Badanie zaleŜności oporu indukcyjnego i pojemnościowego od

Badanie zaleŜności oporu indukcyjnego i pojemnościowego od

Ćwiczenie E-21
Badanie zaleŜności oporu indukcyjnego
i pojemnościowego od częstotliwości
I.
Cel ćwiczenia: wyznaczenie zaleŜności oporu indukcyjnego i pojemnościowego od
częstotliwości, wyznaczenie wartości indukcyjności L cewki i pojemności C kondensatora.
II. Przyrządy:
generator PO-21 lub PO-27, multimetr cyfrowy prądu zmiennego, opornik dekadowy, płytka z zamontowaną cewką o indukcyjności L
i kondensatorem o pojemności C, przełącznik sześciobiegunowy, przewody.
III. Literatura:
H. Hofmokl, A. Zawadzki. Laboratorium fizyczne
D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki t.3, PWN 2003.
IV. Wprowadzenie.
Wprowadzeniem teoretycznym do ćwiczenia E-21 jest rozdział 5.19 „Laboratorium fizyczne” H. Hofmokl, A. Zawadzki. lub Podstawy fizyki t.3 , D. Holliday i inni (rozdz. Prąd
zmienny, Drgania wymuszone, Trzy proste obwody, Obwód szeregowy RLC, str. 330 - 344).
V.
Zasada pomiaru.
UR
UR
R
R
UL
~ ε
UL
~ ε
L
a)
L
b)
Rys. 1 Schemat obwodu do badania zaleŜności oporu indukcyjnego w funkcji częstotliwości.
RozwaŜmy stosunek amplitudy (lub wartości skutecznej) spadku potencjału na indukcyjności L do amplitudy (wartości skutecznej) spadku potencjału na oporności R w szeregowym obwodzie RL z przemienną siłą elektromotoryczną E (rys.1a):
U o L U sk L I o ⋅ ωL ωL
=
=
=
(1)
U o R U sk R
Io ⋅ R
R
gdzie ω jest częstością kątową (kołową) siły elektromotorycznej SEM, a Io - amplitudą natęŜenia prądu płynącego w obwodzie.
1
I Pracownia Fizyczna
Ćwiczenie E-21
Jak wynika ze wzoru (1) wartość stosunku UoL/UoR nie zaleŜy od wartości natęŜenia
prądu, a tym samym i od wartości modułu impedancji obwodu i wartości SEM, w przeciwieństwie do wartości amplitudy UoL:
Eo
U oL = I o ⋅ ωL =
⋅ ωL
(2)
2
R + ω 2L2
gdzie Eo jest amplitudą zmian SEM.
Rzeczywisty obwód RL róŜni się tym od obwodu idealnego (rys.1a), Ŝe uzwojenie o
indukcyjności L posiada równieŜ oporność rzeczywistą RL tym większą, im większa jest
liczba uzwojeń oraz im cieńszego przewodu uŜyto do wykonania tego uzwojenia. A zatem dla
rzeczywistego obwodu RL (rys.1b) otrzymamy:
2 2
2
R L2 + ω 2L2
U oL U skL I o R L + ω L
(3)
=
=
=
U oR U skR
I oR
R
RozwaŜmy dwa skrajne przypadki:
1. ω = 0, a więc przypadek zasilania obwodu prądem stałym. Wówczas zaleŜność (3) przyjmuje postać:
U oL U skL R L
=
=
(4)
U oR U skR
R
2. ω2L2 >> R L2 (dla odpowiednio duŜej częstotliwości). Wówczas:
U oL U skL ωL 2πL
f
=
≈
=
(5)
U oR U skR
R
R
i wartość stosunku UoL/UoR staje się proporcjonalna do częstotliwości f zmian SEM.
Dla obwodu szeregowego RC (rys. 2) podobny
UR
stosunek amplitudy (lub wartości skutecznej) spadku
potencjału na pojemności C do amplitudy (wartości
skutecznej ) spadku potencjału na oporności R wynosi:
R
1
UC
⋅I
~ E
U oC U skC ωC o
1
1
C
=
=
=
=
(6)
U oR U skR
R ⋅ Io
ωCR 2πfCR
Wartość stosunku UoC/UoR jest odwrotnie proporcjonalna
do częstotliwości f zmian SEM.
Oznaczmy przez kL wartość stosunku UskL/UskR a przez
kC wartość stosunku UskC/UskR .Wówczas z zaleŜności (5) i (6) otrzymamy:
Rys.2 Układ szeregowy RC
1
= kC⋅R
( 7b )
ωC
gdzie XL nosi nazwę oporu indukcyjnego, a XC - oporu pojemnościowego.
Zmiany oporu indukcyjnego i pojemnościowego od częstotliwości pokrywają się z zaleŜnością od częstotliwości f stosunków napięć kL i kC (w przypadku cewki tak się staje powyŜej pewnej częstotliwości f - patrz przypadek 2).
XL = ωL ≈ kL⋅R
(7a)
XC =
VI. Pomiary.
1. Połączyć przyrządy wg schematu przedstawionego na rys.3a wybierając zakres napięcia
wyjściowego generatora 7,75V/6Ω (generator PO-21).
Dla częstotliwości 50 Hz dobrać tak oporność R, oraz napięcie wyjściowe generatora, aby
spadki potencjału na oporniku dekadowym i indukcyjności były w przybliŜeniu równe i
2
I Pracownia Fizyczna
Ćwiczenie E-21
wynosiły około 1V. Wyznaczyć wartość stosunku UskL/UskR w przedziale częstotliwości
25Hz ÷700Hz.
R
~
PO-21
R
~
L
PO-21
C
~V
~V
a)
b)
Rys.3 Schemat układu do jednoczesnego pomiaru spadku potencjału UskL na indukcyjności L
i UskR ; gdy przełącznik znajduje się w pozycji woltomierz mierzy spadek potencjału
na oporności R, w pozycji woltomierz mierzy spadek potencjału na indukcyjności L
(rys 3a) lub pojemności C (rys 3b).
2. Włączyć w miejsce indukcyjności L pojemność C (rys. 3b). Dobrać tak R i napięcie wyjściowe generatora, by spadki potencjałów na oporności i pojemności dla f = 50Hz wynosiły
ok. 1V. Wyznaczyć wartość stosunku UskC/UskR w przedziale częstotliwości 25Hz ÷
700Hz.
3. Połączyć przyrządy wg schematu przedstawionego na rys. 4 i wyznaczyć zaleŜność spadku
potencjału na oporności R od częstotliwości w przedziale 200Hz ÷ 700Hz. Znaleźć częstotliwość, dla której spadek potencjału osiąga maksimum.
L
PO-21
~
C
R
~V
Rys.4 Schemat obwodu do badania rezonansu napięcia ( punkt VI. 3 ).
VII. Opracowanie wyników.
Pomiary napięcia są wykonywane multimetrem cyfrowym (typ MX505, MX280 lub
podobnymi). Producenci tych mierników ograniczają zakres pomiarowy napięcia i prądu
przemiennego do ok. 500 Hz. Z tego powodu nie są zalecane pomiary znacznie przekraczające
500 Hz, a to właśnie powyŜej tej częstotliwości współczynnik kL dla cewki staje się proporcjonalny do f i opór indukcyjny XL wyraŜa relacja (7a). Aby tę trudność ominąć, naleŜy rozpatrzyć dla cewki nie zaleŜność kL = F(f) ale k 2L = F ( f 2 )
3
I Pracownia Fizyczna
Ćwiczenie E-21
1a ) Wykreślić zaleŜność kwadratu stosunku (UskL/UskR)2 = k 2L od kwadratu częstotliwości f
k 2L = F ( f 2 ) w przedziale częstotliwości 25 ÷ 700 Hz
W przyjętym układzie współrzędnych jest to zaleŜność liniowa:
2
2
 R L   2 πL  2
2
2
2
kL = 
 +
 f (po przekształceniu równania (3)). Kładąc y = k L , x = f
 R   R 
2
2
R 
 2 πL 
mamy y = ax + b, gdzie a = 
 , b= L .
 R 
 R 
b) Obliczyć wartość indukcyjności L cewki: L =
a
R oraz niepewność jej wyznaczenia
2π
 1 ∆a ∆R 
∆L = ±
+
 , gdzie ∆R jest niepewnością nastawionej wartości oporu dekadoR 
2 a
wego, a ∆a - niepewnością wyznaczenia współczynnika nachylenia a.
c) Obliczyć wartość oporności rzeczywistej RL uzwojenia cewki: R L = R b (patrz punkt
 1 ∆b ∆R 
1a) i niepewność jej wyznaczenia ∆RL: ∆R L = ± R L 
+
 , gdzie ∆b jest nieR 
2 b
pewnością wyznaczenia współczynnika b prostej.
d) Właściwą wartość oporu indukcyjnego dla danej częstotliwości (z wybranego zakresu
pomiarowego) pozwala obliczyć relacja:
2
2a)
b)
3a)
b)
c)
 U skL  2

 R − R L2 = X L
(k L R )2 − R L2 = X L ,
lub
U
 skR 
(ostatnie relacje wynikają ze wzoru (3), gdzie XL = ωL).
Wykreślić zaleŜność oporu indukcyjnego XL w funkcji częstotliwości f. Porównać
otrzymaną zaleŜność z przewidywaniami teoretycznymi.
Wykreślić zaleŜność stosunku kC = UskC/UskR od częstotliwości f w skali liniowej oraz
w funkcji 1/f ( x = 1/f, y = kC ), aproksymując punkty doświadczalne linią prostą (drugi
wykres).
Znaleźć wartość pojemności C.
Współczynnik a nachylenia prostej doświadczalnej y = ax + b jest równy a = 1/2π
πCR.
Stąd pojemność C = 1/2π
πaR. Niepewność wyznaczonej wartości pojemności:
 ∆a ∆R 
∆C = ± C
+

 a
R 
gdzie ∆R jest niepewnością nastawionej wartości oporu dekadowego i ∆a niepewnością
wyznaczenia współczynnika nachylenia a.
Obliczyć przewidywaną wartość częstotliwości rezonansowej f = 1 2π
π LC i porównać ją z wartością zmierzoną (punkt VI.3).
Wykreślić zaleŜność natęŜenia prądu Isk = UskR/ R. od częstotliwości f.
Znaleźć wartość całkowitej oporności rzeczywistej obwodu R’ (R’ = R + RL + RG ,
gdzie RG jest wartością oporności wyjściowej generatora).
W rezonansie opór jaki dla prądu przemiennego przedstawia obwód szeregowy RLC
jest równy oporowi omowemu (rzeczywistemu) R’ obwodu i moŜe być obliczony ze
wzoru:
4
I Pracownia Fizyczna
Ćwiczenie E-21
U skG U skG U skG
= ' = ' R
U skR
I 'sk
U skR
R
gdzie UskG jest skutecznym napięciem wyjściowym generatora, U 'skR - spadkiem potencjału na oporniku R w rezonansie (maksymalna jego wartość).
Przeprowadzić dyskusję wyników.
R' =
4.
5
I Pracownia Fizyczna