Tydzień 1 - Logika 1. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p

Tydzień 1 - Logika 1. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p

Tydzień 1 - Logika
1. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p =⇒ q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia.
A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi
przeciwprostokątnej.
B. Dla wykładnika naturalnego n ≥ 3 równanie xn + y n = z n nie ma rozwiązań w liczbach
całkowitych dodatnich.
C. Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwu liczb pierwszych.
2. Rozważmy zdanie: Jeżeli 12 dzieli jakąś liczbę, to także 3 dzieli tę liczbę.
a) Pokaż, ze wynikanie odwrotne nie jest prawdziwe.
b) Czy podzielność przez 12 jest warunkiem koniecznym podzielności przez 3?
c) Czy podzielność przez 3 jest warunkiem koniecznym podzielności przez 12?
d) Czy podzielność przez 12 jest warunkiem dostatecznym podzielności przez 3?
e) Podaj warunek konieczny i dostateczny podzielności przez 3.
3. Rozważmy zdania: p - dostałem co najmniej czwórkę, q - dostałem mniej niz trójkę, r - nie
dostałem jedynki. Przyjmując, że nie ma ocen połówkowych wyraź możliwie prosto zdania:
a) negację r; b) negację p; c) koniunkcję q i r; d) alternatywę p oraz q; e) negację alternatywy
zdań p oraz q; f) koniunkcję negacji p i negacji q.
4. Jedna strona każdej z kart pokazuje kolor (czerwony albo niebieski), druga figurę (kółko
albo trójkąt). Na stole leżą cztery karty: pierwsza z nich jest niebieska, druga czerwona,
trzecia ma kółko, czwarta trójkąt. Placek twierdzi, że karty niebieskie mają na odwrocie
kółko. Które karty trzeba odwrócić, aby sprawdzić, czy ma rację.
5. Załóżmy, że gdy Jacek chrapie, to Agatka śni. Czy wynika stąd, że:
a) Gdy Jacek nie chrapie, to Agatka nie śni.
b) Gdy Agatka śni, to Jacek chrapie.
c) Gdy Agatka nie śni, to Jacek nie chrapie.
d) Jacek nie chrapie lub Agatka śni.
6. Które z poniższych równoważności są prawdziwe?
a) n jest wielokrotnością 5 ⇐⇒ 5 jest dzielnikiem n;
b) a < b ⇐⇒ b > a
c) A jest o 100% szybszy od B ⇐⇒ B jest o 100% wolniejszy od A.
7. George Bernard Shaw twierdził, że „ przekłady są jak kochanki — wierne nie są piękne,
piękne nie są wierne”. Czy z twierdzenia tego wynika, że:
A. Przekład wierny nie jest piękny.
B. Jeśli przekład nie jest piękny, to jest wierny.
C. Jeśli przekład jest piękny, to nie jest wierny.
D. Jeśli przekład nie jest wierny, to jest piękny.
E. Żaden przekład nie może być zarazem wierny i piękny.
8. Panu N. odmówiono sprzedaży alkoholu powołując się na przepis, że osobom niepełnoletnim
bądź nietrzeźwym alkoholu nie sprzedaje się. Czy wynika stąd, że pan N:
a) był niepełnoletni;
c) był niepełnoletni i nietrzeźwy;
e) jeśli był trzeźwy, to niepełnoletni
b) był nietrzeźwy;
d) był niepełnoletni lub nietrzeźwy;
f) jeśli był niepełnoletni, to trzeźwy.
♦
♦
♦
9. Udowodnij, że istnieją
a, b takie, że ab wymierna.
√ liczby niewymierne
b
Wsk.: Rozważ a = b = 2. Jeżeli a jest wymierna, to koniec dowodu. A jeśli niewymierna?
10. Dokończ poniższy dowód niewprost:
Załóżmy, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Niech p1 , p2 , . . . , pk będą wszystkimi
liczbami pierwszymi. Rozważmy liczbę N = p1 p2 . . . pk + 1. Wówczas . . .
Jakie twierdzenie udowodniłeś?
Tydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza
1. Naszkicuj wykresy funkcji:
a) y = sgn x; b) y = b xc; c) y = d xe;
d) y = x − b xc;
e) y = b xcd xe;
f) y = x sgn x.
2. Naszkicuj wykresy funkcji potęgowej y = xα dla α = 1, 2, 3, −1, −2, 1/2 oraz −1/2.
3. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki:
√
√
√
√
√
a) 1/64; b 2; c) 2 2; d) ( 2)/2; e) ( 2)3 · ( 3 2)2
f) (23 )4 ;
4
g) 23 ;
√ √
h) (2 2)2 2 .
4. Podaj wartości logarytmów:
a) log2 1024;
b) log2 41 ;
c) log2
√
2;
d) log4 8;
e) log8 4;
f) log√3 13 .
5. Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu:
a) 2 log 2;
b) log 20 − 2 log 5;
c)
1
;
log 3
d)
log3 10
;
log2 10
6. Wyraź y jako funkcję zmiennej x, jeżeli log y =
e)
log 2
.
ln 2
3
log x.
2
7. Naszkicuj wykresy funkcji:
a) y = 2−x ;
b) y = log(x + 1);
c) y = log |x|;
d) y = 1 − 2x ;
e) y = |2x − 1|.
8. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji:
a) y = 2x−1 ;
b) y = 102x ;
c) y = x2 , x ≤ 0;
♦
♦
d)* y = 2x + 2−x , x ≥ 0.
♦
9. Badania pokazują, że w dużych zbiorach danych
złożonych z przypadkowych liczb, liczby
1
zaczynające się cyfrą k stanowią około log 1 + k wszystkich danych.
a) Oszacuj, jaka część danych zaczyna się cyfrą 1, jaka cyfrą 2.
b) Sprawdź, że
1
1
1
log 1 +
+ log 1 +
+ . . . + log 1 +
= 1.
1
2
9
10. Wykaż, że log 2 jest liczbą niewymierną.
11. Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n. Ile cyfr ma w
zapisie dziesiętnym liczba 21000 ?
Tydzień 3 - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
1. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych:
a) tg π3 ;
b) sin 2π
3 ;
c) cos 53 π;
d) sin 54 π;
e) cos 43 π;
f) ctg 2π
3 .
2. Naszkicuj wykres funkcji:
a) y = sin 2x;
b) y = cos(x + π/4);
c) y = 2 cos x;
d) y = | sin x| + sin x
e) y = sin x +
√
3 cos x.
3. Określ typ parzystości (parzysta, nieparzysta, ani taka ani taka) funkcji:
a) y = sin x + sin 3x;
d) y = sin x + sin2 x;
c) y = cos x + cos2 x + cos3 x;
f) y = sin(x + π/4) + cos(x + π/4).
b) y = sin x cos x
e) y = xk + cos x;
4. Korzystając z okresowości, parzystości bądź nieparzystości i wzorów redukcyjnych oblicz:
8π
a) sin 35 π b) cos 11
c) tg 10
d) sin − 74 π ; e) cos 17
f) sin 2π
4 π;
3 π;
6 π;
5 + sin 5 .
5. Wykaż tożsamości:
1
1 + cos 2x
a) 1 + tg2 x =
;
b) (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 = 2; c) cos2 x =
;
2
cos x
2
1 − cos 2x
sin 3x + sin x
3 cos x + cos 3x
d) sin2 x =
; e) sin 2x cos x =
;
f) cos3 x =
.
2
2
4
6. Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta sin 15◦ .
7. Wyraź sin 3α za pomocą sin α. Udowodnij, że sin 20◦ jest liczbą niewymierną.
8. Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych
√
a) arctg 1; b) arcsin(−1/2); c) arctg(− 3)
♦
√
d) arcsin( 2/2).
♦
♦
9. Ile różnych wartości przyjmuje wyrażenie sin 1◦ +sin 2◦ +sin 3◦ +. . .+sin k ◦ , gdy k przyjmuje
wartości 0, 1, 2,. . . ?
10. Pokaż, że jeśli t = tg(x/2), to
cos x =
1 − t2
,
1 + t2
sin x =
2t
.
1 + t2
11. Oblicz:
2π
4π
6π
8π
10π
12π
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin
.
7
7
7
7
7
7
Uogólnik wynik. Rozważ podobne zadanie dla cosinusów.
sin
12. Udowodnij, że dla dodatnich x zachodzi równość arctg x + arctg(1/x) = π2 . Jak wygląda
analogiczna równość dla ujemnych x?
13. Naszkicuj wykresy funkcji:
a) y = tg(arctg x); b) y = arctg(tg x)
c)* y = cos(arcsin x).
14. Krzywą, którą można otrzymać przesuwając odpowiednio wykres funkcji y = a sin(bx + c)
dla ustalonych parametrów a, b, c, nazywamy sinusoidą. Wykaż, że każda z poniższych
krzywych jest sinusoidą:
a) y = cos x;
d) y = sin x + cos x;
b) y = sin2 x
e) y = (sin x + cos x)2 ;
c) y = sin x cos x
f)* sin4 x + cos4 x.
15.* Jednym z pierwiastków równania 4x3 − 3x =
1
2
jest cos 20◦ . Znajdź dwa pozostałe.
Tydzień 4 - Granica ciągu
1. Oblicz granice ciągów:
n2 + 1
;
n3 + n + 1
√
f) fn = n2 + n − n
a) an = (n + 3)(2n + 1);
√
e) en = n2 + 1 − n;
3n + 4 n
;
5n
sin n
g) gn =
;
n
b) bn =
c) cn =
1 + 2 + ... + n
;
n
√
h)* hn = n 2n + 3n .
d) dn =
2. Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją.
a) an = (n2 + 1)/(n + 1);
b) bn = 1000n2 − n3 ;
c) cn = 3n − 2n ;
d) dn = 3n − (−2)n .
3. Jeżeli dla dodatnich funkcji f , g
f (n)
= a,
n→∞ g(n)
lim
gdzie 0 < a < ∞, to mówimy, że f , g są tego samego rzędu; jeżeli a = 1 — mówimy, że są
asymptotycznie równe.
2
a) Pokaż, że 1 + 2 +
. . . + n jest rzędu n .
n
b) Dla jakiego a k jest asymptotycznie równe ank ?
4. Jaką częścią sumy liczb naturalnych z przedziału [1, 2n] jest suma liczb nieparzystych z
tegoż przedziału? Znajdź granicę tego ilorazu.
5. Oblicz granice ciągów:
n
2n
n
an = 1 + n1
; b) bn = n+1
;
c) cn =
2n+1 n
;
2n
d) dn = 1 −
2
1 n
.
n
6. Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia sa nieoznaczone: a) 0 · ∞; b) ∞/∞; c) 1∞ .
7. Naszkicuj wykres funkcji
a) f (x) = lim xn ;
n→∞
b) f (x) = lim 1 + x + x2 + . . . xn .
n→∞
Uważaj na dziedzinę!
♦
♦
♦
8. Niech Pn oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1, Ln obwód tego
wielokąta.
a) Znajdź granice obu ciągów,
b) Wywnioskuj stąd granicę ciągu an = n sin(2π/n).
9. Rozważmy ciąg a0 = 1,
an+1 =
an +
2
an
.
2
a) Wiedząc, że ciąg ten jest zbieżny, znajdź jego granicę. Oblicz kilka początkowych wyrazów
i porównaj z wynikiem dokładnym.
√
√
b) Podaj analogiczny ciąg o granicy: a) 3; b) 3 2.
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród 183 osób przynajmniej jedna obchodzi urodziny
w tym samym dniu, co Ty? Rachunki możesz wykonać w pamięci.
√
11.* Udowodnij, że lim n n = 1.
n→∞
Tydzień 5 - Granica funkcji
1. Oblicz granice funkcji:
x3 − 1
a) lim 2
;
x→1 x − 1
x2 − 1
b) lim √
;
x→1
x−1
√
c) lim
x→0
√
1+x− 1−x
;
2x
sin x
.
x→∞ x
d) lim
2. Oblicz granice funkcji:
sin 2x
sin 2x
1 − cos x
e2x − 1
ln(1 − x)
; b) lim
; c) lim
;
d)
lim
; e) lim
.
2
x
x→0
x→0 sin x
x→0
x→0 e − 1
x→1
x
x
x
3. Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie:
a) lim
a) y =
x−1
w punkcie 1;
|x − 1|
b) y =
sgn x
w punkcie zero;
x
4. Znajdź asymptoty funkcji:
x3
a) y = 2
;
x −1
x3 + 8
b) y = 2
(x − 4)2
√
c) y =
c) y =
bxcx
w punkcie zero.
x
1 + x2
.
x
5. Niech S(h) oznacza powierzchnię całkowitą stożka o ustalonej podstawie r i wysokości h.
Znajdź granicę S(h) za pomocą:
a) rozumowania geometrycznego; b) obliczeń.
6. Niech S(h) oznacza pole powierzchni tej części Ziemi, jaka widoczna jest z wysokości h.
Znajdź lim S(h), przyjmując, że Ziemia jest kulą o promieniu R.
h→∞
♦
♦
♦
7. Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > 0
p
r
a2 + r ≈ a + .
2a
√
√
√
Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a) 10 ≈ 19/6; b) 15 ≈ 31/8; c) 2 ≈ 99/70.
8. Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana
wielkość się podwaja.
a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p%.
b) Uzasadnij, że okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 70/p.
c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich 100 000 lat był wyższy od 1 promila czy
niższy?
Tydzień 6 - Ciągłość
1. Wskaz punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:


 1 , gdy x 6= 1;
 cos 1 gdy x > 0;
a) y =
b) y =
x−1
x


0 w p.p.;
0 x<0;
 2
 x −1
, gdy x 6= 1;
c) y =
x−1

2 w p.p.;
2. Korzystając z twierdzenie Bolzano o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij,
że równanie:
a) x5 + x + 1 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek;
b) sin x = x − x3 ma dodatni pierwiastek;
c) ex = 1 + x + x2 ma dodatni pierwiastek.
3. Za pomocą połowienia przedziału znajdź przybliżoną wartość:
a) jedynego pierwiastka równania: x3 + x = 3;
b) wszystkich pierwiastków x4 = x2 + x + 1.
4. Gdzie w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? Jakiej funkcji i w jakim punkcie?
1
1 n
1 n
lim n ln 1 +
= ln lim 1 +
= ln e = 1.
= lim ln 1 +
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n
♦
♦
♦
5. Czy funkcję y = sin(1/x) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej
prostej? A funkcję y = x sin(1/x)?
6. Korzystając z twierdzenia Bolzano wykaż, że każdy wielomian nieparzystego stopnia ma
przynajmniej pierwiastek.
7. Za pomocą funkcji sufit lub podłoga określ funkcję, która będzie ciągła we wszystkich
punktach z wyjątkiem punktów o współrzędnych będących:
a) liczbami całkowitymi parzystymi; b) liczbami całkowitymi nieparzystymi.
8. Zbadaj, w jakich punktach jest ciągła funkcja
x, gdy x wymierna;
a) y =
0 w p.p.
Tydzień 7 - Pojęcie pochodnej i równanie stycznej
1. Korzystając z definicji oblicz pochodne:
√
1
a) y =
; b) y = x; c) y = e−x .
x+1
2. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej i liniowości oblicz pochodne funkcji:
√
√
1
a) y = x(x − 2)2 ; b) y = 2 ; c) y = x; d) y = x x; e) y = x2 + x12 x + x1 x − x1 .
x
3. Oblicz:
√
√ 3
x+ x
0
0
a) f (1) dla funkcji y = (x + x) ; b) f (1) dla funkcji y =
.
x2
4. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji:
√
a) y = ex w punkcie (0, f (0)); b) y = ln x w punkcie e, f (e)); c) y = x + 2 x w punkcie (2, f (2)).
5. Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = 2 − x2 poprowadzonej w punkcie
(1, 1) a dodatnią półosią osi Ox. Analogicznie dla stycznej w punkcie (−1, 1).
6. Jaki związek zachodzi pomiędzy f 0 (1) a f 0 (−1) w przypadku funkcji: a) parzystej;
b) nieparzystej? Zastanów się nad analogicznym pytaniem dla pochodnych wyższego rzędu.
7. Które z poniższych zdań są prawdziwe:
A. Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna.
B. Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła.
C. Jeżeli funkcja nie jest ciągła, to nie jest różniczowalna.
D. Jeżeli funkcja nie jest różniczkowalna, to nie jest ciągła.
E. Istnieje funkcja ciągła, która nie jest różniczkowalna.
8. Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie x0 funkcji:
p
√
a) y = |x − 2|, x0 = 2: b) y = 1 − x2 , x0 = 1; c) y = arcsin x, x0 = 1.
Jaką informację o wykresie odpowiedniej funkcji możesz stąd wywnioskować?
9. Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją). W punktach
nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych.
a) y = |x + 2|; b) y = |x2 + x|
y = |x3 + x2 |;
♦
♦
d) y = x|x|.
♦
10. Pokaż, że funkcja f (x) = x sin(1/x) dla x 6= 0, f (0) = 0 nie jest różniczkowalna w punkcie
zero. Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe?
11. Wyprowadź wzór na tangens sumy. Korzystając z definicji pochodnej wyprowadź wzór
na pochodną tangensa.
12. Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz
pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością. Zakładając, ze podobny związek zachodzi także
w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość
wynosi π 2 /2.
13. Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f (a + b) = f (a)f (b) oraz
f 0 (0) = 1, to f 0 = f . W przyszłości pokażemy, że jedyną taką funkcją jest y = ex .
14. Pokaż, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie P = (a, f (a))
przecina oś Ox w punkcie o współrzędnej x-owej
a∗ = a −
f (a)
.
f 0 (a)
a) Zapisz ten wzór dla funkcji y = x3 − 2.
b) Rozważmy ciąg określony warunkami x0 = 1, xn+1 = x∗n . Oblicz kilka początkowych jego
wyrazów i odgadnij jego granicę.
Tydzień 8 - Obliczanie pochodnych
1. Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów:
√
a) y = x4 − x + 1; b) y = x x; c) y = xex ;
d) y = x2 ln x e) y = sin x cos x;
x3 + 1
ln x
sin x
1
x + sin x
f) y = 2
;
g) y =
; h) y =
; i) y =
;
j) y =
.
x +1
x
x
sin x
x + cos x
2. Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty ex oraz logarytmu naturalnego oraz wzoru
na pochodna funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: a) y = ax ; b) y = loga x, gdzie
a dodatnie różne od 1.
3. Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
2
a) y = e−x ;
e) y = sin(cos x);
b) y = sin 4x;
√
f) y = 1 + x2 ;
c) y = ln(x2 + x + 1);
d) y = (sin x + cos x)3 ;
g) y = ln sin x;
h) y = sin(2 sin(3 sin 4x)).
4. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji
1+x
w punkcie (−1, f (−1));
1 + x2
c) y = ln(x2 + 1) w punkcie (1, f (1));
a) y =
ex − 1
w punkcie (0, f (0));
ex + 1
d) y = tg2 x w punkcie (π/4, f (π/4)).
b) y =
5. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = x ln x równoległej do osi Ox.
6. Sprawdź, że (sin2 x)0 = sin 2x. Wywnioskuj stąd pochodną cos2 x.
7. Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej:
√
a) y = x; b) y = arctg x; c) y = arcsin x.
√
√
√
8. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = 1 − x2 w punkcie (( 2)/2, ( 2)/2)
dwiema metodami: a) geometrycznie; b) algebraicznie.
9. Znajdź równanie stycznej do wykresu y = tg x w punkcie (π/4, 1). Wywnioskuj z niego
równanie stycznej do wykresu y = arctg x w punkcie: a) (1, π/4); b) (−1, −π/4).
10. Oblicz cztery pierwsze pochodne w punkcie zero: a) funkcji y = sin x; b) funkcji y =
ln(1 + x). W obu przypadkach podaj ogólne wzory na n-tą pochodną w zerze.
♦
♦
♦
11. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji y =
√
2x − x2 jest równoległa do:
a) osi Ox; b) prostej y = x; c) osi Oy?
√
12. Wyprowadź wzór na pochodną y = 1 + x2 nie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji
złożonej.
13. Korzystając ze wzoru na pochodną y = xn dla wykładników naturalnych oraz wzoru na
√
pochodną funkcji odwrotnej znajdź pochodną y = n x. Wywnioskuj stąd wzór na pochodną
y = xα dla wymiernych wykładników.
14. Załóżmy, że f jest różniczkowalna. Korzystając z definicji wyprowadź wzór na pochodną
funkcji: a) y = f (x2 ); b) y = f (ex ).
Tydzień 10 - Monotoniczność, ekstrema i wypukłość
1. Uzasadnij, że funkcja y = x3 + x2 + x + 1 jest rosnąca.
2. Naszkicuj wykres wielomianu: a) y = x3 − 3x + 1; b) y = x4 − 4x2 − 4x.
3. Znajdź ekstrema podanych funkcji i określ ich rodzaj:
√
x2
;
x−2
4. Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności:
√
1 + ln x
x+2
; b) y = x 4 − x2 ; c) y =
;
a) y = 2
x −1
x
5. Naszkicuj wykres funkcji:
a) x(x + 1)3 ;
1
a) y = x + ;
x
b) y =
b) y =
x4 + x2 + 1;
x2
1
+ ;
x
c) y =
c) y =
xe−x ;
d) y = x2 ln x
x2
.
ex
d)y = x4 − 4x2 + 3.
r
d) y =
e) y =
x−1
.
x+1
6. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji:
a) y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 na przedziale [0, 3];
b) y = x2 ln x na przedziale [1, 4];
c) y = x + |x2 − 1| na przedziale [−1, 4].
7. Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f (x) = m dla funkcji:
x2 + x + 1
1
1
1
; b) y =
+
+
.
x2 − x + 1
x−1 x−2 x−3
8. Niech V (r) oznacza objętość walca o podstawie r wpisanego w kulę jednostkową.
a) Naszkicuj wykres funkcji V (r).
b) Znajdź największą wartość i zbiór jej wartości.
a) y =
9. Podaj przykład funkcji wszędzie dodatniej:
a) rosnącej i wypukłej;
b) rosnącej i wklęsłej
c) malejącej i wypukłej
d) malejącej i wklęsłej.
10. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) y = x ln x; b) y = xex .
11. Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność:
a) ex ≥ 1 + x;
b) ln(1 + x) ≤ x:
c) sin x < x dla dodatnich x.
Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji.
♦
♦
♦
12. Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: eπ czy π e ?
13. Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f 0 (x) = [ln f (x)]0 f (x). Naszkicuj
wykres funkcji y = xx .
14. Znajdź wszystkie możliwe odległości punktu paraboli y = 2 − x2 od początku układu
współrzędnych.
15.* Wykaż, że funkcja x2013 + . . . + x2 + x + 1 jest rosnąca.
Tydzień 11 - Aproksymacje, wzór Taylora i reguła de l’Hospitala
1. Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość:
√
a) 3, 9: b) ln 1, 1; c) sin 3; d) tg1.
Porównaj z wartościami dokładnymi.
2. Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że przy odpowiednich założeniach
f (x) = f (a) + f 0 (c)(x − a).
Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji:
a) f (x) = x2 , oraz a = 1, x = 2;
b) f (x) = ln x oraz a = 1, x = e.
3. Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f (x) = x3 + 2x2 + 3x + 4:
a) wokół a = 0; b) wokół a = 1.
4. Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla ex . Oszacuj błąd przyblizenia.
5. Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przyblizenie
sin x ≈ x −
x3 x5
+ .
3!
5!
Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że |x| < π/2.
6. Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz granice:
ln x
x→1 x − 1
a) lim
e) lim x ln2 x;
x→0+
arctg x
;
x→0 x
1
1
f) lim
−
;
x→0 sin x
x
b) lim
7. Naszkicuj wykres funkcji: a) y =
sin ln x
;
x→1 ln x
xn
;
x→∞ ex
c) lim
d) lim
g) lim x1/x ;
h) lim (1 + sin x)1/x .
x→∞
x→0
ln x
; b) y = x ln x.
x
♦
♦
♦
8. Korzystając z tw. Lagrange’a wykaż, że jeśli f 0 = f , to f (x) = Cex .
9. Uzasadnij, że błąd aproksymacji f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) jest równy co najwyżej
iloczynowi połowy maksimum drugiej pochodnej na przedziale [a, x] (bądź [x, a]) i kwadratu
jego długości. Podaj analogiczne oszacowanie błędu aproksymacji f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x −
a) + f 00 (a)/2)(x − a)2 .
10. Znajdź:
√
a) trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = 1 + x;
b rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln(1 + x).
11. Odgadnij asymptoty funkcji y = ln(1 + ex ) i sprawdź swoje przypuszczenia za pomocą
obliczeń. Czy wykres przecina którąkolwiek z asymptot?
Tydzień 12 - Całka oznaczona, wzór Newtona-Leibniza i techniki całkowania
1. Oblicz podaną całkę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów:
Z 1
Z 1
a)
x dx; b)
x2 dx.
0
0
Wsk.: b) zachodzi równość 12 + 22 + . . . + n2 = (n(n + 1)(2n + 1)/6.
2. Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki:
Z 1p
Z 4
Z 4
Z 2p
2
(1 + |x − 2|) dx; c)
x dx; b)
a)
1 − x dx; d)
2x − x2 dx.
0
0
0
0
3. Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz:
Z 2
Z π
Z 1
Z 1
dx
n
sin x dx; c)
x dx; b)
ex dx.
a)
; d)
1 x
0
0
−1
4. Oblicz przybliżoną wartość całki
2
Z
1
dx
,
x
dzieląc przedział na 4 równe odcinki i biorąc wartości:
a) w lewych końcach przedziału; b) w środkach przedziału.
Porównaj z wartością dokładną otrzymaną za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.
5. Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki:
Z p
Z
Z
Z
√
7
x
x
2
a) (2x + 1) dx; b) e 1 + e dx c) x 4 − x dx d) x sin x2 dx;
Z
Z −1
Z
Z √
x
dx
e x
ex dx
e)
;
f)
dx;
g)
h)
dx.
2
2x
x ln x
x
1+e
1+x
6. Korzystając z całkowania przez części znajdź całki:
Z
Z
Z
Z
2x
2
a) x sin x dx; b) xe dx; c) x ln x dx; d) arctg x dx;
Z
e)
2 x
x e dx;
Z
f)
7. Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz:
Z 2
Z √2 p
Z e
x
2
x 1 + x dx c)
ln x dx.
a)
xe dx; b)
0
1
1
♦
♦
♦
Z
π
8. Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz
sin2 x dx.
0
9. Oblicz
a) lim
n→∞
n
n
n
+ 2
+ ... + 2
2
n +1 n +4
n + n2
;
b) lim
n→∞
1
1
1
+
+ ... +
n+1 n+2
2n
10. Aproksymując pole pod wykresem y = 1/x za pomocą prostokątów wykaż, że suma
1+
1 1
1
+ + ... +
2 3
n
różni się od ln n o mniej niż 1.
Z π
11. Oblicz
sin x dx bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę
0
sin α + sin 2α + . . . + sin nα =
(n+1)α
sin nα
2 sin
2
.
sin α2
.
ex sin x dx.
Tydzień 13 - Techniki całkowania - cd.
1. Oblicz poniższe całki nieoznaczone:
Z
Z
dx
dx
dx
a)
: b)
c)
;
3
2
2x + 1
(x + 2)
x +4
Z
d)
x dx
.
(1 + x2 )3
2. Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną:
Z
Z
Z
dx
x dx
(x + 1) dx
a)
;
b)
;
c)
:
2−4
x(x
−
1)
x
x(x
+
1)(x
+
2)
Z
Z
Z
x dx
(2x + 3) dx
(2x + 1) dx
e)
;
f)
;
g)
;
2
2
2
x +1
Z x +4
Z
Z x +x+1
dx
2x dx
dx
i)
; j)
; k)
;
2
2
3
x + 2x + 2
x + 6x + 10
x + 4x
Z 3
Z 4
x +1
x +1
3. Oblicz całkę: a)
dx;
b)
dx.
2
x +1
x+1
x2 dx
;
2 + x3
1
+
x
+
x
Z
x dx
h)
;
2
Z 4x + 1
x dx
l)
.
x4 − 1
Z
d)
4. Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych:
Z
Z
Z
a) tg x dx;
b) cos2 x dx;
c) sin3 x dx;
Z
Z
Z
e) sin 3x sin x dx; f) sin x cos 5x dx; g) cos 2x cos 4x dx;
5. Pamiętając, że (tg x)0 = 1 + tg2 x oblicz
Z
Z
cos4 x dx;
Z
dx
.
sin x
d)
h)
tg2 x dx.
Z p
1 − x2 dx za pomocą podstawienia x = sin t. Korzystając
6. Znajdź całkę nieoznaczoną
z tej całki pokaż, że pole koła x2 + y 2 ≤ 1 jest równe π.
♦
7. Wyprowadź zależność
Z
n
n
♦
♦
Z
x cos x dx = x sin x − m
xn−1 sin x dx.
8. Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh x = (ex + e−x )/2, sinh x = (ex − e−x )/2.
a) Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi.
b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe?
9. Korzystając z podstawienia x = cosh t oblicz całkę
Z p
1 + x2 dx.
Tydzień 14 - Zastosowania całek oznaczonych
1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) y = 2x − x2 , x + y = 0;
b) y = x2 − 1, y = 1 − x2 ;
d) x = 0, y = arcsin x, y = π/2;
e) y = x2 , x = y 2 ;
c) yx = 1, y = x, y = 0, x = 2;
√
f) y = 4 − x, y = 2 x.
2. Znajdź średnią wartość funkcji na wskazanym przedziale:
a) x2 na [0, a];
b) sin x na [0, π];
c) cos x na [0, π];
d) ln x na [1, e].
3. Oblicz pole figury obszaru ograniczonego elipsą 4x2 + y 2 = 1.
4. Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin x,
0 ≤ x ≤ π wokół osi Ox.
5. Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół
osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół tej osi:
a) odcinka y = x, 0 ≤ x ≤ a; b) odcinka paraboli y = x2 , 0 ≤ x ≤ a.
Jak rozwiązać b) korzystając z wzorów na obrót wokół osi Ox?
6. Korzystając ze wzoru na długość łuku:
√
a) długość łuku y = x x, 0 ≤ x ≤ 1;
b) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (ex + e−x )/2, −1 ≤ x ≤ 1;
c) sprawdź, że obwód okręgu x2 + y 2 = 1 jest równy 2π.
Uwaga: W zadaniu c) pojawia się całka niewłaściwa (wykraczająca na niektórych kierunkach
poza program), ale nie ma to wpływu na obliczenia.
7. Wyprowadź znane wzory na objętość i pole powierzchni kuli o promieniu R.
♦
♦
♦
8. Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = 1/x, x ≥ 1
wokół osi Ox.
a) Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona.
b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby. Wyjaśnij ten paradoks.
Uwaga: W zadaniu tym operujemy tzw. całką niewłaściwą. Dość łatwo jest takiej całce nadać
ścisły sens bądź znaleźć definicję w literaturze/Internecie.
9. Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu x2 + (y − R)2 = r2 (R > r)
wokół osi Ox. Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu
przez drogę, jaka przebywa jego środek.
10. Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery x2 + y 2 + z 2 = 1 płaszczyzną z = a, gdzie
0 < a < 1. Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie
walca stycznego do tej sfery.