Zapisz jako PDF

W rozdziale tym poznamy mechanizmy neuronalne odpowiedzialne za powstawanie potencjałów na
czaszce, mierzonych jako sygnały EEG. Rozdział ten jest opracowany w oparciu o Nunez (1981,
1995, 2006).
Spis treści
1 Własności tkanki nerwowej
2 Ładunki w przewodnikach
3 Podstawowe równania
4 Warunki brzegowe w ośrodkach niejednorodnych
5 Źródła prądowe w mózgu
6 Bezpośrednie zastosowanie makroskopowych źródeł prądu
7 Źródła prądowe w ośrodku przewodzącym
7.1 Źródło jednobiegunowe
7.2 Dipol prądowy
7.3 Źródło kwadrupolowe
7.4 Warstwa dipolowa — najważniejsze źródło sygnału EEG
8 Podsumowanie
9 Literatura
Własności tkanki nerwowej
Na początku zajmijmy się własnościami tkanki nerwowej, w której generowane są potencjały. Tkanka
nerwowa składa się neuronów przekazujących impulsy nerwowe oraz komórek glejowych
wspomagających działanie neuronów. W komórkach występuje płyn wewnątrzkomórkowy, a na
zewnątrz, płyn zewnątrzkomórkowy. Płyn zewnątrz- i wewnątrzkomórkowy składa się z wody, białek
oraz dodatnio i ujemnie naładowanych jonów. W płynie wewnątrzkomórkowym dominują jony K+,
Mg2+, Na+, HCO3–, izetionianu. W płynie zewnątrzkomórkowym głównym kationem są jony Na+, a
anionem jony Cl–. Ze względu na występowanie jonów swobodnych, w tkance nerwowej mogą płynąć
prądy jonowe, w których biorą udział zarówno dodatnie, jak i ujemne jony. W odróżnieniu od
obwodów elektrycznych, w których prąd jest rozłożony równomiernie w całym przekroju
poprzecznym elementów obwodu i można operować pojęciem prądu całkowitego, w tkance nerwowej
wygodnie operuje się uogólnionym pojęciem tzw. gęstością prądu J. Gęstość prądu pochodzącego do
wielu różnych jonów, można wyrazić jako sumę poszczególnych przyczynków od jonów mających
gęstość ładunku ρi i prędkość vi:
Gęstość ładunku jest równa wartości ładunku danego jonu pomnożonej przez liczbę wolnych jonów w
elemencie objętości tkanki. Jednostką gęstości ładunku jest C/m3. vi są to średnie prędkości jonów
wyrażone w metrach na sekundę. Gęstość prądu jest to ilość prądu przepływająca przez jednostkowy
przekrój poprzeczny, a jego jednostką jest C/(m2s) lub A/m2. W skali makroskopowej (np. w próbce
materii zawierającej 1020 lub więcej ładunków w ruchu), tkanka nerwowa spełnia prawo Ohma.
Oznacza to liniową zależność pomiędzy gęstością prądu, a przyłożonym polem elektrycznym (E):
Stała proporcjonalności σ jest nazywana przewodnictwem elektrycznym ośrodka i wyraża się w
jednostkach 1/(Ωm) lub równoważnie w Siemens/m (S/m). W tkance biologicznej często wygodniej
jest stosować jednostki 1/(Ωcm) lub 1/(Ωmm) i (S/mm) Oporność jest odwrotnością przewodnictwa i
jest mierzona w Ωm. Tkanka mózgowa jest słabym przewodnikiem. Np. makroskopowa oporność
kory mózgowej jest ok. milion razy większa od oporności miedzi. Na poziomie mikroskopowym, błony
komórkowe wykazują zachowanie nieliniowe, odbiegające od prawa Ohma. Gdy potencjał błonowy
(pole elektryczne wewnątrz komórki) wzrasta powyżej pewnej wartości progowej, błona staje
nieliniowym przewodnikiem, co umożliwia generacje i propagacje impulsów nerwowych.
Ładunki w przewodnikach
Wykonajmy myślowy eksperyment polegający na umieszczeniu ładunku próbnego w przewodniku np.
tkance biologicznej. Gdy umieścimy dodatnio naładowany ładunek w przewodniku, występują dwa
oddzielne efekty. Efekt polaryzacji spowodowany reorganizacją ładunków w błonach komórkowych
(własności dielektryczne tkanki) oraz efekt przewodnictwa spowodowany ruchem ładunków
swobodnych w płynie zewnątrzkomórkowym. Ten drugi efekt spowoduje, że dodatni ładunek próbny
będzie wkrótce otoczony chmurą ujemnych ładunków, które będą w dużym stopniu ekranować pole
pochodzące od ładunku próbnego. Potencjał w punkcie r, pochodzący od ładunku próbnego
umieszczonego w elektrolicie w punkcie r1 był wyprowadzony w połowie XX wieku na bazie rozważań
statystycznych i wynosi:
RD jest tzw. długością Debye'a, a κ odpowiada za efekty polaryzacyjne. R = |r – r1|. Dla κ = 1 i R ≪ RD,
dostajemy potencjał ładunku punktowego w próżni. Jednakże RD jest rzędu kilku angstremów (10–10
m) w tkance biologicznej, co powoduje, ze eksponent we wzorze (Equation 3) wynosi ok. 10–4000000 w
odległości R = 3 mm. Pokazuje to, że potencjał ładunku próbnego umieszczonego w tkance
biologicznej jest zaniedbywalnie mały dla wszystkich makroskopowych odległości. Nie można więc
powiedzieć, że potencjały w mózgu są spowodowane pewnym rozkładem określonym ładunku. Są
one spowodowane nie tylko określonym rozkładem ładunku ale również wszystkimi ładunkami w
ośrodku przewodzącym. W tkance biologicznej, źródła prądowe w błonach neuronalnych, a nie
ładunki, są generatorami EEG.
Podstawowe równania
Wszystkie zjawiska elektryczne i magnetyczne w mózgu podlegają uniwersalnym prawom Maxwella:
gdzie D — indukcja elektryczna , E — natężenie pola elektrycznego, B — indukcja magnetyczna, H
— natężenie pola magnetycznego, ρ — gęstość ładunku, J — gęstość prądu. W wielu materiałach,
również w tkance nerwowej, pola D i B zależą liniowo od E i H:
Gdzie: ε — przenikalność elektryczna, a μ — przenikalność magnetyczna ośrodka.
Do opisu pól elektrycznych w tkance nerwowej stosuje się uproszczoną wersje równań Maxwella
oraz równań opisujących liniowe własności ośrodka. Podstawowe równania liniowej elektrofizjologii
można podsumować następująco:
Zasada zachowania ładunku (równanie %i 10) wynika bezpośrednio z 1 i 4 równania Maxwella
(równania %i 4 i %i 7), oraz z tożsamości
Równanie potencjału skalarnego dla pola elektrycznego (równanie %i 14) jest spełnione w
przybliżeniu wolnych oscylacji pól, co pozwala zaniedbać indukcję magnetyczną.
Warunki brzegowe w ośrodkach niejednorodnych
Różne obszary mózgu mają różne przewodnictwa, tak więc w praktycznych zagadnieniach występują
granice między ośrodkami. W skali makroskopowej, najbardziej oczywiste granice między ośrodkami
dotyczą granicy pomiędzy słabo przewodzącą czaszką i powietrzem otaczającym głowę. W skali
mikroskopowej mamy do czynienia z granicami tworzonymi przez błonę komórkową z ośrodkiem
zarówno zewnętrznym jak i wewnętrznym. Potencjał elektryczny Φ(r, t) będzie miał różne
rozwiązania Φi(r, t) w obszarach i o przewodnictwie σi. Porównajmy najpierw efekty opornościowe i
efekty pojemnościowe. Zastosujmy operator ∇ do czwartego równania Maxwella (równanie %i 7)
oraz skorzystajmy z tożsamości (Equation 15). Dostajemy:
Rozważmy składową pola elektrycznego oscylującego z częstością f
i wyraźmy równanie (Equation 16) stosując prawo Ohma (Equation 12) i liniowe równanie dla
dielektryka (Equation 13):
Dwa wyrażenia w nawiasie odpowiadają za efekty opornościowe i pojemnościowe w ośrodku
materialnym, tzn. efekty związane z ładunkiem swobodnym i efekty związane z ładunkami
związanymi w błonie komórkowej. Oznacza to, że efekty pojemnościowe możemy zaniedbać gdy
Gdy w obszarze i oraz j nie występują źródła, na mocy równania (Equation 16) i równania potencjału
skalarnego (równanie Equation 14), podstawowe równania elektrofizjologii redukują się do:
równanie (Equation 20) odnosi się do sytuacji, w której można zaniedbać efekty pojemnościowe (np.
błony komórkowej) i nosi nazwę równania Laplace’a. Czasem przybliżenie to nazywa się również
przybliżeniem quasi-statycznym, gdyż stosuje się dla pól oscylujących z niskim częstościami.
Równanie to stosuje się do wszystkich zagadnień w skali makroskopowej. Równanie (Equation 21)
stosuje się do błon komórkowych i pól w skali mikro. Równania (Equation 20) i (Equation 21) mają
nieskończenie wiele rozwiązań. Aby rozwiązanie w każdym obszarze było jednoznaczne należy
zastosować warunki brzegowe na granicy ośrodków oznaczonych symbolami m i n:
Warunki brzegowe są wyrażone we współrzędnej u, mającej wszędzie kierunek normalny do granicy
między ośrodkami i dwóch współrzędnych stycznych w1 i w2. Pierwszy z warunków określa fizyczne
wymaganie by składowa normalna gęstości prądu była ciągła na granicy ośrodków. Warunek ten
wynika z zasady zachowania ładunku. Drugi warunek brzegowy określa, że składowa styczna pola
elektrycznego musi być ciągła na granicy ośrodków. Warunek ten wynika z drugiego prawa
Maxwella. Stosując pierwszy z warunków brzegowych do granicy głowa (m)–powietrze (n) i
przyjmując, że przewodnictwo powietrza wynosi zero, dostajemy:
Oznacza to, że pole magnetyczne, elektryczne oraz ich potencjały pochodzące od źródeł w mózgu,
rozchodzą się w przestrzeni otaczającej głowę, lecz prąd jest ograniczony do jej wnętrza (składowa
normalna prądu wynosi zero).
Źródła prądowe w mózgu
Tzw. problem wprost w EEG polega na obliczeniu potencjału na czaszce na podstawie źródeł
prądowych. Równania (Equation 20, Equation 21) w pełni opisują szukany potencjał jednakże
potrzebna jest modyfikacja. Wersja niezmodyfikowana wymaga znajomości potencjału i jego
pochodnych normalnych na granicy ośrodków, co jest skomplikowane w skali komórkowej. Ponieważ
jednak składowa normalna potencjału jest proporcjonalna do gęstości prądu w przewodniku,
możemy zastąpić warunki brzegowe na granicy ośrodków poprzez odpowiednie źródła prądowe. Na
początku rozważmy prąd błonowy pojawiający się w wyniku aktywacji pojedynczej synapsy.
Prądy błonowe powstające w wyniku
hamującej akcji synaptycznej. Potencjał
czynnościowy dochodzący do zakończenia
włókna presynaptycznego powoduje
uwolnienie neuroprzekaźnika z kolbki
synaptycznej, co prowadzi do zmiany
przewodnictwa błony postsynaptycznej dla
wybranych jonów. W wyniku otwarcia
kanałów jonowych, powstaje lokalne źródło
prądowe w okolicy synapsy oraz zlew
prądowy rozproszony wzdłuż dalszych
obszarów błony, tak by spełnione było prawo
zachowania ładunku.
W stanie spoczynku, potencjał wewnątrz komórki wynosi ok. –65 mV względem potencjału na
zewnątrz. Jeżeli synapsa jest pobudzająca, efektem jej aktywacji będzie zwiększenie
przepuszczalności dla dodatnio naładowanych jonów, które zaczną napływać do komórki. Zmiana
potencjału błonowego w wyniku akcji synaptycznej nazywana jest pobudzającym potencjałem
postsynaptycznym lub EPSP (od ang. excitatory postsynaptic potential). EPSP zmniejsza wartość
różnicy potencjału w komórce i podnosi jej wewnątrzkomórkowy potencjał w kierunku odpalenia jej
własnego potencjału czynnościowego, przy różnicy potencjałów w poprzek błony ok. –40 mV. Błona
w bezpośredniej okolicy synapsy zachowuje się jak zlew prądowy (źródło ujemne) gdyż dodatnio
naładowane jony wpływają do wewnątrz. Prąd płynie w przestrzeni wewnątrzkomórkowej i wypływa
z komórki w dalszych, rozproszonych obszarach, tak aby zamknąć linie prądu. Całkowity prąd
dokomórkowy musi być równy całkowitemu prądowi wypływającemu z komórki, co wynika z zasady
zachowania ładunku. Jeżeli synapsa jest hamująca, zmiana potencjału błonowego w wyniku akcji
synaptycznej nazywana jest hamującym potencjałem postsynaptycznym lub IPSP (od ang. inhibitory
postsynaptic potential). Ma on odwrotne działanie w stosunku do EPSP i zmniejsza
prawdopodobieństwo generacji potencjału czynnościowego. IPSP generuje powstanie lokalnego
źródła prądu, któremu musi towarzyszyć odpowiedni zlew prądowy rozproszony wzdłuż bardziej
odległych obszarów błony (rys. 1). Potencjał zewnątrzkomórkowy powstający w wyniku akcji
synaptycznej zależy od pełnego rozkładu źródeł i zlewów w błonie s(r, t), a nie tylko od lokalnego
prądu płynącego w otoczeniu synapsy. W wyniku złożonej geometrii neuronów, geometria rozkładu
prądów płynących przez błonę może być skomplikowana, a potencjał zewnątrzkomórkowy trudny do
policzenia. Jednakże w zagadnieniach EEG, możemy obejść wiele problemów ze złożonością
pojedynczych neuronów poprzez zmianę skali, w której rozpatrujemy generatory prądów. W tym celu
zdefiniujmy efektywny prądowy moment dipolowy dla każdej objętości tkanki. Prądowy moment
dipolowy na jednostkę objętości tkanki kory mózgowej może być uważany za korowe źródło
generujące pole magnetyczne i elektryczne na powierzchni czaszki. Kluczem do zrozumienia tego
upraszczającego założenia jest fakt, że pojedyncza komórka kory mózgowej dostaje ok. 104-105 wejść
synaptycznych, a pod każdym milimetrem kwadratowym powierzchni kory znajduje się ok. 105
neuronów. Potencjał zewnątrzkomórkowy mierzony przez małą elektrodę z takiego obszaru będzie
bardzo skomplikowany i będzie bardzo czuły na zmianę położenia elektrody. Jednakże w
odległościach dużych w porównaniu z charakterystyczną odległością pomiędzy źródłami i zlewami,
potencjał generowany przez źródła i zlewy w kolumnie będzie przypominał potencjał dipola. Dla
wielu kolumn wykazujących aktywność synaptyczną, potencjał na czaszce będzie ważoną sumą
dipolowych przyczynków od poszczególnych kolumn. W komórce piramidowej, charakterystyczna
odległość pomiędzy źródłem a zlewem jest rzędu paru milimetrów, podczas gdy odległość do
najbliższych obszarów na czaszce wynosi ok. 1-1,5 cm. Tak więc przybliżenie dipolowe dla źródeł w
kolumnach korowych jest spełnione w zagadnieniach EEG.
Bezpośrednie zastosowanie makroskopowych źródeł prądu
We wszystkich następujących zagadnieniach będziemy zakładać, że ośrodek jest czysto przewodzący
i nie wykazuje efektów pojemnościowych. W takim ośrodku, ładunek nie jest nigdzie gromadzony,
gęstość ładunku jest stała, a równanie zachowania ładunku można zapisać:
Korzystne okazuje się wprowadzenie pojęcia makroskopowej gęstości prądu źródeł Js, która pozwala
zapisać prawo Ohma następująco:
Oznacza to, że prąd całkowity w ośrodku przewodzącym składa się prądu omowego σE oraz prądu
źródłowego wypływającego z granicy między ośrodkami np. prąd wypływający przez błonę
komórkową. Wstawiając (Equation 26) do (Equation 25) i korzystając z definicji potencjału
elektrycznego dostajemy:
gdzie objętościowy prąd źródłowy jest zdefiniowany jako
Potencjał wewnątrz przewodnika oznaczonego
zaokrąglonym prostokątem jest określony równaniem
Laplace'a (Equation 20). Jednoznaczne rozwiązanie tego
równania wymaga znajomości potencjału lub normalnej
pochodnej potencjału na powierzchniach granicznych
przewodnika. Zamiast podawać warunki brzegowe na
granicach przewodnika, możemy podać źródła prądowe s(r,
t) występujące na tych powierzchniach. W tej sytuacji
jednoznaczne rozwiązanie dla potencjału wewnątrz
przewodnika jest dane równaniem Poissona (Equation 27).
Obszary zaznaczone kolorem szarym są źródłami prądu,
pozostałe (białe) obszary są bezźródłowe.
Przewodnictwo σ(r) (w S/mm lub S/cm) w ogólności zależy od położenia i dlatego znajduje się
wewnątrz operatora ∇. Gęstość prądu źródłowego s(r, t) ma wymiar prądu na jednostkę objętości
μA/mm2. Jest to prąd generowany w jednostce objętości. Może być również interpretowany jako
objętościowe źródło potencjału generowanego w ośrodku makroskopowym. Rozumowanie stojące za
wprowadzeniem prądu źródłowego jest następujące. Dowolny obszar tkanki możemy podzielić tak, że
obszary generacji prądu znajdują się pewnych podobszarach oznaczonych kolorem szarym na rys. 2.
W pozostałych obszarach (zaznaczonych kolorem białym) potencjał jest określony równaniem
Laplace’a (Equation 20) w ośrodku jednorodnym i (Equation 27) w ośrodku niejednorodnym, kładąc
s(r, t) równe zero. Jednakże jednoznaczne rozwiązanie wymaga by potencjał lub składowa normalna
potencjału była określona na całej granicy ośrodków. W formalizmie równania Poissona (Equation
27) zastąpiliśmy warunki brzegowe poprzez prąd objętościowy s(r, t). Ujemny znak w równaniu
(Equation 27) jest spójny z prądem dodatnim wpływającym do bezźródłowego (białego) obszaru. Inna
zaletą tego podejścia jest fakt, że w ośrodku czysto przewodzącym czasowa zależność potencjału Φ(r,
t) jest identyczna z czasową zależnością źródła. Pojedyncze oscylujące źródło s(r, t) ∼ sin(2πft)
powoduje oscylacje potencjału z tą samą częstością. Jednakże w mózgu będzie zazwyczaj wiele
źródeł oscylujących z różnymi częstościami i fazami. Potencjał na czaszce mierzony w EEG będzie
liniową superpozycją przyczynków od pojedynczych obszarów źródeł z różnymi wagami zależnymi od
własności przewodnictwa ośrodka i odległości pomiędzy źródłami i miejscami pomiaru potencjału na
czaszce. Przeprowadzone tutaj operacje matematyczne mogą się wydawać nieco sztuczne, okazują
się jednak bardzo wygodne w zrozumieniu problemów związanych z generacją potencjałów w tkance
nerwowej. Porównajmy wzór na potencjał w przewodniku pochodzący od obszaru źródła prądowego
s(r, t) (Equation 27) ze wzorem na potencjał w dielektryku pochodzący od obszaru źródła z pewną
gęstością swobodnego ładunku ρ(r, t). Równanie na potencjał w dielektryku otrzymamy poprzez
połączenie równań (Equation 4), (Equation 8) i (Equation 14). Prowadzi to do równania Poissona w
dielektryku:
Oba równania (Equation 29) i (Equation 27) są równaniami Poissona lecz ze zmienionymi symbolami.
Są one więc matematycznie równoważne lecz reprezentują inne fizycznie procesy. Swobodny
ładunek makroskopowy w przewodniku w praktyce wynosi zero, tak więc równanie (Equation 29) nie
ma praktycznego zastosowania w elektrofizjologii. Jednakże w fizyce znanych jest wiele rozwiązań
równania (Equation 29) dla różnych rodzajów niejednorodności w dielektrykach. Aby zastosować
znane z fizyki rozwiązania do przewodnika wystarczy w nich podstawić przewodnictwo σ(r, t) w
miejsce przenikalności elektrycznej ε(r, t), a źródła ładunku ρ(r, t) zamienić na źródła prądowe s(r,
t). Np. rozważmy specjalny przypadek N punktowych źródeł prądowych, co oznacza, że rozmiary
(objętość) źródła jest dużo mniejsza niż odległość od elektrod pomiarowych. W nieskończonym,
jednorodnym i czysto opornościowym przewodniku, potencjał na zewnątrz źródeł jest analogiczny do
potencjału pochodzącego od N ładunków punktowych i wynosi:
W typowych jednostkach stosowanych w zagadnieniach EEG, In(t) są jednobiegunowymi źródłami
prądowymi (μA) wypływającymi z n-tego rejonu źródła do przewodnika o przewodnictwie σ
(1/(Ωcm)). Rn są odległościami pomiędzy miejscem pomiaru a położeniem źródła. Np. potencjał w
odległości 1 cm generowany przez źródło prądowe o natężeniu 4π μA w wyidealizowanej korze
mózgowej o oporności η = 1/σ = 300 Ωcm, wynosi 300 mV. W ośrodku czysto opornościowym,
zależność czasowa potencjału jest dana przez sumę ważoną wszystkich źródeł. W ośrodku z
własnościami pojemnościowymi wystąpią przesunięcia fazowe pomiędzy źródłami i potencjałem. Gdy
zaniedbamy efekty pojemnościowe, otrzymamy ogólną metodę znajdowania potencjału na podstawie
rozkładu źródeł prądowych w mózgu.
Źródła prądowe w ośrodku przewodzącym
Większość zjawisk obserwowanych w zapisie EEG może być zrozumiana na podstawie paru rodzajów
źródeł. W szczególności jest to dipol prądowy, warstwa dipolowa i rozkład źródeł pochodzący od
potencjału czynnościowego. Pole na czaszce, pochodzące od tych źródeł będzie oczywiście silnie
zależeć od makroskopowych niejednorodności takich jak czaszka. My zajmiemy się uproszczoną
sytuacją i rozważymy różne przykłady źródeł w nieskończonym, jednorodnym i izotropowym ośrodku
przewodzącym. Przybliżenie to dostarczy nam ważnej intuicji na temat generatorów rzeczywistych
sygnałów EEG.
Źródło jednobiegunowe
Potencjał pojedynczego źródła jednobiegunowego jest szczególnym przypadkiem rozwiązania
(Equation 30) i wynosi
Równanie (Equation 31) można też otrzymać przeprowadzając proste rozumowanie. Otoczmy
punktowe źródło sferą o promieniu r. Ponieważ prąd całkowity jest zachowany, gęstość prądu na
powierzchni sfery wynosi
w kierunku radialnym. Z prawa Ohma:
Stosując równanie potencjału skalarnego (Equation 14), dla składowej radialnej dostajemy:
Po scałkowaniu (Equation 34) dostajemy równanie (Equation 31). Z równania (Equation 31) wynika,
że potencjał w przewodniku staje się nieskończony jeśli odległość między źródłem a punktem
pomiaru wynosi zero lub przewodnictwo ośrodka wynosi zero. Ta nie-fizyczna sytuacja wynika z
dwóch założeń zrobionych przy wyprowadzaniu równania (Equation 31). Po pierwsze, założyliśmy, że
pomiar dokonywany jest punktowo lecz prawdziwe elektrody pomiarowe mają niezerowe rozmiary
więc r nie może być zero. Po drugie, założyliśmy, że jesteśmy w stanie zapewnić stałe natężenie
prądu niezależnie od przewodnictwa ośrodka. Jednakże gdy przewodnictwa ośrodka będzie malało,
coraz większe napięcie z generatora będzie wymagane, by utrzymać stały prąd w źródle. W
rzeczywistości, gdy przewodnictwo ośrodka będzie dążyć do zera, natężenie prądu I będzie również
dążyło do zera, co zapewni skończoną wartość potencjału.
Dipol prądowy
Dipol prądowy składa się z punktowego źródła I i zlewu –I, oddzielonych o d. Znaczenie dipola w
elektrofizjologii jest większe niż jakakolwiek inna konfiguracja źródeł. Jest tak dlatego, że prawie
każdy obszar zawierający źródło i zlew, oraz w którym całkowity prąd źródła i zlewu są równe
(zasada zachowania prądu), będzie dawał przybliżone pole dipola w odległościach dużych w
porównaniu z rozmiarami obszaru źródło-zlew. Np. pole dipola jest generowane w wyniku
pobudzenia lub hamowania synaptycznego w neuronach, jak to zostało opisane w sekcji Źródła
prądowe w mózgu. Ścisłe wyrażenie na potencjał dipola jest to suma dwóch jednobiegunowch
przyczynków o przeciwnej polaryzacji i odległościach odpowiednio r1, r2 od punktu pomiaru:
Jednakże dużo wygodniej wyrazić potencjał dipola za pomocą jednej współrzędnej radialnej r,
mierzonej od środka odcinka łączącego ładunki. W odległościach dużo większych od d, pole dipola
można przybliżyć następująco:
dla r ≫ d. Θ jest kątem pomiędzy osią dipola i wektorem r wskazującym punkt pomiaru. Rozważmy
lokalny przepływ prądu pomiędzy III i VI warstwą kory mózgowej. Odległość między biegunami
prądu wynosi wtedy d ~ 1 mm. Załóżmy prądowe źródło o natężeniu I = 10 μA i nieskończony
jednorodny ośrodek o oporności η = 1/σ = 300 Ωcm odpowiadającej korze mózgowej. Licząc
potencjał (względem nieskończości) wzdłuż osi dipola (Θ = 0), możemy zastosować (Equation 36)
również w pobliżu źródeł. Wstawiając dane dostajemy:
Φ(r, 0) ≈ 464 μV dla r = 2,5 mm (na powierzchni kory)
Φ(r, 0) ≈ 12 μV dla r = 1,5 cm (na czaszce)
Powyższe oszacowania nie biorą pod uwagę wpływu warstw płynu mózgowo-rdzeniowego, czaszki i
skóry na głowie i powietrza nad głową. Szacuje się, że wpływ tych warstw o różnym przewodnictwie
zmniejsza potencjał pochodzący od dipola znajdującego się w powierzchownych warstwach kory, a
mierzonego na czaszce do ok. 1/4 wartości otrzymanej w jednorodnym modelu kory. Te zgrubne
oszacowania pozwalają nam przewidzieć stosunek potencjału mierzonego na czaszce do potencjału
mierzonego na powierzchni kory. Dla pojedynczego źródła korowego stosunek ten wynosi 464/(12/4),
a więc:
Potencjał na korze/potencjał na czaszce ~ 100 do 200
Średnie amplitudy spontanicznego EEG na korze są zazwyczaj 2 do 5 razy większe od potencjałów
mierzonych na czaszce (Cooper et al., 1965). Brak zgodności naszego oszacowania z doświadczeniem
sugeruje, że zdecydowana większość zjawisk w EEG jest generowana nie przez pojedyncze dipole
lecz przez źródła o znacznie większych rozmiarach np. przez warstwy dipolowe. Z drugiej strony,
niektóre iglice epileptyczne (ang. epileptic spikes) i potencjały wywołane (ang. evoked potentials) w
pierwszorzędowej korze sensorycznej można z powodzeniem modelować jako pojedynczy dipol lub
parę izolowanych dipoli.
Źródło kwadrupolowe
Rozróżniamy dwie konfiguracje prowadzące do źródła kwadrupolowego. Kwadrupol liniowy składa
się z dwóch źródeł +I/2 i zlewu –I leżących wzdłuż jednej prostej, oddzielonych od siebie o d.
Kwadrupol dwuwymiarowy składa się z dwóch identycznych dipoli, umieszczonych równolegle do
siebie, o przeciwnej orientacji. Kwadrupol liniowy ma zastosowanie w elektrofizjologii gdyż wykazuje
podobieństwo do trójfazowego rozkładu źródeł we włóknie nerwowym podczas potencjału
czynnościowego. Potencjał kwadrupola w dowolnym miejscu ośrodka przewodzącego wynika
bezpośrednio ze wzoru (Equation 31) na potencjał pojedynczego źródła jednobiegunowego
Trzy wartości r odpowiadają trzem odległościom pomiędzy źródłami i zlewami, a punktem pomiaru.
W średnich lub dużych odległościach, potencjał może być wyrażony we współrzędnych sferycznych
(r, θ, φ) jako
Potencjał nie zależy od współrzędnej φ.
Podczas generacji potencjału czynnościowego następuje wpływ dodatniego prądu jonów Na+ do
wnętrza komórki. Prądowe źródło na pewnym obszarze błony komórkowej musi mieć odpowiadające
mu zlewy prądowe, które znajdują się w obszarach po obu stronach źródła. W ten sposób powstaje
konfiguracja źródło-zlew przypominająca kwadrupol liniowy. Ponieważ potencjał kwadrupola zanika
jak 1/r3 czyli szybciej niż potencjał dipola (1/r2), potencjały czynnościowe mają znikomy wpływ na
sygnał EEG. Synchronicznie występujące potencjały czynnościowe (ang. compound action potentials)
mogą jednak być mierzalne. Istnieją podstawy by sądzić (Jewett, 1970), że potencjały czynnościowe
biegnące we nerwie słuchowym są przynajmniej częściowo źródłem słuchowych potencjałów
wywołanych z pnia mózgu (BAER od ang. brainstem auditory evoked response).
Warstwa dipolowa — najważniejsze źródło sygnału EEG
Około 65 do 75% neuronów korowych u wszystkich gatunków ssaków jest ustawionych prostopadle
do powierzchni kory (Scholl, 1956; Bok, 1959). Neurony korowe mają dużą liczbę wzajemnych
połączeń powodujących synchronizacje ich aktywności. Istnieją więc zarówno anatomiczne, jak i
fizjologiczne podstawy by uznać warstwę dipolową tworzoną przez równoległe, synchronicznie
działające komórki, za generator potencjałów korowych. Synchronizacja generatorów odgrywa tutaj
kluczową rolę. Rozważmy na początku dwa dipole, których prądy fluktuują z częstościami
i .
Może to odpowiadać dwóm komórkom, dostającym zarówno wejścia pobudzające, jak i hamujące
(rys. 3). Potencjał mierzony przez elektrodę w punkcie P, otrzymamy na podstawie (Equation 30):
[Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 752x40]
IA oraz IB są maksymalnymi wartościami prądu w każdym z dipoli. Dodatkowo, zakładamy, że cały
prąd wypływający ze źródła wpływa do zlewu w tym samym dipolu, co jest spełnione gdy odległość
między dipolami Ljest znacznie większa niż odległość pomiędzy efektywnymi biegunami d. αA i
są
kątami fazowymi. Dla większej ilości źródeł, w wyrażeniu (Equation 39) pojawią się analogiczne
człony.
Dwie komórki piramidalne A i B pobudzane synaptycznie,
są przedstawione w wyidealizowanej formie, jako dipole.
Potencjał w punkcie P jest sumą przyczynków
pochodzących od obu zlewów (-) i obu źródeł (+) prądu.
Odległość między dipolami wynosi L, a odległość pomiędzy
efektywnymi biegunami dipoli wynosi d.
Rozważmy wpływ wielu dipoli o podobnej sile (
, itd) i podobnych częstościach (
, itd) na średni potencjał . Potencjał będzie oczywiście zależał od wszystkich
odległości R1, R2, itd., możemy jednak sformułować pewne ogólne wnioski.
a. Gdy generatory są ze sobą w fazie (
=
=
, itd), a dipole ustawione równolegle do
siebie, wyrażenia we wzorze (Equation 39) dodają się i dla m dipoli, uśredniony po czasie
potencjał będzie proporcjonalny do ilości wszystkich m generatorów w otoczeniu elektrody,
Oczywiście, generatory znajdujące się najbliżej elektrody, będą miały największy wpływ na
potencjał, lecz im więcej generatorów będzie aktywnych w losowych odległościach od punktu
pomiaru, wzór (Equation 40) będzie stanowić tym lepsze przybliżenie.
b. Jeśli generatory mają losową orientację, tak że prądy I w (Equation 39) będą miały losowe
znaki lub jeśli losowe będą fazy generatorów, potencjał będzie dużo słabiej zależał od liczby
generatorów. Będzie on wynikiem statycznej fluktuacji. Wg. Nunez (1981), można pokazać, że
m członów w wyrażeniu (Equation 39) sumuje się dając średni potencjał, który dla dużych m
można oszacować jako:
Zastosujmy teraz powyższe rozważania do zapisu rejestrowanego elektrodą umieszczoną w pobliżu
generatorów. Jeśli elektroda znajduje się wystarczająco blisko źródła prądowego, tak że jeden z Rs w
(Equation 39) jest bardzo mały, mierzony potencjał będzie stosunkowo duży, bez względu na fazowe
relacje pomiędzy źródłem lokalnym i innymi źródłami w otaczającej tkance. Źródła odległe również
mogą dawać wkład do mierzonego potencjału. Ich wkład może być mniejszy lub większy od wkładu
źródła lokalnego. Źródła odległe będą zachowywały się głównie jak dipole prądowe. Tak więc
potencjał mierzony przez elektrodę może być wyrażony następującym przybliżonym wzorem.
Indeksy i, S, oraz A odnoszą się odpowiednio do źródeł lokalnych, źródeł odległych synchronicznych i
źródeł odległych asynchronicznych. Is są prądami efektywnymi, które mogą być mniejsze niż prąd
całkowity, w zależności od orientacji odległych synchronicznych źródeł względem elektrody. d jest
odległością pomiędzy efektywnymi biegunami dipoli. l, m i n są liczbą źródeł lokalnych, odległych
synchronicznych i odległych asynchronicznych, które znajdują się odpowiednio w średnich
odległościach R , R , R . Należy pamiętać, że (Equation 42) jest idealizacją, gdyż nie wszystkie
generatory dają się zaklasyfikować do poszczególnych kategorii, jednakże wzór ten może dać ogólny
pogląd na generacje potencjałów w mózgu, a w szczególności potencjałów mierzonych na czaszce
czyli EEG. W tym przypadku (EEG) nie ma źródeł lokalnych. Jeśli generatory są podobne IS ≈ IA oraz
generatory synchroniczne i asynchroniczne są w podobnej odległości RS ≈ RA, względny przyczynek
od generatorów synchronicznych względem asynchronicznych wynosi:
Na podstawie zależności (Equation 43) możemy przeprowadzić następujące rozumowanie. Elektroda
umieszczona na czaszce mierzy aktywność ok. 10 neuronów znajdujących się w paru cm kory,
Załóżmy, że prawie wszystkie neurony są aktywne lecz tylko 1% (10 ) z nich jest ustawiony
równolegle i działa synchronicznie. Przyczynek od synchronicznej frakcji neuronów do potencjału
mierzonego na czaszce wynosi:
Jest on więc 100 razy większy niż przyczynek od pozostałych 99% neuronów (Elul, 1972). Pokazuje
to, że powierzchniowe EEG pochodzi głównie od synchronicznej aktywności równolegle ustawionych
neuronów, a zmiana amplitudy sygnału wraz ze stanem fizjologicznym, wiąże się ze zmianą liczby
synchronicznie działających komórek. Wzór (Equation 42) sugeruje, że potencjał od źródeł odległych
zanika z odległością jak 1/R . Warto zauważyć, że dla warstw dipolowych bardzo dużych rozmiarów,
zanik ten może być jeszcze wolniejszy. Np. dla nieskończonej warstwy dipolowej potencjał nad (lub
pod warstwą) dipolową jest stały i nie zmienia się z odległością. Oznacza to, że dla małych odległości
od warstwy, w porównaniu z jej rozmiarami, zanik potencjału będzie niewielki, a im większa warstwa
tym zanik potencjału wolniejszy. W przypadku dużych warstw dipolowych zanik potencjału na
czaszce względem potencjału na korze jest nieznaczny. Eksperymentalnie obserwowany stosunek
potencjału na korze do potencjału na czaszce jest, w większości spontanicznych zapisów EEG,
pomiędzy 2 i 5 (Cooper et al., 1965). Po uwzględnieniu niejednorodności takich jak czaszka, płyn
mózgowo-rdzeniowy i powietrzne nad głową, oznacza to, że korowe źródła muszą tworzyć warstwy
dipolowe o rozmiarach znacznie większych niż odległość pomiędzy czaszką a korą. Mają więc one
rozmiary rzędu paru cm .
Podsumowanie
Potencjały w ośrodku jednorodnym pochodzące od źródeł i zlewów prądowych zostały otrzymane na
podstawie ogólnego równania (Equation 30). Fizjologiczne źródła prądowe, są generowane w
błonach komórkowych w wyniku transmisji synaptycznej lub generacji potencjału czynnościowego.
Różne konfiguracje źródeł i zlewów mogą generować potencjały o bardzo różnych własnościach
przestrzennych. Zanik potencjału wraz z odległością od źródeł-zlewów może być bardzo słaby (tzw.
pola dalekie lub długozasięgowe), jak w przypadku warstwy dipolowej. Zanik ten może też być silny
np. w przypadku koncentrycznie ustawionych neuronów, tak jak w przypadku kwadrupola (tzw. pola
bliskie lub krótkozasięgowe). Znajomość potencjałów generowanych w wyidealizowanym,
nieskończonym, jednorodnym ośrodku dostarcza przydatnych oszacowań na temat różnych
fizjologicznych procesów np. generacji potencjałów czaszkowych EEG. Na koniec należy zauważyć,
że wszystkie wyprowadzone tutaj wzory dotyczyły potencjału w pewnym punkcie. W rzeczywistości,
mierzone potencjały są potencjałami uśrednionymi po całej objętości elektrody. Potencjał mierzony
przez sferyczną elektrodę
o promieniu R jest związany z teoretycznym potencjałem punktowym
poprzez całkę objętościową:
Ze względu na skomplikowaną anatomię kory, zachowanie potencjału
wewnątrz mózgu (zapisy
śródmózgowe) będzie bardzo silnie zależało od parametru skali R. W przeciwieństwie do tego,
potencjały czaszkowe są już silnie uśrednione przestrzennie w wyniku przejścia przez płyn mózgowordzeniowy, czaszkę i skórę. Powoduje to, że rozmiar elektrody nie ma prawie wpływu na zapis
czynności EEG.
Literatura
Bok S.T., Histonomy of the Cerebral Cortex, Elsevier, New York, 1959.
Cooper R., Winter A.L., Crow H.J., Walter W.G. Comparison of subcortical, cortical and scalp activity
using chronically indwelling electrodes in man. Electroencephalogr Clin Neurophysiol. 18:217-228,
1965.
Elul R. The genesis of the EEG. Int Rev Neurobiol 15: 227-272, 1972.
Jewett D.L. Volume-conducted potentials in response to auditory stimuli as detected by averaging in
the cat. Electroencephalogr. Clin. Neurophysiol. 28(6):609-618, 1970.
Nunez P.L Electric Fields of the Brain. The Neurophysics of EEG. Oxford University Press, New
York, NY, 1981 (First edition).
Nunez P.L. Neocortical Dynamics and Human EEG Rhythms. Oxford University Press, New York,
1995.
Nunez P.L. Electric Fields of the Brain. The Neurophysics of EEG. Oxford University Press, New
York, NY, 2006 (Second edition).
Scholl D.A. The organization of the Cerebral Cortex, Methuen, London, 1956.