), to zgodnie z podanymi
w p. 2.3.7 zasadami różniczkowania jego pochodna
v=
d r dx dy dz
=
i+
j+ k .
dt dt
dt
dt
(5.5)
Po zapisaniu prędkości v w układzie współrzędnych x, y, z
v = v x i + v y j+ v z k
(5.6)
i podstawieniu do równania (5.5) oraz po porównaniu wyrazów przy tych samych
wersorach otrzymamy wzory na współrzędne prędkości:
vx =
dx
dy
dz
, vy =
, vz =
.
dt
dt
dt
(5.7)
Widzimy, że współrzędne prędkości są równe pochodnym względem czasu
odpowiednich współrzędnych wektora wodzącego.
Wartość prędkości określa wzór:
v = v 2x + v 2y + v 2z .
(5.8)
W czasie ruchu punktu M jego prędkość v w ogólnym przypadku ruchu zmienia
zarówno swoją wartość, jak i kierunek. Jeżeli dla dwóch położeń punktu M,
odpowiadających chwilom t1 i t2 = t1 + ∆t, wektory prędkości oznaczymy
odpowiednio przez v1 i v2 i przesuniemy je tak, aby ich początki znalazły się
w jednym punkcie O1 (rys. 5.3), to widzimy, że prędkość w czasie ∆t = t2 – t1
uzyskała przyrost ∆v = v2 – v1. Końce tych wektorów leżą na linii, którą nazywamy
hodografem prędkości.
a=
dv
dt
hodograf prędkości
∆v
v1
∆v
∆t
v2
O1
Rys. 5.3. Przyśpieszenie punktu
Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor ∆v/∆t
o kierunku przyrostu prędkości ∆v. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to
w granicy otrzymamy pochodną prędkości v względem czasu, nazywaną
przyśpieszeniem a punktu M:
∆v dv
lim
=
=a.
∆t →0 ∆t
dt
Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą
pochodną wektora wodzącego względem czasu.
a=
d v d2 r
= 2 .
dt
dt
(5.9)
Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości v.
W prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie a możemy
zapisać w następujący sposób:
a = a x i + a y j+ a z k .
(5.10)
W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem
czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6):
a=
d v dv x dv y
dv
=
i+
j+ z k .
dt
dt
dt
dt
(5.11)
Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane
zależnościami:
ax =
dv y d 2 y
dv x d 2 x
dv
d2z
= 2 , ay =
= 2 , az = z = 2 .
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(5.12)
Z powyższych wzorów wynika, że współrzędne przyśpieszenia punktu w
nieruchomym prostokątnym układzie współrzędnych są pierwszymi pochodnymi
względem czasu współrzędnych prędkości lub drugimi pochodnymi względem
czasu odpowiednich współrzędnych tego punktu.
Znając współrzędne przyśpieszenia, jego moduł obliczymy ze wzoru:
a = a 2x + a 2y + a 2z .
(5.13)
5.2.2. Prędkość i przyśpieszenie punktu w naturalnym układzie
współrzędnych
W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy współrzędne prędkości v i
przyśpieszenia a w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Na podstawie
takiego postępowania nie można ustalić, jak porusza się punkt względem toru L i
jak zmieniają się moduły i kierunki wektorów prędkości v i przyśpieszenia a w
funkcji przebytej drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie
przyjmijmy w punkcie M lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach s,
n, b o kierunkach odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do
krzywej w rozważanym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego układu
współrzędnych będą określone odpowiednio wersorami es, en i eb. Tak
zdefiniowane wersory es, en i eb wyznaczają w każdym punkcie linii (toru) L
prawoskrętny układ współrzędnych, który nazywamy układem naturalnym.
b
z
n
eb
en
r(l)
M
L
es
s
O
y
x
Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym układzie współrzędnych
Wykażemy, że jeżeli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l
mierzonej wzdłuż toru:
r = r(l) ,
(5.14)
to wersory te są opisane wzorami:
es =
dr
d2 r
, e n = ρ 2 , e b = es × e n ,
dl
dl
gdzie ρ jest promieniem krzywizny w punkcie M.
(5.15)
W tym celu przedstawmy fragment linii L w płaszczyźnie ściśle stycznej sn
widzianej od strony strzałki osi binormalnej b (rys. 5.5). Na torze (linii) obierzmy
punkt M i drugi M′ tak, aby długość ∆l drogi mierzona po łuku MM′ była
niewielka. Jeżeli weźmiemy granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego ∆r i
przyrostu drogi ∆l
∆r dr
lim
=
,
∆ → 0 ∆l
dl
to otrzymamy pochodną wektora wodzącego r względem drogi l. Moduł tej
pochodnej jest równy jedności, ponieważ gdy ∆l będzie dążyć do zera, to długość
cięciwy MM′ = ∆r będzie dążyć do długości łuku ∆l:
dr
∆r
=
= 1.
∆l→0 ∆l
dl
lim
Zatem pochodna wyrażona wzorem:
es =
dr
dl
jest równa wersorowi stycznej es do toru w punkcie M.
n
n′
N
O
r(l+∆l)
L
ρ
r(l)
en
∆r
M
e ′s
∆es
es
M
es
s
Rys. 5.5. Ruch punktu w płaszczyźnie ściśle stycznej
Aby udowodnić słuszność wzoru na wersor normalnej en w punkcie M,
wykreślamy styczną s oraz jej wersor es i normalną n, a w punkcie M′ wersor
stycznej e ′s i normalną n′. Punkt przecięcia osi n′ i n oznaczymy przez N.
Widzimy, że wersor es podczas przemieszczania się z punktu M do M′ doznał
przyrostu ∆es. Jeżeli zbudujemy wektor będący ilorazem przyrostu ∆es i długości
łuku ∆l i wyznaczymy granicę tej wielkości przy ∆l dążącym do zera, to
otrzymamy drugą pochodną wektora wodzącego r względem drogi l:
∆ es d es d 2 r
=
= 2 .
(a)
∆l→0 ∆l
dl
dl
Kierunek tego wektora będzie normalny do krzywej w punkcie M, ponieważ jeżeli
punkt M′ będzie się zbliżał do punktu M, to kąt między przyrostem ∆es i wersorem
es będzie dążył do kąta prostego. Można to też wykazać analitycznie. Wiadomo, że
iloczyn wersora pomnożonego skalarnie przez siebie będzie równy jedności:
lim
e s ⋅ e s = 1.
Po zróżniczkowaniu tej zależności względem czasu mamy:
es ⋅
d e dl
d es
= 0 lub e s ⋅ s
= 0,
dt
dl dt
a po podzieleniu przez dl/dt
es ⋅
d es
d2 r
= es ⋅ 2 = 0 .
dl
dl
Z powyższego wynika, że druga pochodna wektora wodzącego względem drogi
jest wektorem prostopadłym do osi stycznej s.
Wyznaczymy obecnie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r
względem drogi l. Z rysunku 5.5 można zauważyć, że dla małych przyrostów ∆r
trójkąt es ∆es e ′s i trójkąt N M M′ są podobne. Możemy zatem napisać:
∆ es
e
= s .
MN
∆r
Wiadomo także, że gdy ∆l będzie dążyć do zera, to długość przyrostu ∆r będzie
dążyć do długości łuku ∆l, czyli ⏐∆r⏐ = ∆l. Powyższą równość zapiszemy zatem
w postaci:
∆ es
e
= s ,
MN
∆l
a po obliczeniu granicy tej równości mamy:
d es
e
∆ es
1
1
d2 r
=
=
= s =
= ,
2
∆l→0 ∆l
ρ
dl
MN
MN
dl
lim
ponieważ z geometrii analitycznej wiadomo, że granica:
lim M ′N = ρ
M ′→ M
jest promieniem krzywizny, czyli promieniem koła ściśle stycznego w
rozpatrywanym punkcie.
Ostatecznie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r względem drogi l
jest równy odwrotności promienia krzywizny, nazywanej krzywizną
w rozważanym punkcie:
d2 r 1
= .
ρ
dl 2
(5.16)
Wersor osi normalnej en otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku
normalnej przez jego moduł (5.16):
d2 r
d2 r
2
2
d2 r
e n = dl2 = dl = ρ 2 .
1
dl
d r
2
ρ
dl
Dla wyprowadzenia wzorów na prędkość v i przyśpieszenie a punktu M
przedstawimy wektor wodzący r(t) w postaci funkcji złożonej: r(t) = r[l(t)].
Z definicji prędkości i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji złożonej
mamy:
d r d r dl
v=
=
.
dt
dl dt
W powyższym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem es osi
stycznej s, a druga modułem prędkości równym pochodnej drogi względem czasu:
v=
dl
.
dt
(5.17)
Zatem prędkość przedstawia wzór:
v = v es .
(5.18)
Otrzymaliśmy zatem potwierdzenie, że prędkość punktu jest styczna do toru.
Przyśpieszenie obliczymy, licząc pochodną prędkości względem czasu.
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu, otrzymamy:
a=
de
d e dl dv
dv
dv
d2 r
es + v s =
es + v s
=
es + v2 2 .
dt
dt
dt
dl dt dt
dt
Po podstawieniu do tego wzoru zależności na wersor normalnej:
d 2 r en
=
ρ
dl 2
otrzymujemy wzór na przyśpieszenie punktu M w naturalnym układzie
współrzędnych:
a=
dv
v2
es +
en
ρ
dt
(5.19)
a = as + an .
(5.20)
lub
Z otrzymanego wzoru wynika, że przyśpieszenie w rozważanym układzie
współrzędnych s, n, b ma dwie składowe: styczną as i normalną an (skierowaną do
środka krzywizny) i leży w płaszczyźnie ściśle stycznej sn. Moduły tych
składowych są następujące:
as =
dv
v2
, an =
,
dt
ρ
(5.21)
a wartość przyśpieszenia całkowitego obliczymy ze wzoru:
a = a 2s + a 2n .
(22)
Ze wzorów (5.21) widać, że przyśpieszenie styczne as jest miarą zmiany
prędkości i jest równe zeru, gdy moduł prędkości będzie stały, z kolei
przyśpieszenie normalne an jest miarą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym
przyśpieszenie normalne jest równe zeru.
W ruchu punktu po krzywej płaskiej znane są kierunki składowych
przyśpieszenia albo ich wyznaczenie nie nastręcza większych trudności, ponieważ
wektory obu składowych przyśpieszenia będą leżały w płaszczyźnie ruchu.
W przypadku ruchu
przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych
składowych przyśpieszenia mogą się pojawić trudności natury matematycznej.
Przykład 5.1. Punkt porusza się w płaszczyźnie xy zgodnie z równaniami
ruchu:
x = −4 t 2 + 1, y = −3t .
Wyznaczyć równanie toru, prędkość, przyśpieszenie styczne normalne i całkowite
oraz promień krzywizny dla czasu t1 = 0,5 s. Przyjąć wymiary w metrach, a czas
w sekundach.
Rozwiązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu należy z równań ruchu
wyeliminować parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu
i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy:
y2 = −
9
( x − 1) .
4
Równanie to przedstawia parabolę.
Współrzędne prędkości punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduł ze
wzoru (5.8).
dx
dy
vx =
= −8t , v y =
= −3 ,
dt
dt
2
⎛1⎞
v = v 2x + v 2y = 64t 2 + 9 ,a v(t 1 ) = 64⎜ ⎟ + 9 = 25 = 5m / s .
⎝ 2⎠
Współrzędne przyśpieszenia i jego wartość wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13):
ax =
dv y
dv x
= −8, a y =
= 0,
dt
dt
a = a 2x + a 2y = 64 + 0 = 8 m / s2 .
Przyśpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21):
dv
2 ⋅ 64 t
64 t
=
=
,
2
dt 2 64 t + 9
64 t 2 + 9
1
64 ⋅
32
2
a s ( t1 ) =
=
= 6,4 m / s2 .
2
25
⎛ 1⎞
64⎜ ⎟ + 9
⎝ 2⎠
as =
W celu wyznaczenia przyśpieszenia normalnego przekształcimy wzór (5.22) do
postaci:
a n = a 2 − a 2s .
Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wyżej wartości liczbowych
otrzymamy przyśpieszenie normalne w chwili t 1 :
a n ( t 1 ) = 8 2 − (6,4) = 4,8 m / s 2 .
2
Promień krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):
Przykład 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w
prostokątnym układzie współrzędnych:
x = 2 − 3t − 6t 2 , y = 3 −
3
t − 3t 2 ,
2
gdzie x i y są podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyć równanie toru,
promień krzywizny, prędkość, przyśpieszenie styczne, normalne i całkowite. Tor
oraz składowe prędkości i przyśpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawić
na rysunku.
Rozwiązanie. Jeżeli drugie równanie ruchu pomnożymy stronami przez − 2
i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:
y=
1
x+2.
2
y
ax
x0
v0x
M
v0
a
B
v0y
ay
A
O
y0
x
Rys. 5.6. Prędkość i przyśpieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych na
płaszczyźnie
Jest to równanie prostej, która odcina na osi odciętych odcinek OA = 4 m i na osi
rzędnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Położenie punktu M na prostej (torze) dla
chwili początkowej t = 0 wyznaczymy z równań ruchu: x 0 = 2, y 0 = 3 . Ponieważ
promień krzywizny jest równy nieskończoności ( ρ = ∞ ), przyśpieszenie normalne
jest równe zeru:
an =
v2
= 0.
ρ
Współrzędne prostokątne prędkości i przyśpieszeń oraz ich moduły obliczymy tak
jak w poprzednim przykładzie.
Prędkość:
vx =
dx
3
dy
= −3(1 + 4 t ), v y =
= − (1 + 4 t ) ,
dt
2
dt
v = v 2x + v 2y = 3 (1 + 4 t ) +
2
1
(1 + 4t )2 = 3 5 (1 + 4t ) .
2
4
(a)
(b)
Przyśpieszenie:
ax =
dv y
dv x
= −12, a y =
= −6 ,
dt
dt
a = a 2x + a 2y = 12 2 + 62 = 6 5 m / s2 .
Przyśpieszenie styczne:
as = a =
dv 3
=
5 ⋅ 4 = 6 5 m / s2 .
dt 2
Z otrzymanych wyników widzimy, że punkt M porusza się po prostej ze stałym
przyśpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.
Prędkości w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i
(b) t = 0.
3
3
v 0 x = −3, v 0 y = − , v 0 =
5 m / s.
2
2
Przykład 5.3. Trzpień AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimośrodu w kształcie
tarczy kołowej o promieniu r tak, że cały czas pozostaje z nim w kontakcie. Oś
obrotu mimośrodu przechodzi przez punkt O oddalony od środka tarczy C o OC =
e. Mimośród obraca się wokół osi obrotu ze stałą prędkością kątową ω = π s−1 .
Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie trzpienia dla czasu t1 = 0,5 s, jeżeli oś
trzpienia pokrywa się z osią x tak jak na rysunku.
Rozwiązanie. Dla obliczenia prędkości i przyśpieszenia trzpienia musimy
ułożyć jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b
możemy napisać:
x A = OA = OD + DA = e cosϕ + r 2 − CD 2 =
= e cosϕ + r 2 − ( e sinϕ ) = e cosϕ + r 2 − e 2 sin 2 ϕ
2
a)
.
b)
y
y
r
C
C
r
e
O
ϕ
O
D
x
B
A
A
B
x
Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB
Po podstawieniu do tej zależności, zgodnie z treścią zadania, ϕ = ωt = πt
otrzymamy równanie ruchu punktu A:
x A = e cosπt + r 2 − e 2 sin 2 πt .
(a)
Prędkość punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania względem
czasu:
vA =
dx A
− e 2 πsinπt cosπt
=
= −eπsinπt +
dt
2 r 2 − e 2 sin 2 πt
= −eπsinπt −
e2π
sin (2πt )
.
4 r 2 − e 2sin 2 πt
(b)
Po zróżniczkowaniu powyższego wzoru względem czasu i uporządkowaniu
wyrazów otrzymamy przyśpieszenie:
(
)
π
⎡
⎤
2πcos(2πt ) r 2 − e 2 sin 2 πt + e 2 sin 2 (2πt )⎥
⎢
e
4
a A = −eπ ⎢cosπt +
⎥.
2
2
2
2
2
4
r − e sin πt r − e sin 2 πt
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
(
)
(c)
Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t1 = 0,5 s otrzymamy wartość prędkości
i przyśpieszenia dla tego czasu:
v A (t 1 ) = −eπ,a A (t 1 ) =
e2π2
2 r 2 − e2
.
5.3.1. Zmiana układów odniesienia
Z każdą bryłą sztywną możemy związać układ współrzędnych opisujący ruch
tej bryły w przestrzeni. Dlatego w dalszym ciągu w kinematyce bryły będziemy
się zajmować głównie
z′
wzajemnym ruchem układów
z
współrzędnych. Znając ruch
układu współrzędnych
y′
j′
x ′, y ′ , z ′ (rys. 5.8) sztywno
k′
związanego z bryłą (układu
O′
r′
ruchomego) względem
nieruchomego układu
i′
rO′
M
odniesienia x, y, z, będziemy
k
r′
mogli obliczyć prędkość
O
i przyśpieszenie wszystkich
y
j
punktów bryły. W dalszej koi
lejności
wyprowadzimy
x′
zależności geometryczne
x
pomiędzy tymi układami
współrzędnych.
Rys. 5.8. Wyznaczenie zależności pomiędzy układami
współrzędnych
W tym celu ustalmy zależności pomiędzy współrzędnymi w obu układach tego
samego punktu M.
W pierwszej kolejności rozpatrzmy zależności pomiędzy wersorami obu
układów współrzędnych. Wersory i ′ , j′, k ′ ruchomego układu współrzędnych
x′, y′, z′
zapiszemy
w
układzie
nieruchomym
x,
y,
z:
i ′ = (i ′⋅ i ) i + (i ′⋅ j) j+ (i ′⋅ k ) k .
(a)
Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów są rzutami wersora i ′
odpowiednio na osie x, y, z, są one również kosinusami kierunkowymi między osią
x ′ a osiami x, y, z, które oznaczymy p x ′x , p x ′y , p x ′z :
i ′⋅ i = cos(x ′, x ) = p x′x , ⎫
⎪
i ′⋅ j = cos(x ′, y ) = p x′y , ⎬
i ′⋅ k = cos(x ′, z ) = p x ′z .⎪⎭
(b)
Podstawiwszy powyższe oznaczenia do wzoru (a) oraz postąpiwszy podobnie
z wersorami j′ i k ′ otrzymamy wzory:
i ′ = p x ′x i + p x′y j+ p x′z k , ⎫
⎪
j′ = p y′x i + p y′y j+ p y′z k , ⎬
k ′ = p z′x i + p z′y j+ p z′z k .⎪⎭
(5.23)
Widzimy, że do zapisania wersorów ruchomego układu współrzędnych w
układzie nieruchomym należy znać dziewięć kosinusów kierunkowych
zestawionych w poniższej tabeli.
x′
y′
z′
i′
j′
k′
x
i
px′x
py′x
pz′x
y
j
px′y
py′y
pz′y
z
k
px′z
py′z
pz′z
Między tymi dziewięcioma kosinusami kierunkowymi istnieje sześć zależności.
Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).
⎫
⎪
⎪
⎪⎪
⎬
i ′⋅ j′ = p x′x p y′x + p x ′y p y′y + p x ′z p y′z = 0, ⎪
j′⋅ k ′ = p y′x p z′x + p y′y p z′y + p y′z p z′z = 0,⎪
⎪
k ′⋅ i ′ = p z′x p x ′x + p z′y p x ′y + p z′z p x′z = 0.⎭⎪
i ′⋅ i ′ = p 2x′x + p 2x′y + p 2x′z = 1,
j′⋅ j′ = p 2y′x + p 2y′y + p 2y′z = 1,
k ′⋅ k ′ = p 2z′x + p 2z′y + p z′z = 1,
(5.24)
Dla wyznaczenia położenia układu współrzędnych x ′, y ′ , z ′ względem układu x,
y, z wystarczy podać 6 wielkości:
a) trzy współrzędne wektora r O ′ ( x O ′ , y O ′ , z O ′ ) ,
b) trzy niezależne kosinusy kierunkowe.
Obecnie wyznaczymy współrzędne wektora wodzącego r punktu M w układzie
x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, że wektor wodzący r tego punktu możemy zapisać
jako sumę dwóch wektorów:
r = rO′ + r ′ .
(5.25)
Wektor rO′ jest wektorem łączącym początki obu układów współrzędnych.
Zapiszemy go analitycznie w układzie współrzędnych x, y, z:
rO′ = x O′ i + y O′ j+ z O′ k .
(5.26)
Wektor r ′ jest wektorem wodzącym punktu M w układzie x ′, y ′ , z ′ . Można go
wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:
r ′ = x ′ i ′+ y ′ j′+ z′ k ′ .
(5.27)
Po podstawieniu wzorów (5.26) i (5.27) do równania (5.25) otrzymamy:
r = rO′ + r ′ = x O′ i + y O′ j+ z O′ k + x ′ i ′+ y ′ j ′+ z ′ k ′ .
(5.28)
Po zrzutowaniu powyższego wektora na osie układu współrzędnych x, y, z oraz
wykorzystaniu zależności (b) otrzymamy jego współrzędne w tym układzie
współrzędnych:
x = r⋅ i = x O′ + x ′p x′x + y ′p y′x + z ′p z′x ,⎫
⎪
y = r⋅ j = y O′ + x ′p x′y + y ′p y′y + z ′p z′y , ⎬
z = r⋅ k = z O′ + x ′p x ′z + y ′p y′z + z ′p z′z . ⎪⎭
(5.29)
W podobny sposób można wyrazić współrzędne wektora r w układzie
x ′, y ′, z ′ .
Analogicznie można zapisać dowolny wektor c dany w jednym układzie
współrzędnych w drugim.
5.3.2. Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu
ogólnym
Dla rozpatrzenia kinematyki bryły przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie,
dwa układy współrzędnych prostokątnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i
początku w punkcie O, a drugi o osiach x ′, y ′ , z ′ i początku w dowolnym punkcie
(biegunie) O ′ , poruszający się razem z bryłą (rys. 5.8).
Wektor wodzący dowolnego punktu M bryły w nieruchomym układzie
współrzędnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sumą dwóch wektorów
rO′ i r ′ ,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1:
r = rO′ + r ′ .
Wiadomo z kinematyki punktu, że prędkość punktu jest pochodną wektora
wodzącego r względem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukaną prędkość punktu M
wyraża zależność:
d rO′ d r ′
+
.
dt
dt
względem czasu jest prędkością punktu O ′ :
v=
Pochodna wektora rO′
v O′ =
d rO′ dx O′
dy
dz
=
i + O ′ j+ O ′ k .
dt
dt
dt
dt
(5.30)
(a)
Po zróżniczkowaniu względem czasu wzoru (5.27) otrzymamy:
d r ′ dx ′
dy ′
dz ′
d i′
d j′
d k′
=
i ′+
j′+
k ′+ x ′
+ y′
+ z′
.
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(b)
Ponieważ wektor r ′ jest wektorem łączącym dwa punkty bryły sztywnej, więc
jego moduł jest stały, r ′ = const , a co za tym idzie, jego współrzędne x ′, y ′ , z ′ są
wielkościami stałymi niezależnymi od czasu. Zatem ich pochodne względem czasu
są równe zeru.
dx ′ dy ′ dz ′
=
=
= 0.
dt
dt
dt
Wzór (b) przyjmuje więc postać:
d k′
d j′
d i′
d r′
+ z′
.
+ y′
= x′
dt
dt
dt
dt
(c)
Występujące w tym wzorze pochodne względem czasu wersorów i ′, j ′, k ′ układu
ruchomego są miarą zmiany ich kierunków w czasie, ponieważ ich moduły są stałe.
Można wykazać [9], że pochodne te można wyrazić za pomocą wzorów:
d i′
d j′
d k′
= ω× k ′ .
= ω× i ′,
= ω× j′,
dt
dt
dt
(5.31)
Wektor ω jest prędkością kątową charakteryzującą zmiany kierunków osi x ′, y ′,z ′
w czasie. W ruchomym układzie współrzędnych prędkość kątową ω można
wyrazić za pomocą współrzędnych:
ω = ω x′ i ′+ ω y′ j′+ ω z′ k ′ .
(d)
Po podstawieniu zależności (5.31) do wzoru (c) otrzymamy:
d r′
= x ′(ω× i ′) + y ′(ω× j′) + z ′(ω× k ′) = ω× (x ′ i ′+ y ′ j′+ z ′ k ′) .
dt
Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie z zależnością (5.27), jest wektorem
r ′ . Zatem
d r′
= ω× r ′ .
dt
(e)
Po podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzór
na prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu ogólnym.
v = v O′ + ω× r ′ .
(5.32)
Z otrzymanego wzoru wynika, że prędkość dowolnego punktu M bryły jest
równa sumie prędkości v O ′ dowolnie obranego bieguna O ′ , przyjętego za
początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego ω× r ′
prędkości kątowej ω i promienia wodzącego r ′ punktu M w ruchomym układzie
współrzędnych.
Na podstawie wzoru (5.32) możemy ponadto sformułować następujące wnioski:
a) Prędkość punktu O ′ zależy od wyboru tego punktu.
b) Prędkość kątowa ω nie zależy od wyboru punktu O ′ , lecz jedynie od zmiany
kierunków osi x ′, y ′ , z ′ w czasie.
c) Mimo zmiany punktu O ′ prędkość punktu M nie ulegnie zmianie, ponieważ
zmieni się również odpowiednio wyrażenie ω× r ′ .
Po zróżniczkowaniu względem czasu wzoru na prędkość (5.32) otrzymamy
przyśpieszenie punktu M:
a=
d v d v O′ d ω
d r′
=
+
× r ′+ ω×
.
dt
dt
dt
dt
(f)
Po oznaczeniu przyśpieszenia początku O ′ ruchomego układu współrzędnych
przez
a O′ =
d v O′
dt
(g)
oraz przyśpieszenia kątowego przez
ε=
dω
dt
(h)
i wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie końcową postać:
a = a O′ + ε× r ′+ ω× (ω× r ′) .
(5.33)
Wzór ten można przedstawić w nieco innej postaci po rozpisaniu występującego
w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zależnością (2.34):
a = a O′ + ε× r ′+ ω(ω⋅ r ′) − ω 2 r ′ .
(5.34)
Ze wzorów na prędkość (5.32) i przyśpieszenie (5.33) wynika, że aby
wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu M bryły, należy znać
cztery wielkości wektorowe charakteryzujące ruch ogólny bryły:
a) prędkość v O ′ i przyśpieszenie a O′ jednego z punktów bryły O ′ (bieguna),
b) prędkość kątową ω i przyśpieszenie kątowe bryły ε.
Wyprowadzone w tym punkcie wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego
punktu bryły w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w następnych
punktach tego rozdziału szczególnych przypadków ruchu ogólnego bryły, czyli
postępowego, obrotowego, śrubowego, płaskiego i kulistego.
5.3.3. Ruch postępowy
Ruch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeżeli dowolna prosta sztywno
związana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położenia
początkowego.
Z powyższej definicji wynika, że każda z osi układu współrzędnych x ′, y ′ , z ′
przedstawionego na rys. 5.8 będzie miała w ruchu postępowym ten sam kierunek.
Podobnie wektor r ′ = O ′M nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem
będzie on wektorem stałym niezależnym od czasu: r ′ = const, więc jego pochodna
we wzorze (5.30) będzie równa zeru. Stąd prędkość dowolnego punktu bryły
wyraża zależność:
dr
v = O′ = v O′ .
(5.35)
dt
Po zróżniczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przyśpieszenie.
a=
d 2 rO′
dt
2
=
d v O′
= a O′ .
dt
(5.36)
Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu postępowego wynikają
następujące wnioski:
a) Wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same
prędkości v O ′ i przyśpieszenia a O′ w tej samej chwili czasu.
b) Tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.
c) Dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego
punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O´, rO′ = rO′ ( t ) .
5.3.4. Ruch obrotowy
Ruch bryły sztywnej nazywamy obrotowym, jeżeli istnieje jedna prosta związana
z bryłą, której punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku.
z=z′
ε
r=r′
ω
M
y′
ϕ
O=O′
y
ϕ
x
Załóżmy, że osią obrotu jest oś z ′ .
Dla ułatwienia rozważań przyjmiemy
układ współrzędnych związany z
bryłą tak, aby oś z ′ pokrywała się z
osią z układu nieruchomego oraz aby
jego początek O ′ znajdował się w
punkcie O, jak na rys. 5.9.
Ponieważ wersor k′= const, co
wynika z pokrywania się osi z ′ z osią
obrotu, jego pochodna względem
czasu jest równa zeru. Zatem z
wyrażenia:
x′
Rys. 5.9. Ruch obrotowy bryły sztywnej
wokół stałej osi obrotu
d k′
= ω× k ′ = 0
dt
wynika, że wektor ω leży na osi
obrotu. Z osią obrotu pokrywa się również wektor przyśpieszenia kątowego ε. W
tej sytuacji wektory te można zapisać w następujący sposób:
ω = ω z′ k ′ = ω k ′ oraz ε = ε z′ k ′ = ε k .
(5.37)
Jeżeli kąt między osiami stałą x i ruchomą x ′ oznaczymy przez ϕ, to zależność
ϕ = ϕ(t) jest równaniem ruchu obrotowego bryły wokół stałej osi. Można wykazać
[9], że pochodna względem czasu kąta obrotu ϕ jest modułem prędkości kątowej, a
druga pochodna modułem przyśpieszenia kątowego:
ω=
dϕ
dω d 2 ϕ
.
, ε=
=
dt
dt dt 2
(5.38)
Z rysunku 5.9 widać, że promień wodzący r punktu M jest równy r ′ ,
ponieważ
rO′ = OO ′ = 0 . Tym samym v O′ = 0 i a O′ = 0 . Uwzględniwszy
powyższe zależności we wzorach na prędkość (5.32) i przyśpieszenie (5.33) punktu
w ruchu ogólnym, otrzymamy wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego
punktu bryły w ruchu obrotowym wokół stałej osi obrotu:
v = ω× r ′ ,
(5.39)
a = ε× r ′+ ω× (ω× r ′) .
(5.40)
Przyśpieszenie można zapisać w postaci:
a = ε× r ′+ ω(ω⋅ r ′) − ω 2 r ′ .
(5.41)
Dla ilustracji wektory prędkości przedstawimy na rys. 5.10.
v = ω x r′
ω(ω.r′)
l
as= ε x r′
M
a
.
r=r′
⋅
an= ω x (ω x r′)
-ω2r′
ε
ω
O
Rys. 5.10. Składowe prędkości i przyśpieszenia w ruchu obrotowym bryły
Na podstawie wzorów (5.39), (5.40) i (5.41) oraz rys. 5.10 możemy
sformułować następujące wnioski:
a) Prędkość jest prostopadła do płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu l
i punkt M, czyli jest styczna do okręgu zakreślonego przez punkt M.
b) Przyśpieszenie punktu M ma dwie składowe: styczną do toru punktu M,
równą a s = ε× r ′ , nazywaną przyśpieszeniem stycznym, i normalną, równą
a n = ω× (ω× r ′) , prostopadłą do ω i v = ω× r ′ , czyli skierowaną do środka krzy-
wizny toru punktu M, nazywaną przyśpieszeniem normalnym lub dośrodkowym.
c) Przyśpieszenie normalne można rozłożyć na składową równoległą do osi
obrotu ω(ω⋅ r ′) i składową skierowaną do obranego punktu O równą − ω 2 r ′ .
Gdy punkt odniesienia przyjmiemy w środku okręgu zakreślonego przez punkt
M, wtedy składowa przyśpieszenia normalnego równoległa do osi obrotu będzie
równa zeru, ω(ω⋅ r ′) = 0 , a przyśpieszenie normalne a n = −ω 2 r ′ . W tym
przypadku moduły prędkości, przyśpieszenia stycznego i normalnego wyrażają
proste wzory:
v = ωr ′,a s = εr ′,a n = ω 2 r ′ .
(5.42)
Przykład 5.4. Ciężar A zamocowany do linki nawiniętej na mały obwód
kołowrotu (rys. 5.11) porusza się w dół ruchem postępowym prostoliniowym
według równania: x = 15 t 2 , przy czym t
jest wyrażony w sekundach, a x w
ω
a nM
centymetrach. Obliczyć prędkość i
a sM
przyśpieszenie punktu M leżącego na
vM
O r
obwodzie dużego koła kołowrotu.
Promienie kołowrotu wynoszą: R = 60
ε
aM
cm, r = 20 cm.
R
Rozwiązanie.
Prędkość
liniowa
ciężaru A
dx
vA =
= 2 ⋅ 15 t = 30 t cm / s .
dt
A
x
vA
Prędkość kątową kołowrotu obliczymy
na podstawie pierwszego wzoru (5.42):
aA
Rys. 5.11. Wyznaczenie prędkości i
przyśpieszenia punktu M w ruchu
b
ω=
v A 30t 3 −1
=
= ts .
r
r
2
Prędkość liniowa punktu M
v M = ωR =
30t
R
R = 30 t = 90t cm / s .
r
r
Przyśpieszenie liniowe ciężaru A jest pochodną jego prędkości względem czasu:
aA =
dv A
= 30 cm / s2 .
dt
Przyśpieszenie kątowe kołowrotu obliczymy na podstawie drugiego wzoru (5.42):
ε=
a A 30 3 − 2
=
= s .
r
r
2
Przyśpieszenie liniowe punktu M jest sumą wektorową składowej stycznej i normalnej:
a M = a sM + a nM .
Wartości tych składowych obliczymy z drugiego i trzeciego wzoru (5.42):
2
a
s
M
3
⎛ 3⎞
= εR = R = 90cm / s 2 , a nM = ω 2 R = ⎜ ⎟ t 2 R = 135t 2 cm / s 2 .
2
⎝ 2⎠
Moduł przyśpieszenia punktu M
a=
(a ) + (a )
s
M
2
n
M
= 902 + 1352 t 4 = 45 4 + 9 t 4 cm / s2 .
5.3.5. Ruch śrubowy
W punkcie 5.3.2 wykazano, że prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu
ogólnym jest sumą dwóch składowych:
a) prędkości v O ′ , która jest prędkością punktu O′ (bieguna),
b) prędkości ω× r ′ wynikającej z ruchu obrotowego bryły z prędkością kątową
ω wokół tego bieguna.
Po zmianie bieguna O ′ na inny nie zmieni się prędkość kątowa ω , zmianie
ulegnie natomiast prędkość bieguna v O ′ oraz kąt α zawarty pomiędzy wektorami
ω i v O′ (rys. 5.12). W związku z tym nasuwa się pytanie, czy istnieje taki biegun
redukcji C, w którym kąt D będzie równy zeru, czyli wektor vC będzie równoległy
do wektora prędkości kątowej ω.
Wykażemy, że dla wszystkich
vC
punktów C leżących na prostej l
wektory te będą do siebie
równoległe.
Znajdowanie takich punktów
C, dla których w każdej chwili
czasu wektor vC jest równoległy
do wektora ω , nazywamy
sprowadzaniem ruchu ogólnego
bryły do ruchu śrubowego.
ω
vO′ α
ω
O′
rO
rC′
rC
O
C
l
Rys. 5.12. Ruch śrubowy bryły
Punkt C leży na prostej l
równoległej do wektora ω , nazywanej chwilową osią ruchu śrubowego.
Dla wyznaczenia prędkości ruchu śrubowego vC i położenia chwilowej osi l
ruchu śrubowego, rC′ = O ′C , założymy, że znane są wektory rO′ , v O′ i ω . Prędkość
punktu C zgodnie z równaniem (5.32) możemy wyrazić wzorem:
v C = v O′ + ω× rC′ .
(5.43)
Po pomnożeniu powyższego wzoru skalarnie przez ω otrzymamy:
v C ⋅ ω = v O′ ⋅ ω + (ω× rC′ ) ⋅ ω .
(a)
Jeżeli iloczyn mieszany występujący w tym wzorze przedstawimy zgodnie ze
wzorem (2.31), to zauważymy, że jest on równy zeru.
(ω× rC′ ) ⋅ ω = rC′ ⋅ (ω× ω ) = 0 .
W tej sytuacji równanie (a) upraszcza się do postaci
v C ⋅ ω = v O′ ⋅ ω .
Ponieważ wektory po lewej stronie tego równania są równoległe, na podstawie
definicji iloczynu skalarnego można napisać:
v C ω = v O′ ⋅ ω .
(b)
Stąd moduł prędkości vC punktu C
v C = v O′ ⋅ ω /ω.
(5.44)
Prędkość vC punktu C otrzymamy po pomnożeniu powyższego wzoru przez
wektor jednostkowy ω/ω o kierunku osi l
v C = (v O′ ⋅ ω )ω /ω2 .
(5.45)
W celu wyznaczenia wektora rC′ porównamy stronami wzory (5.43) i (5.45) na
prędkość vC. Otrzymamy wtedy równanie wektorowe:
v O′ + ω× rC′ = (v O′ ⋅ ω )ω /ω2.
Po przeniesieniu prędkości v O ′ na prawą stronę i sprowadzeniu do wspólnego
mianownika mamy:
ω× rC′ = [ (v O′ ⋅ ω )ω − ω2 v O′ ] /ω2
lub
ω× rC′ = [ ω(v O′ ⋅ ω )− v O′ (ω⋅ ω ) ] /ω2.
W porównaniu ze wzorem (2.34) łatwo zauważyć, że wyrażenie występujące
w nawiasie kwadratowym po prawej stronie tego równania jest rozwinięciem
podwójnego iloczynu wektorowego. Zatem równanie to możemy zapisać w taki
sposób:
ω× rC′ = [ ω× (ω× v O′ ) ] /ω2 .
(5.46)
W powyższym równaniu wektorowym jest tylko jedna niewiadoma rC′ . Łatwo
zauważyć, że rozwiązanie ogólne tego równania ma postać:
rC′ = (ω× v O′ ) /ω2 + λ ω ,
(5.47)
gdzie λ jest dowolną wielkością dodatnią lub ujemną.
Wzór ten opisuje położenie wszystkich punktów C leżących na prostej
równoległej do prędkości kątowej ω . Jest to więc szukane równanie chwilowej osi
l ruchu śrubowego w układzie ruchomym (związanym z bryłą). W układzie
współrzędnych x ′, y ′ , z ′ równanie to możemy zapisać w postaci trzech
równoważnych parametrycznych równań skalarnych:
x ′C =
ω y′ v O′z′ − ω z′ v O′y′
ω
ω z′ v O′x′ − ω x′ v O′z′
y ′C =
ω2
ω x′ v O′y′ − ω y′ v O′x′
z ′C =
ω2
2
⎫
+ λω x′ ,⎪
⎪
⎪
+ λω y′ ,⎬
⎪
+ λω z′ . ⎪
⎪⎭
(5.48)
Na rysunku 5.12 widzimy, że położenie każdego punktu C chwilowej osi ruchu
śrubowego w układzie nieruchomym wyznacza promień wodzący r, który można
przedstawić w postaci sumy wektorów rO′ i rC′ . Po uwzględnieniu wzoru (5.47)
wektorowe równanie chwilowej osi ruchu śrubowego w układzie nieruchomym
będzie miało postać:
rC = rO′ + rC′ = rO′ + (ω× v O′ ) /ω2 + λ ω .
(5.49)
Temu równaniu w układzie nieruchomym będą odpowiadały trzy parametryczne
równania. W tym celu wektory występujące w równaniu (5.49) należy wyrazić
w układzie współrzędnych x, y, z:
x C = x O′ +
y C = y O′ +
z C = z O′ +
ω y v O′z − ω z v O′y
ω2
ω z v O′x − ω x v O′z
ω2
ω x v O′y − ω y v O′x
ω2
⎫
+ λω x ,⎪
⎪
⎪
+ λω y ,⎬
⎪
⎪
+ λω z . ⎪
⎭
(5.50)
Wykazaliśmy tym samym, że ruch ogólny bryły można w dowolnej chwili
sprowadzić do ruchu śrubowego zdefiniowanego na wstępie tego punktu. Ruch ten
jest sumą dwóch ruchów prostych:
a) obrotowego z prędkością kątową ω wokół chwilowej osi ruchu śrubowego,
b) postępowego z prędkością vC wzdłuż tej osi.
ω
vc
v
vc
C
ω x CM
l
M
Rys5.13. Złożenie ruchu ogólnego bryły z ruchu obrotowego wokół chwilowej osi ruchu
śrubowego i ruchu postępowego wzdłuż tej osi
Jeżeli zamiast dowolnego bieguna O ′ obierzemy biegun redukcji C leżący na
chwilowej osi l ruchu śrubowego (rys. 5.13), to prędkość v dowolnego punktu M
bryły będzie sumą dwóch wzajemnie prostopadłych składowych: po-stępowej vC i
obrotowej ω× CM :
v = v C + ω× CM .
Analizując ruch śrubowy bryły, możemy rozróżnić dwa przypadki:
a) vC(t) ≠ 0; wtedy najprostszym ruchem bryły jest chwilowy ruch śrubowy; nie
będziemy się tu nim zajmować;
b) vC(t) = 0; wtedy − jak to widać na rys. 5.12 i 5.13 − ruch bryły sprowadza się
do chwilowego obrotu wokół osi l, którą będziemy nazywać chwilową osią obrotu.
5.3.6. Chwilowe osie obrotu
Jak już powiedziano wyżej, jeżeli ruch śrubowy bryły sprowadza się do
przypadku, w którym w każdej chwili prędkość vC(t) = 0, to jej ruch chwilowy jest
obrotem wokół chwilowej osi obrotu. Jeżeli założymy, że ruch ogólny bryły
opisuje prędkość v O ′ bieguna O ′ oraz prędkość kątowa ω, to ze wzoru (5.44)
wynika zależność:
v O′ ⋅ ω /ω = 0 .
Zatem iloczyn skalarny v O′ i ω w każdej chwili ruchu musi być równy zeru:
v O′ (t ) ⋅ ω(t ) = 0 ,
(5.51)
stąd wniosek, że aby ruch bryły sprowadzał się do chwilowych obrotów, wektory
te muszą być w każdej chwili prostopadłe.
Chwilowa oś obrotu zmienia
swoje położenie w czasie. Wzorami
określającymi położenie chwilowej
osi obrotu względem ruchomego
układu współrzędnych (bryły) są
wzory (5.47) lub (5.48), a względem
układu nieruchomego wzory (5.49)
lub (5.50). Jeżeli chwilowa oś nie
przemieszcza się w czasie, to ruch
bryły jest omówionym już w p. 5.3.4
ruchem obrotowym wokół stałej osi
obrotu.
Rys. 5.14. Chwilowe osie obrotu. Aksoidy
Jeżeli dla dowolnej chwili t
wykreślimy dwie pokrywające się chwilowe osie obrotu – l w układzie stałym i l ′
w układzie ruchomym (w bryle) − to po czasie ∆t osie te przestaną się pokrywać, a
chwilowymi osiami obrotu będą inne dwie proste l1 i l1′ (rys. 5.14).
Przemieszczające się w czasie ruchu bryły chwilowe osie obrotu zakreślą dwie
powierzchnie prostokreślne:
a) aksoidę stałą σ, która jest śladem przemieszczania się chwilowej osi obrotu
w układzie nieruchomym,
b) aksoidę ruchomą σ′, która jest śladem przemieszczania się chwilowej osi
obrotu l′ w układzie ruchomym.
Równania aksoid otrzymamy z równań chwilowej osi obrotu. W celu
otrzymania aksoidy stałej σ należy do równań (5.49) lub (5.50) wstawić funkcje
czasu:
rO′ = rO′ (t ),
v O′ = v O′ (t ) i
ω = ω(t )
(a)
wyrażone we współrzędnych układu nieruchomego x, y, z. Podczas zmiany czasu t
chwilowa oś zakreśli powierzchnię, którą nazwaliśmy aksoidą stałą σ.
Podobnie otrzymamy równanie aksoidy ruchomej σ′. Należy w tym celu do
równań (5.47) albo (5.48) podstawić dwie z trzech funkcji (a), np. v O′ i ω,
wyrażone w ruchomym układzie współrzędnych x ′, y ′ , z ′ .
W czasie ruchu bryły obie aksoidy są do siebie styczne wzdłuż chwilowej osi
obrotu l. Ponieważ wszystkie punkty leżące na tej osi mają prędkość równą zeru,
v C = 0 , ruch bryły można rozpatrywać jako ruch spowodowany toczeniem się bez
poślizgu aksoidy ruchomej σ′ po aksoidzie nieruchomej σ.
W zależności od rodzaju ruchu bryły chwilowe osie obrotu mogą zakreślić
różne powierzchnie (aksoidy):
a) stożkowe (utworzone z prostych przecinających się w jednym punkcie),
wtedy ruch chwilowy jest ruchem kulistym,
b) walcowe (utworzone z prostych równoległych), wtedy ruch chwilowy jest
ruchem płaskim,
c) inne.
5.3.7. Ruch kulisty
Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów
z nią związanych jest nieruchomy.
z
a
z′
1r
v
M
y′
r
O = O′
y
x′
x
Rys. 5.15. Ruch kulisty bryły sztywnej
Punkt ten nazywamy środkiem ruchu kulistego. Wobec tego prędkość tego
punktu będzie stale równa zeru, czyli musi on w każdej chwili czasu leżeć
jednocześnie na aksoidzie ruchomej i nieruchomej. Zatem obie aksoidy w ruchu
kulistym są toczącymi się po sobie stożkami o wspólnym wierzchołku.
Dla uproszczenia rozważań początki O i O ′ układów współrzędnych
ruchomego x ′, y ′ , z ′ i nieruchomego x, y, z przyjmiemy w nieruchomym punkcie
bryły (rys. 5.15). Przyjęcie takich układów sprawia, że wektor rO′ będzie równy
zeru, rO′ = OO ′ = 0 . W tej sytuacji równe zeru będą również prędkość v O ′ i
przyśpieszenie a O′ punktu O ′ :
v O′ = 0 i a O′ = 0 ,
(a)
a promień wodzący dowolnego punktu M bryły możemy zapisać tak:
r = r′ .
(b)
Po uwzględnieniu zależności (a) i (b) we wzorach (5.32) i (5.33) dla ruchu
ogólnego bryły otrzymamy wzory na prędkość v i przyśpieszenie a dowolnego
punktu M bryły w ruchu kulistym:
v = ω× r ,
(5.52)
a = ε× r + ω× (ω× r ) .
(5.53)
Dla bryły sztywnej odległość między punktami O i M jest zawsze stała, czyli
moduł wektora wodzącego jest również stały:
r = r ′ = r = const .
(c)
Wobec tego wektor wodzący r możemy zapisać jako iloczyn modułu i wektora
jednostkowego 1r :
(d)
r = r 1r .
Po uwzględnieniu tej zależności we wzorach (5.46) i (5.47) na prędkość i
przyśpieszenie otrzymamy:
v = ω× r = r (ω× 1 r ) ,
(5.54)
a = ε× r + ω× (ω× r ) = r[(ε× 1 r ) + ω× (ω× 1 r )] .
(5.55)
Z powyższych wzorów wnika, że w ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie
są opisane dwoma wielkościami kinematycznymi ω i ε .
Na podstawie wzoru (c) oraz wzorów (5.54) i (5.55) możemy sformułować
wnioski charakteryzujące ruch kulisty:
a) W ruchu kulistym tory wszystkich punktów bryły leżą na powierzchniach kul
o środku w punkcie O.
b) Wektory prędkości i przyśpieszeń punktów leżących na prostej
przechodzącej przez punkt O są do siebie równoległe, a ich moduły są
proporcjonalne do odległości r od środka ruchu kulistego.
W tym punkcie podano jedynie wektorowe wzory na prędkość i przyśpieszenie
dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym oraz ogólne własności tego ruchu. Przy
bardziej szczegółowym rozpatrywaniu ruchu kulistego bryły do określenia
położenia ruchomego układu współrzędnych x ′, y ′ , z ′ względem nieruchomego
układu współrzędnych x, y, z wprowadza się tzw. trzy kąty Eulera (obrotu
własnego, precesji i nutacji), których znaczenie można znaleźć w odpowiedniej
literaturze, np. [7, 16]. Za pomocą tych kątów można wyrazić wszystkie kosinusy
kierunkowe między osiami obu układów współrzędnych oraz wszystkie wielkości
występujące we wzorach (5.52) i (5.53).
5.3.8. Ruch płaski bryły
Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły
Ruchem płaskim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do
pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu.
Za płaszczyznę ruchu można przyjąć dowolną płaszczyznę spośród wszystkich płaszczyzn do niej
równoległych.
W punkcie 5.3.6 powiedziano, że jeżeli aksoidy są powierzchniami walcowymi, to ruch ogólny
bryły sprowadza się do ruchu płaskiego. I rzeczywiście, każda płaszczyzna prostopadła do tworzących
obu aksoid może być płaszczyzną ruchu. Ponieważ aksoidy są powierzchniami zakreślonymi przez
chwilową oś obrotu w czasie przemieszczania się jej w układzie nieruchomym i ruchomym, jest
oczywiste, że chwilowa oś obrotu w ruchu płaskim będzie w każdej chwili prostopadła do płaszczyzny
ruchu.
Z definicji ruchu płaskiego wynika, że wektory prędkości i przyśpieszenia wszystkich punktów
bryły są również równoległe do płaszczyzny ruchu. Z kolei wektor prędkości kątowej ω będzie w
każdej chwili równoległy do tworzących aksoid (równoległy do chwilowej osi obrotu), czyli
prostopadły do płaszczyzny ruchu.
W dalszych rozważaniach dotyczących ruchu
y
y′
płaskiego za płaszczyznę ruchu przyjmiemy
x′
płaszczyznę wyznaczoną przez nieruchomy układ
współrzędnych x, y o początku w punkcie O. Ruchomy
ϕ
układ
współrzędnych
o
osiach
x ′, y ′
O′
i początku w dowolnym biegunie O ′ będzie się
r′
rO′
poruszał w płaszczyźnie ruchu (rys. 5.16). W tej
M
sytuacji osie z i z ′ będą równoległe do wektora
r
prędkości kątowej ω.
Z rysunku 5.16 wynika, że do jednoznacznego
O
określenia położenia bryły względem układu
x
nieruchomego x, y należy podać wektor wodzący
Rys. 5.16. Ruch płaski bryły sztywnej
rO′ = rO′ ( t ) bieguna O ′ oraz kąt obrotu ϕ = ϕ(t)
układu ruchomego x ′, y ′ względem nieruchomego. Wektor wodzący rO′ możemy zapisać w
następujący sposób:
rO′ = rO′ ( t ) = x O′ i + y O′ j .
(5.56)
Zatem kinematyczne równania ruchu płaskiego możemy zapisać w postaci trzech funkcji
algebraicznych: dwóch współrzędnych wektora rO′ oraz kąta ϕ:
x O ′ = x O ′ ( t ), y O ′ = y O ′ ( t ) ,
ϕ = ϕ(t) .
(5.57)
(5.58)
Do obliczenia prędkości v i przyśpieszenia a dowolnego punktu M bryły wykorzystamy wzory
(5.32) i (5.34):
v = v O′ + ω× r ′ ,
a = a O′ + ε× r ′+ ω(ω⋅ r ′) − ω 2 r ′ .
(5.59)
(5.59a)
Ponieważ w ruchu płaskim wektory ω i r ′ są prostopadłe, zatem ich iloczyn skalarny występujący we
wzorze (5.59a) jest równy zeru (ω⋅ r ′ = 0) , a więc wzór ten uprości się do postaci:
a = a O′ + ε× r ′ − ω 2 r ′ .
(5.60)
We wzorach (5.59) i (5.60) prędkość v O ′ i przyśpieszenie a O ′ początku O ′ układu ruchomego
otrzymamy, obliczając odpowiednio pierwsze i drugie pochodne wektora wodzącego rO′ względem
czasu:
v O′ =
a O′ =
Prędkość kątową ω i przyśpieszenie
w ruchu obrotowym (wzór 5.37):
d rO′ dx O′
dy
=
i + O′ j ,
dt
dt
dt
d rO′
dt 2
kątowe
2
=
ε
dx O2 ′
dt 2
i+
(5.61)
dy O2 ′
j.
dt
można
zapisać
ω = ω z′ k ′ = ω k oraz ε = ε z′ k ′ = ε k .
(5.62)
analogicznie
jak
(5.63)
Moduły tych przyśpieszeń, podobnie jak w ruchu obrotowym (5.63), będą również odpowiednimi
pochodnymi kąta obrotu ϕ względem czasu:
dϕ
ω=
,
dt
dω d 2 ϕ
.
ε=
=
dt dt 2
(5.64)
Ze wzorów (5.63) wynika, że prędkość kątowa ω i przyśpieszenie kątowe ε są wektorami o
znanym kierunku. W tej sytuacji można je uważać za skalary, podobnie jak w statyce moment siły
względem osi i moment płaskiego układu sił.
Ze wzorów (5.59) i (5.60) na prędkość v i przyśpieszenie a można wyciągnąć następujące wnioski:
a) Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim jest sumą prędkości postępowej v O ′
dowolnego bieguna O ′ i prędkości wynikającej z chwilowego obrotu bryły wokół tego bieguna:
ω× r ′ .
b) W ruchu płaskim przyśpieszenie dowolnego punktu bryły jest sumą przyśpieszenia a O ′
dowolnego bieguna O ′ i przyśpieszenia wynikającego z chwilowego obrotu bryły wokół tego
bieguna: ε× r ′ − ω 2 r ′ .
Wyprowadzone wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu M brył w ruchu płaskim
przedstawimy
w
postaci
bardziej
przydatnej
do
rozwiązywania równań z kinematyki ruchu płaskiego. Założymy, że znana jest prędkość vA punktu A i chwilowa
prędkość obrotowa ω, a chcemy obliczyć prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu B bryły (rys.
5.17).
Gdy początek układu ruchomego przyjmiemy w punkcie A, a wektor o początku w punkcie A i
końcu w punkcie B oznaczymy jako AB = rAB, to na podstawie wzoru (5.59) prędkość punktu B bryły
v B = v A + ω× rAB
gdzie
lub v B = v A + v BA ,
v BA = ω× rAB
(5.65)
(a)
i jest prędkością punktu B względem punktu A, której wektor jest prostopadły do wektora rAB,
wynikającą z chwilowego obrotu bryły wokół punktu A z prędkością kątową ω. Zatem jej moduł
obliczymy ze wzoru:
vBA = ω rAB.
(b)
Podobnie na podstawie wzoru (5.60) przyśpieszenie punktu B (rys. 5.18) możemy zapisać w
następujący sposób:
a B = a A + ε× rAB − ω 2 rAB
albo
a B = a A + a BA .
(5.66)
Przyśpieszenie a BA jest przyśpieszeniem punktu B względem punktu A spowodowanym chwilowym
obrotem bryły wokół bieguna A:
a BA = ε× rAB − ω 2 rAB .
(c)
aB
vBA
vB
a
vA
vA
A
aBA
aA
aA
rAB
rAB
w
s
BA
ω
B
Rys. 5.17. Wyznaczanie prędkości
punktu B bryły sztywnej metodą
superpozycji
A
a nBA
B
Rys. 5.18. Wyznaczanie przyśpieszenia
punktu B bryły sztywnej metodą
superpozycji
Z powyższego wzoru wynika, że przyśpieszenie to możemy rozłożyć na dwie składowe:
przyśpieszenie styczne a sBA i przyśpieszenie normalne a nBA .
a BA = a sBA + a nBA ,
(5.67)
gdzie
a sBA = ε× rAB oraz a nBA = ω 2 rAB .
(5.68)
Moduły tych przyśpieszeń są następujące:
a sBA = ε rAB , a nBA = ω 2 rAB .
(5.69)
Wektor przyśpieszenia stycznego a sBA jest skierowany prostopadle do wektora rAB , czyli ma taki
sam kierunek jak wektor prędkości v BA (rys. 5.17), a wektor przyśpieszenia normalnego
(dośrodkowego) a nBA jest skierowany wzdłuż prostej AB w stronę punktu A.
Po podstawieniu zależności (5.67) do wzoru (5.66) przyśpieszenie punktu B możemy zapisać w
postaci:
a B = a A + a sBA + a nBA .
(5.70)
Podczas praktycznego rozwiązywania zadań nie wszystkie wielkości występujące we wzorze
(5.70) będzie można obliczyć bezpośrednio. Bardzo często niewiadomymi będą moduły przyśpieszeń
a B i a sBA . Jeżeli wzór (5.70) potraktujemy jako równanie wektorowe o dwóch niewiadomych, to
wiadomo, że dla wektorów leżących w jednej płaszczyźnie dwie niewiadome można wyznaczyć
z wieloboku
wektorów (przyśpieszeń) albo z dwóch równoważnych wektorowemu równań
algebraicznych.
Chwilowy środek obrotu
Na wstępie tego punktu powiedziano, że w ruchu płaskim bryły chwilowa oś obrotu jest w każdej
chwili prostopadła do płaszczyzny ruchu. Punkt przebicia przez chwilową oś obrotu płaszczyzny
ruchu będziemy nazywać chwilowym środkiem obrotu. Albo inaczej, chwilowy środek obrotu to taki
punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.
Wiemy, że w czasie ruchu płaskiego bryły chwilowa
v
oś obrotu zmienia swoje położenie, a w ślad za nią będzie
M
ω
się przemieszczał chwilowy środek obrotu. W czasie
CM
przemieszczania się chwilowy środek obrotu C
C
ρ′
rC
O
(rys. 5.19) zakreśli dwie krzywe:
a) centroidę ruchomą ρ′ w układzie ruchomym,
b) centroidę stałą ρ w układzie nieruchomym.
ρ
Rys. 5.19. Chwilowy środek obrotu. Centroidy
Po podstawieniu do równań (5.47) i (5.49) chwilowej osi obrotu λ = 0 otrzymamy wektorowe wzory
na położenie chwilowego środka obrotu w układzie ruchomym:
rC′ = (ω× v O′ ) /ω2
i w układzie nieruchomym:
rC = rO′ + rC′ = rO′ + (ω× v O′ ) /ω2.
(5.71)
(5.72)
Odpowiednie równania centroid otrzymamy przez wstawienie do tych wzorów funkcji
rO′ = rO′ (t ), v O′ = v O′ (t ) i ω = ω(t ) .
Mając wyznaczony chwilowy środek obrotu C, można obliczyć prędkość dowolnego punktu M
bryły. Jeżeli biegun redukcji przyjmiemy w chwilowym środku obrotu C, a nie w dowolnym punkcie
O ′ (rys. 5.19), to prędkość dowolnego punktu M bryły możemy wyrazić wzorem:
v = v C + ω× CM .
Ponieważ z założenia prędkość punktu C jest równa zeru ( v C = 0 ), więc prędkość punktu M będzie
opisana wzorem:
v = ω× CM .
(5.73)
Z otrzymanego wzoru wynika, że prękość dowolnego punktu M bryły jest prostopadła do prostej
łączącej punkt M z chwilowym środkiem obrotu C. Ponadto występujące w tym wzorze wektory ω i
CM są prostopadłe, więc moduł prędkości
v = ω CM,
czyli jest proporcjonalny do odległości CM punktu M od chwilowego środka obrotu.
(5.74)
Z powyższych rozważań oraz z otrzymanych wzorów wynikają następujące wnioski:
a) Ruch płaski bryły można sprowadzić do toczenia się bez poślizgu centroidy ruchomej po
nieruchomej.
b) Ruch płaski bryły można w każdej chwili rozpatrywać jako chwilowy ruch obrotowy wokół
chwilowego środka obrotu.
vB
A
B
vA
α
β
C
ω
Rys. 5.20. Wyznaczanie chwilowego środka
obrotu
Ze wzoru (5.73) wynika, że chwilowy środek obrotu C leży na prostej prostopadłej do wektora
prędkości v dowolnego punktu M bryły. Zatem do wyznaczenia chwilowego środka obrotu wystarczy
znajomość kierunków prędkości dwóch punktów bryły. Będzie on leżał w miejscu przecięcia prostych
prostopadłych do kierunków prędkości punktów A i B (rys. 5.20).
Mając już wyznaczony punkt C, wartości prędkości punktów A i B obliczymy ze wzoru (5.74):
vA = ω AC i vB = ω BC.
(d)
Dla znanej wartości vA z pierwszego wzoru obliczymy chwilową prędkość obrotową ω:
v
ω= A ,
AC
a następnie możemy wyznaczyć moduł prędkości vB punktu B. Na podstawie
uwzględnieniu wzorów (d) możemy napisać:
rys. 5.20 po
vA
AC
v
BC
= ω
= ω oraz tgβ = B = ω
= ω.
AC
AC
BC
BC
Wynika stąd wniosek, że z chwilowego środka obrotu wektory prędkości wszystkich punktów bryły
widać pod tym samym kątem α = β.
tgα =
Twierdzenie o rzutach prędkości
Rzuty wektorów prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na prostą przechodzącą przez te punkty
są równe.
vA
α
A
rAB
B
β
rA
rB
vB
O
Rys. 5.21. Rzuty prędkości dwóch punktów bryły
sztywnej na prostą AB
Dowód
Na rysunku 5.21 zaznaczono wektory prędkości vA
i vB dwóch punktów A i B bryły sztywnej, a promienie
łączące nieruchomy punkt O z tymi punktami przez rA
i rB. Wektor rAB łączący punkt A z punktem B w
czasie ruchu bryły może zmieniać swój kierunek,
ale jego długość pozostaje stała: rAB = rAB = const . Zatem iloczyn skalarny
2
rAB ⋅ rAB = rAB
= const .
(e)
Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu otrzymamy:
d rAB
dr
⋅ rAB + rAB ⋅ AB = 0
dt
dt
lub
d rAB
⋅ rAB = 0 ,
dt
(f)
ponieważ pochodna prawej strony równania (e) jest równa zeru. Z rysunku widać, że:
rB = rA + rAB , skąd rAB = rB − rA .
Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu mamy:
d rAB d rB d rA
=
−
.
dt
dt
dt
Ale pochodne promieni wodzących punktów A i B są równe prędkościom tych punktów vA i vB, czyli
d rAB
= vB − vA .
dt
Podstawiwszy powyższą zależność do równania (f) otrzymujemy:
( v B − v A ) ⋅ rAB = 0
lub
v B ⋅ rAB = v A ⋅ rAB ,
a po rozpisaniu iloczynów skalarnych
v B rAB cos β = v A rAB cos α.
Po skróceniu przez rAB mamy:
vBcosβ = vAcosα .
(5.75)
Iloczyny występujące w tej równości są odpowiednio rzutami wektorów prędkości vA i vB na prostą
łączącą punkty A i B. Tym samym udowodniliśmy twierdzenie o rzutach wektorów prędkości dwóch
punktów
bryły
sztywnej
na
prostą
łączącą
te punkty.
Na podstawie tego twierdzenia można w łatwy sposób obliczać prędkość w niektórych prostych
zadaniach z kinematyki ruchu płaskiego.
Przykład 5.5. Końce pręta AB ślizgają się po dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach (rys.
5.22a). Koniec A porusza się z prędkością v A = 10 cm / s i przyśpieszeniem a A = 15 cm / s2 . Obliczyć
prędkość i przyśpieszenie końca B oraz przyśpieszenie kątowe pręta AB w położeniu jak na rys. 5.22a,
jeżeli długość pręta AB = b = 20 cm.
Rozwiązanie. Prędkość punktu B obliczymy, rozpatrując ruch pręta AB jako chwilowy ruch
obrotowy wokół chwilowego środka obrotu. Znamy prędkość końca A pręta i kierunek prędkości
końca B, która jest skierowana wzdłuż prostej OB. Chwilowy środek obrotu C znajduje się na
przecięciu prostopadłych do kierunków wektorów prędkości v A i v B (rys. 5.22b). Oznaczywszy przez
w wartość liczbową prędkości kątowej pręta AB w rozpatrywanym położeniu, na podstawie wzoru
(5.74) mamy:
v A = ω ⋅ CA, v B = ω ⋅ CB .
(a)
Z pierwszego wzoru otrzymujemy:
ω=
a)
aA
vA
.
CA
b)
aA
vA
vA
A
A
ε
ω
C
b
b
y
a nBA
45o
O
B
O
aB
45o
vB
aA
B
a sBA
x
Rys. 5.22. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu B pręta AB
Z rysunku 5.22b znajdujemy
AC = BC = b cos45o = b
1
1
2 = 20 ⋅
2 = 10 2 cm .
2
2
Zatem
ω=
vA
10
1
=
=
2 s −1 .
CA 10 2 2
(b)
Z drugiego wzoru (a) mamy:
1
2 ⋅ 10 2 = 10 cm / s .
(c)
2
Przyśpieszenie punktu B obliczymy ze wzoru (5.66). Zgodnie z tym wzorem przyśpieszenie punktu B
będzie równe sumie geometrycznej przyśpieszenia punktu A oraz przyśpieszenia punktu B względem
A wywołanego przez chwilowy obrót pręta wokół końca A:
(d)
a B = a A + a BA .
vB =
Po rozłożeniu przyśpieszenia punktu B względem punktu A na składową styczną i normalną wzór (d)
możemy zapisać w postaci (5.70):
a B = a A + a sBA + a nBA .
(e)
Przyśpieszenie normalne a nBA punktu B względem A działa wzdłuż pręta i jest skierowane do punktu
A. Zgodnie z drugim wzorem (5.69)
2
a
n
BA
⎛1
⎞
=ω b=⎜
2 ⎟ ⋅ 20 = 10cm / s 2 .
⎝2
⎠
2
Wartość przyśpieszenia stycznego a sBA wyraża pierwszy wzór (5.69):
a sBA = ε b .
(f)
Tego przyśpieszenia nie możemy obliczyć bezpośrednio, ponieważ nie znamy wartości przyśpieszenia
kątowego ε pręta. Znamy jedynie kierunek przyśpieszenia a sBA , które jest prostopadłe do pręta AB.
Poza tym znamy kierunek przyśpieszenia całkowitego a B , który jest zgodny z prostą OB. Wynika z
tego, że w wektorowym równaniu (e) mamy dwie niewiadome  wartości przyśpieszenia a sBA i a B . Po
przyjęciu w punkcie B prostokątnego układu współrzędnych x, y i zrzutowaniu równania (e) na osie
tego układu otrzymamy dwa równania algebraiczne z dwoma niewiadomymi.
n
− a B = − a AB
cos45o − a sBA cos45o ,
n
0 = a A + a BA
sin45o − a sBA sin45o .
Po rozwiązaniu tego układu równań oraz wykorzystaniu wzoru (f) otrzymujemy:
1
2
a +
2
a sBA = A
=
= 5 3 2 + 2 cm / s 2 ,
1
sin45
2
2
1
1
n
2=
2 +5 3 2 +2 ⋅
a B = a AB
cos45o + a sBA cos45o = 10 ⋅
2
2
n
a BA
sin45o
o
(
)
= 5 2 2 + 3 cm / s 2 .
15 + 10 ⋅
(
(
)
(
)
)
(
)
a A + a nBA sin45 o 5 3 2 + 2 1
ε=
=
=
= 3 2 + 2 s −1 .
o
b
20
4
bsin45
a
s
BA
Przykład 5.6. Korba OA mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego na rys. 5.23a
obraca się ze stałą prędkością kątową o wartości ω O wokół punktu O. Na końcu B korbowodu AB
znajduje się suwak, który porusza się po prowadnicy DE znajdującej się w odległości h od punktu O.
Dla położenia przedstawionego na rysunku obliczyć prędkość i przyśpieszenie suwaka B oraz
przyśpieszenie kątowe korbowodu, jeżeli długość korby OA = r, a korbowodu AB = b.
a)
vA
ωo
O
A
r
b
h
vA
ω1
α
α
D
E
vB
B
α
vBA
ωo
b)
O
r
aA A
h
y
b
ε1
ω1
a nBA
B
α
D
aB
aA
E
x
a sBA
Rys. 5.23. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu B mechanizmu korbowo-suwakowego
Rozwiązanie. Wektor prędkości punktu A jest prostopadły do korby OA, a suwaka B jest
skierowany wzdłuż prowadnicy DE (rys. 5.23a). Prędkość punktu B obliczymy ze wzoru (5.65):
v B = v A + v BA ,
gdzie v BA jest prędkością punktu B względem punktu A wynikającą
z chwilowego obrotu
korbowodu AB wokół punktu A z prędkością kątową ω1 . Wektor prędkości v BA jest prostopadły do
korbowodu, jego wartość
v BA = ω1 b ,
(a)
a wartość prędkości punktu A
v A = ωO r .
Z rysunku mamy:
sinα =
b
,cosα =
h
b2 − h 2
,tgα =
b
h
b2 − h 2
.
(b)
Zatem z zależności geometrycznych wynikających z rys. 5.23a otrzymujemy:
v B = v A tgα = v A
v BA
v
= A = vA
cosα
Ze wzoru (a) wyznaczamy prędkość kątową:
h
b2 − h 2
b
b2 − h 2
=
=
rh
b2 − h 2
rb
b2 − h2
ωO ,
(c)
ωO .
ω1 =
v BA
=
b
r
b2 − h 2
ωO .
(d)
Przyśpieszenie punktu B przedstawimy w postaci sumy geometrycznej przyśpieszenia punktu A i
przyśpieszenia punktu B względem A (wzór 5.70):
a B = a A + a sBA + a nBA .
(e)
Przyśpieszenie punktu A jest równe przyśpieszeniu normalnemu, ponieważ przyśpieszenie kątowe
korby OA jest równe zeru. Wartość tego przyśpieszenia
a A = a nA = ω O2 r .
Składowa przyśpieszenia normalnego a nBA punktu B względem A pokrywa się z kierunkiem
korbowodu AB i jest skierowana w stronę punktu A (rys. 5.23b), a jej wartość
a nBA = ω1 b =
r 2b
ωO .
b2 − h 2
(f)
Przyśpieszenie styczne a sBA punktu B względem A jest prostopadłe do korbowodu AB. Wartość tego
przyśpieszenia wyraża wzór:
a sBA = ε 1 b .
(g)
W powyższym wzorze ε 1 jest przyśpieszeniem kątowym korbowodu AB. Przyśpieszenie to nie jest
znane, dlatego nie znamy wartości przyśpieszenia stycznego a sBA . Drugą niewiadomą w równaniu (e)
jest wartość przyśpieszenia całkowitego suwaka a B . W celu wyznaczenia tych niewiadomych
przyjmiemy w punkcie B prostokątny układ współrzędnych x, y i zrzutujemy wektory przyśpieszenia
na osie x i y. Otrzymamy:
− a B = −a A − a nBA cosα − a sBA sinα,
0 = a nBA sinα − a sBA cosα.
Po rozwiązaniu tego układu równań i uwzględnieniu (b) otrzymujemy:
a sBS =
r 2 bh
(b
2
−h
)
3
2 2
ω O2 ,
⎡
rb 2
a B = r ⎢1 +
⎢
b2 − h2
⎢⎣
(
)
⎤
⎥ω 2 .
3 ⎥ O
2 ⎥
⎦
Wartość przyśpieszenia kątowego korbowodu AB
ε1 =
a sBA
=
b
r 2h
(b
2
−h
)
3
2 2
ω O2 .
5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
Przy omawianiu ruchu punktu lub bryły zakładaliśmy, że punkt lub bryła
poruszały się względem układu odniesienia x, y, z uważanego za nieruchomy.
Można rozpatrzyć taki
z′
przypadek, że wspomniany
z
układ odniesienia będzie się
y′
poruszał względem innego
układu, uważanego wtedy za
nieruchomy. Wówczas ruch
O′
r′
punktu lub bryły nazywamy
ruchem złożonym.
M
rO′
Ruch punktu lub bryły
L
r
względem układu
Lw
O
nieruchomego nazywamy
y
ruchem bezwzględnym, a ruch
tego samego punktu lub bryły
x′
x
względem układu ruchomego
ruchem względnym.
Rys. 5.24. Ruch złożony punktu
Ruch ruchomego układu odniesienia względem nieruchomego nazywamy ruchem
unoszenia.
W dalszej części rozpatrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M
porusza się w sposób dowolny, nie związany ani z nieruchomym układem
odniesienia x, y, z, ani z ruchomym x ′, y ′, z ′ (rys. 5.24). Jeżeli ruch tego punktu
będzie obserwowany przez dwóch obserwatorów − jednego związanego z układem
nieruchomym x, y, z, a drugiego związanego z układem ruchomym x ′ , y ′ , z ′ − to
każdy z obserwatorów będzie „widział” ruch punktu M w inny sposób (inny tor,
prędkość, przyśpieszenie).
Tor, jaki zakreśli punkt M w układzie nieruchomym, nazywamy torem
bezwzględnym L, a w układzie ruchomym torem względnym Lw. Każdy z punktów
toru względnego, zatem i punkt znajdujący się w tym samym miejscu co punkt M,
zakreśli pewien tor Lu. Ruch tego punktu względem układu nieruchomego
nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozważanej chwili.
5.4.2. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu
W celu wyprowadzenia wzorów na prędkość i przyśpieszenie punktu M
postąpimy podobnie jak podczas rozpatrywania kinematyki dowolnego punktu
bryły w ruchu ogólnym, ale teraz punkt ten będzie się poruszał względem bryły.
Zatem wektor wodzący r ′ punktu M w układzie ruchomym x ′ , y ′ , z ′ nie będzie
stały, będzie się zmieniał zarówno jego kierunek, jak i moduł:
r ′ = r ′ ≠ const .
(a)
Wektor wodzący punktu M, zgodnie z rys. 5.24, jest sumą dwóch wektorów:
r = rO′ + r ′ .
(5.76)
Podobnie jak w ruchu ogólnym bryły (p. 5.3.2) wektor rO′ jest wektorem
łączącym początki obu układów współrzędnych. Zapiszemy go analitycznie w
nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z:
rO′ = x O′ i + y O′ j+ z O′ k .
(5.77)
Wektor r ′ jest wektorem wodzącym punktu M w układzie x ′ , y ′ , z ′ . Można
go wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:
r ′ = x ′ i ′+ y ′ j′+ z′ k ′ .
(5.78)
Współrzędne tego wektora na podstawie wzoru (a) będą się zmieniać wraz z
ruchem punktu M względem układu ruchomego x ′ , y ′ , z ′ . Można je zatem zapisać
w postaci funkcji czasu, które będą równaniami ruchu względnego punktu M:
x ′ = x ′ ( t ), y ′ = y ′ ( t ), z ′ = z ′ ( t ) .
(5.79)
Prędkość punktu M jest pochodną wektora wodzącego (5.76) względem czasu:
v=
d rO′ d r ′
+
.
dt
dt
(5.80)
Pochodna wektora rO′ jest znaną z p. 5.3.2 prędkością początku O ′ ruchomego
układu współrzędnych:
dr
dx
dy
dz
(b)
v O ′ = O ′ = O ′ i + O ′ j+ O ′ k .
dt
dt
dt
dt
Pochodna wektora r ′ po zróżniczkowaniu wzoru (5.78) ma postać:
d r ′ dx ′
dy ′
dz ′
d i′
d j′
d k′
=
i ′+
j′+
k ′+ x ′
+ y′
+ z′
.
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(c)
Pierwsze trzy wyrazy w powyższym wzorze przedstawiają prędkość względną v w
punktu M:
dx ′
dy ′
dz ′
vw =
i ′+
j′+
k′ .
(5.81)
dt
dt
dt
Po podstawieniu do trzech pozostałych wyrazów wzorów (5.31) na pochodne
wersorów i ′ , j′, k ′ otrzymamy:
d r′
= v w + x ′(ω× i ′) + y ′(ω× j′) + z ′(ω× k ′) =
dt
= v w + ω× (x ′ i ′+ y′ j′+ z ′ k ′).
Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie ze wzorem (5.80), jest wektorem
wodzącym punktu M. Zatem powyższy wzór upraszcza się do postaci:
d r′
= v w + ω× r ′ .
dt
(d)
Po podstawieniu do wzoru (5.80) oznaczenia (b) oraz wzoru (d) otrzymamy
zależność na prędkość punktu M w ruchu złożonym względem nieruchomego
układu odniesienia (prędkość bezwzględną):
v = v O′ + ω× r ′+ v w .
(5.82)
Po porównaniu ze wzorem (5.32) widzimy, że pierwsze dwa wyrazy w tym wzorze
przedstawiają prędkość punktu bryły znajdującego się w tym samym miejscu co
punkt M, zatem jest to prędkość unoszenia:
v u = v O′ + ω× r ′ .
(5.83)
Po uwzględnieniu tego oznaczenia we wzorze (5.82) zauważymy, że prędkość
bezwzględna v w ruchu złożonym punktu jest sumą prędkości unoszenia v u i
prędkości względnej v w :
v = vu + vw .
(5.84)
Przyśpieszenie bezwzględne a otrzymamy, obliczając pochodną względem czasu
prędkości bezwzględnej w postaci (5.82):
a=
d v d v O′ d ω
d r′ d v w
+
=
+
× r ′+ ω×
.
dt
dt
dt
dt
dt
(e)
d v O′
dt
(f)
Pochodna
a O′ =
jest przyśpieszeniem punktu O ′ , a pochodna
dω
=ε
dt
(g)
przyśpieszeniem kątowym bryły.
Występującą we wzorze (e) pochodną wektora r ′ względem czasu
obliczyliśmy już przy wyprowadzaniu wzoru na prędkość punktu M. Jest ona dana
wzorem (d). W celu obliczenia pochodnej prędkości względnej v w względem
czasu zróżniczkujemy wzór (5.81) oraz wykorzystamy zależności (5.31):
d v w d 2 x′
d 2 y′
d 2 z′
dx ′ d i ′ dy ′ d j′ dz ′ d k ′
′
′
+
+
=
= 2 i + 2 j + 2 k ′+
dt
dt dt
dt dt
dt dt
dt
dt
dt
′
′
dx ′
(ω× i ′) + dy (ω× j′) + dz (ω× k ′) =
= aw +
dt
dt
dt
dy ′
dz ′ ⎞
⎛ dx ′
= a w + ω× ⎜
i ′+
j′+
k ′ ⎟ = a w + ω× v w ,
dt
dt ⎠
⎝ dt
gdzie aw jest przyśpieszeniem względnym punktu M:
d 2 x′
d 2 y′
d 2 z′
a w = 2 i ′+ 2 j′+ 2 k ′ .
dt
dt
dt
(h)
(5.85)
Po uwzględnieniu we wzorze (e) oznaczeń (f) i (g) oraz wzoru (h) otrzymamy
przyśpieszenie a punktu M.
a = a O′ + ε× r ′+ ω× (ω× r ′+ v w ) + a w + ω× v w =
= a O′ + ε× r ′+ ω× (ω× r ′) + a w + 2 ω× v w .
(5.86)
Pierwsze trzy wyrazy w tym wzorze znamy z ruchu ogólnego bryły jako
przyśpieszenie dowolnego punktu bryły (wzór 5.33), a więc jest to przyśpieszenie
unoszenia a u :
a u = a O′ + ε× r ′+ ω× (ω× r ′) .
(5.87)
Z kolei podwojony iloczyn wektorowy prędkości kątowej i prędkości względnej
v w jest przyśpieszeniem znanym jako przyśpieszenie Coriolisa:
a C = 2 ω× v w .
(5.88)
Tak więc przyśpieszenie bezwzględne a punktu M w ruchu złożonym jest
równe sumie trzech przyśpieszeń: unoszenia a u , względnego a w i Coriolisa a C :
a = au + aw + aC .
(5.89)
Przyśpieszenie Coriolisa jest dodatkowym przyśpieszeniem wynikającym z
ruchu obrotowego układu unoszenia. Można udowodnić [9], że jest ono wywołane
zmianą wektora prędkości względnej v w wskutek jego obrotu z prędkością kątową
oraz zmianą wektora prędkości unoszenia v u spowodowaną przemieszczaniem
się punktu M z prędkością względną v w .
Z własności iloczynu wektorowego wynika, że przyśpieszenie Coriolisa będzie
równe zeru w trzech przypadkach:
a) gdy ω = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem postępowym,
b) gdy wektory prędkości kątowej ω i prędkości względnej v w punktu M są
równoległe,
c) gdy prędkość względna v w punktu M w pewnej chwili jest równa zeru.
W zagadnieniach technicznych najczęściej przyjmujemy, że układ odniesienia
związany z Ziemią jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przyśpieszenie
Coriolisa działające na obiekty poruszające się względem Ziemi, np. pojazdy, a
wywołane jej obrotem wokół własnej osi. Takie postępowanie jest
usprawiedliwione, ponieważ przyśpieszenie to jest bardzo małe [11]. Jednak
przyśpieszenie Coriolisa towarzyszy wielu zjawiskom występującym w przyrodzie,
wywołanym obrotem kuli ziemskiej. Do zjawisk tych należą przykładowo kierunki
prądów morskich i wiatrów.
Przykład 5.7. Pozioma rurka obraca się wokół pionowej osi z, przechodzącej
przez jej środek (rys. 5.25a), zgodnie z równaniem ruchu: ϕ = 10 t − 1t 2 , gdzie
czas t jest wyrażony w sekundach, a kąt ϕ w radianach. Wewnątrz rurki porusza się
punkt M zgodnie równaniem: OM = s = 15sin πt / 3 [cm] . Obliczyć prędkość i
przyśpieszenie bezwzględne punktu M dla czasu t 1 = 1 s .
a)
b)
y
z
vu
ω
vM
O
s
O
M
s
vw x
M
y
c)
ϕ
y
ac
ε
O
a nu
aw
s
ω
M
x
a su
Rys. 5.25. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu M w ruchu złożonym
Rozwiązanie. Punkt M porusza się ruchem złożonym z ruchu unoszenia
wywołanego obrotem rurki i ruchu względnego względem rurki. Prędkość
bezwzględną punktu M obliczymy ze wzoru (5.84):
vM = vu + vw .
(a)
Wartość prędkości unoszenia punktu M wynikająca z ruchu obrotowego rurki
v u = ωs = (10 − 2t )15sin
π
π
t = (150 − 30t )sin t ,
3
3
gdzie ω jest wartością prędkości kątowej rurki:
ω=
[ ]
dϕ
= 10 − 2t s −1 .
dt
Wartość prędkości względnej punktu M
vw =
ds
π
π
π
= 15 ⋅ cos t = 5πcos t .
dt
3
3
3
Wektory prędkości unoszenia i prędkości względnej zaznaczono na rys. 5.25b
przedstawiającym rurkę w rzucie z góry. Dla czasu t 1 = 1 s otrzymujemy:
v u = (150 − 30)sin
v w = 5πcos
π
= 60 3 = 103,9 cm / s,
3
π
= 2,5π = 7,85 cm / s.
3
Ponieważ wektory tych prędkości są prostopadłe, wartość prędkości bezwzględnej
punktu M
v M = v 2u + v 2w = 103,9 2 + 7,85 2 = 104,20 cm / s .
Przyśpieszenie bezwzględne punktu M obliczymy ze wzoru (5.89):
a = a u + a w + a C = a su + a nu + a w + a c .
(b)
Wartości przyśpieszeń w ruchu unoszenia są następujące:
π
π ⎫
t = −30sin t ,⎪
3
3
⎪⎪
π
2
n
2
a u = ω s = 15(10 − 2 t ) sin t ,
⎬
3
⎪
dω
⎪
ε=
= −2s − 2 .
⎪⎭
dt
a su = εs = −2 ⋅ 15cos
(c)
Wartość przyśpieszenia względnego punktu M obliczymy ze wzoru:
aw =
dv w
5
π
= − π 2 sin t .
dt
3
3
(d)
Z kolei przyśpieszenie Coriolisa wyraża wzór (5.88):
a C = 2 ω× v w ,
a jego wartość
a c = 2ωv w sin
π
π
π
= 10(10 − 2 t )πcos t = (100 − 20t )πcos t .
2
3
3
(e)
Wektory składowych przyśpieszeń występujące we wzorze (b) przedstawiono na
rys. 2.25c. Wartości tych przyśpieszeń w chwili t 1 otrzymamy po podstawieniu do
wzorów (c), (d) i (e) t = t 1 = 1 s :
π
= −15 3 = −25,98 cm / s 2 ,
3
π
a nu = 8 2 ⋅ 15sin = 480 3 = 831,38 cm / s 2 ,
3
a su = 30sin
5
5 3 2
π
a w = − π 2 sin = −
π = −14,25 cm / s 2 ,
3
3
6
π
a c = 80πcos = 40π = 125,66 cm / s 2 .
3
Na podstawie rys. 5.25c wartość przyśpieszenia bezwzględnego punktu M
obliczymy ze wzoru:
aM =
(a
w
+ a un
) + (a
2
c
− a su
)
2
= 845,632 + 99,68 2 = 851,48 cm / s 2 .