Chromodynamika kwantowa: grupa SU(3) Co trzyma kwarki

Chromodynamika kwantowa: grupa SU(3) Co trzyma kwarki

Chromodynamika kwantowa: grupa SU(3)
Co trzyma kwarki związane w hadronach?
Teoria z symetrią cechowania oparta na grupie SU(3) (lub SU(Nc)):
 
ur
u =  ug 
ub
każdy ui jest czteorokomponentowym bispinorem Diraka. Lokalna symetria SU(3):
q(x) → q 0(x) = U (x)q(x)
gdzie U (x) jest macierzą unitarną 3×3 o wyznaczniku 1. Jest sparametryzowana Nc2 −1 =
8 rzeczywistymi parametrami. Można ją zapisać jako
U (x) = eiλaαa(x)/2
gdzie Nc2 − 1 = 8 macierzy Gell-Mana λa spełnia relację komutacji:
[λa, λb] = 2ifabcλc a, b, c = 1, 2 . . . 8
analogicznie do
[τi, τj ] = 2iεijk λk i, j, k = 1, 2, 3.
1
gdzie fabc są stałymi struktury (antysymetryczne). Różnica: stałe dabc (symetryczne):
τiτj = δij + iεijk τk ,
2
λaλb = δab + ifabcλc + dabcλc.
3
2
Pochodna kowariantna
Analogicznie do grupy SU(2) wprowadzmy pola cechowania – gluony:
3
8
X
X
1
W µ(x) =
Wµk (x)τk → Gµ(x) =
Gaµ(x)λa
2 a=1
k=1
Transformacja pola:
W µ0
2
1
0
†
†
= U W µU + i (∂µU ) U → Gµ = U GµU + i (∂µU ) U †.
g2
g
†
Pochodna kowariantna:
g2
Dµ = ∂µ + i W µ → Dµ = ∂µ + igGµ
2
Mamy zatem
q → q 0 = U q,
Dµq → Dµ0 q 0 = U Dµq
Tensor pola
Gµν = DµGν − Dν Gµ = ∂µGν − ∂ν Gµ + ig [Gµ, Gν ]
3
Gęstość Lagrange’a
6
X£
¤
1
µν
µ
L = − Tr [Gµν G ] +
q f iγ Dµqf − mq f qf
2
f =1
4
Dlaczego grupa SU(3)?
Niezmienniki grupy SU(3):
δab,
albowiem:
εabc
†
δbcUcd = δad
U †U = 1 → Uab
oraz
εabcUaa0 Ubb0 Ucc0 = εa0b0c0 det U = εa0b0c0
Jest to analogon związku dla SU(2)
U T εU = ε → UaT0aεabUbb0 = εabUaa0 Ubb0 = εa0b0 .
Zatem singlety kolorowe to stany
h
i 

∗
∗
∗
qr 2
qr 1 , q g 1 , q b 1
†
 qg 2 
M12 = q1q2 =
mezony
qb2
1
bariony
B123 = √ εabcqa1qb2qc3
6
5
Naiwny model kwarków: kwarki w uśrednionym potencjale siedzą na poziomie podstawowym (jak elektrony w atomie wodoru) – czyli w fali s. Jak zatem możliwe jest istnienie
rezonansu ∆ który składa się z trzech kwarków u, każdy ze spinem +1/2? Funkcja falowa
∆ = u↑(x)u↑(y)u↑(z)
przestrzenna → symetryczna
spinowa → symetryczna
kolorowa → antysymetryczna
6
Dlaczego grupa SU(3)?
Policzmy stosunek:
σe+e−→hadrons
R=
σe+e−→µ+µ−
q
e−
eq
e+
q−
µ−
e−
1
e+
µ+
Dlaenergii poniżej progu na charm (E < 3 GeV) i.t.d.:
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2
1
2
1
2
R = e2d + e2u + e2s = −
+
+ −
=
3
3
3
3
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2
2
1
2
10
1
2
2
2
2
+
+ −
+
=
R = ed + eu + es + ec = −
3
3
3
3
9
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2
1
2
1
2
1
11
2
2
2
2
2
R = ed + eu + es + ec + eb = −
+
+ −
+
+ −
=
3
3
3
3
3
9
7
Poprawki:
q
−
q
eq
e−
q
e+
−
eq
q
mezon
e−
e+
Poprawki perturbacyjne – małe, nieperturbacyjne – duże, ale waskie.
8
-8
10
1
10
3
10
2
10
R
J=
(2S )
10
2
Z
!
10
0
1
-1
10
ps [GeV]
2
1
10
10
Figure 40.6: World data on the total cross section of e+ e
! hadrons and the ratio R(s) = (e+e ! hadrons; s)=(e+ e !
+
+
; s). (e e ! hadrons; s) is the experimental cross section corrected for initial state radiation and electron-positron vertex loops,
(e+ e ! + ; s) = 42 (s)=3s. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are an educative guide:
the broken one is a naive quark-parton model prediction and the solid one is 3-loop pQCD prediction (see \Quantum chromodynamics"
10Phys. B 5862(2000) 5611
section of this
, Eq. 2(9.12) or, for
(Erratum
B 634 (2002)
2 more details,
2 K. G.2Chetyrkin 2 , Nucl.
R
=
e
+
e
+
e
=
+
e
=
413). Breit-Wigner parameterizations
shown.ebThe=
full list of references to the original
d
uof J= , (2sS ), and (nS ); n = 1c; 2; 3; 4 are also +
9
9 computer-readable data
data and the details of the R ratio extraction from them3can be found in hep-ph/0312114
. Corresponding
les are available at http://pdg.ihep.su/xsect/contents.html. (Courtesy of the COMPAS(Protvino) and HEPDATA(Durham) Groups,
August 2005. Corrections by P. Janot (CERN) and M. Schmitt (Northwestern U.))
Review
et al.
9
ibid.
-8
10
1
10
3
10
2
10
R
J=
(2S )
10
2
Z
!
10
0
1
-1
10
ps [GeV]
2
1
10
10
Figure 40.6: World data on the total cross section of e+ e
! hadrons and the ratio R(s) = (e+e ! hadrons; s)=(e+ e !
+
+
; s). (e e ! hadrons; s) is the experimental cross section corrected for initial state radiation and electron-positron vertex loops,
(e+ e ! + ; s) = 42 (s)=3s. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are an educative guide:
the broken one is a naive
model prediction
(see \Quantum chromodynamics"
¡, Eq.quark-parton
¢ and the solid one is 3-loop pQCD
11 B 634 (2002)
10Bprediction
section of this
586 (2000)
2(9.12) or, for
2 more details,
2 K. G. Chetyrkin 2, Nucl. Phys.
256 (Erratum
R
=
3
e
+
e
+
e
+
3e
=
=
2
+
3e
=
413). Breit-Wigner parameterizations
d
uof J= , (2sS ), and (nS ); n = 1; 2; c3; 4 are also shown. The fullb list of references to the original
3 . Corresponding computer-readable
3
data and the details of the R ratio extraction from them can be found in hep-ph/0312114
data
les are available at http://pdg.ihep.su/xsect/contents.html. (Courtesy of the COMPAS(Protvino) and HEPDATA(Durham) Groups,
koloru
Nc =by 3P. Janot
daje
zgodnosc
z doswiadczeniem.
August 2005. Corrections
(CERN)
and M. Schmitt (Northwestern
U.))
Review
Uwzględnienie
et al.
10
ibid.
40. P lots of cross sections and related quantities
10
2
7
R in Light-Flavour, Charm, and Beauty Threshold Regions
u, d, s
φ
ω
3 loop pQCD
Naive quark model
10
ρ
ρ0
1
Sum of exclusive
measurements
Inclusive
measurements
-1
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
7
ψ(2S)
J/ψ
5
4
c
ψ 4160
Mark-I
Mark-I + LGW
Mark-II
PLUTO
DASP
Crystal Ball
BES
6
ψ 3770
ψ 4415
ψ 4040
3
2
3
3.5
4
4.5
8
Υ(1S)
7
b
Υ(3S)
Υ(2S)
5
Υ(4S)
6
5
4
3
MD-1
2
9.5
ARGUS
CLEO
CUSB
DHHM
Crystal Ball
CLEO II
DASP
LENA
10
10.5
11
s
√
11
[GeV]
Figure 40.7: R in the light-flavour, charm, and beauty threshold regions. Data errors are total below 2 GeV and statistical
above 2 GeV. The curves are the same as in Fig. 40.6. Note: CLEO data above Υ(4S) were not fully corrected for radiative
effects, and we retain them on the plot only for illustrative purposes with a normalization factor of 0.8 . The full list of
references to the original data and the details of the R ratio extraction from them can be found in [arXiv:hep-ph/0312114].
The computer-readable data are available at http://pdg.ihep.su/xsect/contents.html (Courtesy of the COMPAS(Protvino)
12
Renormalizacja
Najpierw trzeba dokonać regularyzacji.
• Obcięcie czterowymiarowe (Λ → ∞)
Z∞
ZΛ
dk
dk
2
2
g
= gΛ2 ln Λ + skończone
→ gΛ
k
| {z k}
skończone
• Regularyzacja wymiarowa (ε → 0)
Z∞
Z∞
¯
dk
2
2
−ε dk
21
−ε ¯∞
21
g
→ gε k
= gε k skończone → −gε × skończone
k
k
ε
ε
| {z }
skończone
Renormalizacja polega na wepchnięciu nieskończoności do
• stałej sprzężenia,
• mas cząstek,
• funkcji falowych.
13
Poprawki do wierzchołka fermion-gluon:
q
14
q
q
q
q
q
q
Mamy (Q2 = −q 2):
µ
µ
¶
¶
2
Q
suma = gΛ 1 − gΛ2 a ln 2 + . . . + . . .
Λ
Renormalizacja polega na wciągnięciu nieskończoności do gΛ:
2
Λ
gΛ = g − ag 3 ln 2 + . . .
Q0
Tu g jest liczbą
!
µ
¶Ã
µ
¶2 µ
¶
2
2
2
Λ
Λ
Q
suma = g − ag 3 ln 2 + . . .
1 − g − ag 3 ln 2 + . . .
a ln 2 + b + . . .
Q0
Q0
Λ
Q2
Λ2
3
= g − ag ln 2 − g a ln 2 + . . .
Q0
Λ
Q2
3
= g − ag ln 2 + . . . = g(Q2).
Q0
Lepiej zapisać to dla stałej g 2:
3
Q2
g2
g (Q ) = g − 2ag ln 2 + . . . =
Q2
Q0
1 + 2ag 2 ln Q
2
2
2
2
4
0
15
Co to jest g 2?
g 2 = g 2(Q20)
Spróbujemy nieznaną wartość g w arbitralnym (acz ustalonym) punkcie Q20 zastąpić przez
jedną stałą. Najpierw przepiszmy
µ
¶
2
1
1
Q
1
Q2
2
2
=
1 + 2ag (Q0) ln 2 = 2 2 + 2a ln 2
g 2(Q2) g 2(Q20)
Q0
g (Q0)
Q0
co daje
co daje
1
1
2
2 ozn.
2
−
2a
ln
Q
=
−
2a
ln
Q
=
−2a
ln
Λ
0
QCD
2
g 2(Q2)
g 2(Q0)
Q2
1
1
2
2
= 2a ln 2
→ g (Q ) =
Q2
g 2(Q2)
ΛQCD
2a ln Λ2
QCD
Jest to wzór asymptotyczny. Jego sensowność zależy od znaku a. Jeżeli a jest ujemne to
wzór
g2
2
2
g (Q ) =
Q2
1 + 2ag 2 ln Q
2
0
16
ma osobliwość (biegun Landaua w elektrodynamice), jeżeli a jest dodatnie, g 2(Q2) znika
dla dużych Q2 (asymptotyczna swoboda). Używając (standardowa notacja):
α(Q2) =
4π
β0 ln Λ2Q
2
,
β0 =
11
2
CA − nf
3
3
QCD
gdzie
nf → liczba kwarhów w diagramie pętlowym
CA → operator Casimira dla grupy SU(Nc)
17
q
∼ CF −
CA
2
q
∼ − nf
2
∼ CF =
q
∼
q
CA
2
=
Nc − 1
∼ CF
2Nc
q
Nc
2
q
18
∼ CA = Nc
Czynniki kolorowe
a
d
γ
β
α
a
b
c
Σ
a,γ
a
Σ
a
Tβγ Tγα = CF δβα
c,d
d
Tγα = −1 λγα
a
a
d
Tca = − ifdca
2
d
a
γ
d
Tbc Tca = CA δba
α
c
19
a
gdzie:
Nc2 − 1
CF =
, CA = Nc
2Nc
dla SU(Nc =2) Cs = s(s + 1), reprezentacja fundamentalna s = 1/2, reprezentacja
dołączona (adjoint) s = 1.
20
325 2
5033
nf +
n ;
(9.4d)
9.2. The QCD coupling and
renormalization
scheme
9
27 f
2 /4π is
Uniwersalność:
to samo
wychodzi
dla rachunku
z wierzchołkiem
gluonowym.
The
renormalization
scale
dependence
of the
effective
QCD
coupling
αsThe
= gexpression
s
where
n
is
the
number
of
quarks
with
mass
less
than
the
energy
scale
µ.
f renormalizacji:
Grupa
controlled
by the
for the next
termβ-function:
in this series (β3 ) can be found in Ref. 5. In solving this differential
equation for αs , a constant of integration is introduced. This constant is the one
β2
∂αs
β0 2
β1 3
4 experiment. The most
fundamental µconstant
of QCD
that
must
be
determined
from
α
−
α
(9.4a)
= 2β(α
)
=
−
α
−
s
s
s − ··· ,
s
2
3
∂µ
2π
sensible choice for this constant is the value 4π
of αs at a 64π
fixed-reference scale µ0 . It has
2µ = M . The value at other values of µ can be obtained from
become standardβto=choose
11
−
(9.4b)
n0 f , Z
0
R
dα
3
α (µ)
log(µ2 /µ20 ) = α s(µ )
. It is also convenient to introduce the dimensional parameter
s 0 β(α) 19
β1 = 51 − nf ,
(9.4c)
Λ, since this provides
a parameterization
of the µ dependence of αs . The definition of Λ
3
325 here)
5033
is arbitrary. One way to define
it (adopted
is to write a solution of Eq. (9.4) as an
nf2 +
n2f ;
(9.4d)
β2 = 2857 −
expansion in inverse powers of 9ln (µ ): 27
β2 = 2857 −
¤
· mass less £than 2the 2energy
where nf is the number of quarks
with
scale4βµ.
2 The expression
2β1 ln ln (µ /Λ )
4π
1
+
1
−
= this series
for the next αterm
(β
)
can
be
found
in
Ref.
5.
In
solving
this2 differential
s (µ) in
3
2
2
2
2
2
2
4
2
β0 ln (µ /Λ )
ln (µ /Λ )
β0
β0constant
ln (µ /Λis) the one
equation for αs , a constant
of
integration
is
introduced.
This
¶¸
µ³ h
i 1 ´2 β β
5 experiment. The most
fundamental constant of QCD that 2must
be determined
2 0 from
.
(9.5)
+
−
× ln ln (µ /Λ2 ) −
2 αs at8β
4
sensible choice for this constant is the value of
a 12fixed-reference
scale µ0 . It has
become standard to choose µ0 = MZ . The value at other values of µ can be obtained from
Rillustrates
αs (µ) dα the asymptotic freedom property: αs → 0 as µ → ∞ and shows
This
solution
2
2
log(µ /µ0 ) = α (µ )
. It is also convenient to introduce the dimensional parameter
s 0 strongly
β(α) coupled at µ ∼ Λ.
that QCD becomes
Λ, since this provides a parameterization of 21
the µ dependence of αs . The definition of Λ
is arbitrary. One way to define it (adopted here) is to write a solution of Eq. (9.4) as an
expansion in inverse powers of ln (µ2 ):
Average
Hadronic Jets
+ -
e e rates
Photo-production
Fragmentation
Z width
ep event shapes
Polarized DIS
Deep Inelastic Scattering (DIS)
τ decays
Spectroscopy (Lattice)
Υ decay
0.1
0.12
αs(MZ)
22
0.14
αs(µ)
0.3
0.2
0.1
0
1
10
µ GeV
23
10
2