Metody Probabilistyczne

Metody Probabilistyczne
zestaw do ćwiczeń
Katarzyna Lubnauer
1
Model klasyczny prawdopodobieństwa
1.Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać
przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że
otrzymamy wyraz MATEMATYKA.
2.2 chłopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg . Opisać przestrzeń zdarzeń
elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że
a)chłopcy stoją obok siebie
b)chłopcy i dziewczynki stoją na zmianę.
3.Cyfry 0,1,2,...,9 ustawiono losowo. Opisać przestrzeń zdarzeń
elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że
a)między 0 i 9 stoją dokładnie 4 cyfry
b)1,2,3,4 będą stały obok siebie.
4.Przy okrągłym stole usiadło dziesięć kobiet i dziesięciu mężczyzn. Opisać
przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby
tej samej płci nie siedzą koło siebie.
5.Z grupy 25 osób w której jest 10 kobiet i 15 mężczyzn wybrano
a)3 osoby na stanowisko starszego specjalisty.
b)3 osoby do zarządu firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i
wiceprezesa ds. produkcji)
Dla każdego z przypadków opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i
obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych są dokładnie 2 kobiety
6.W pudełku jest 6 śrubek dobrych i 2 złe. Opisać przestrzeń zdarzeń
elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wybranych śrubek
są 3 dobre i 1 zła.
7.Ze schroniska na szczyt prowadzą 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski.
Odbywam wycieczkę na szczyt i z powrotem wybierając szlaki losowo. Jakie
jest prawdopodobieństwo iż będę wchodzić i schodzić tym samym szlakiem?
8.Rzucam 2 razy kostką symetryczną. Opisz przestrzeń zdarzeń
elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo
a)wyrzucenia dwukrotnie tego samego?
b)wyrzucenia w sumie 10 oczek?
9.Autobus zatrzymuje się na 10 przystankach. W autobusie jest 8 pasażerów,
z których każdy musi wysiąść na jednym z przystanków. Opisz przestrzeń
zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo iż każdy spośród 8
pasażerów wysiądzie na innym przystanku. Jakie jest prawdopodobieństwo
iż wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku.
10.Na ile sposobów możemy podzielić 15 delicji szampańskich między 4
osoby, tak aby każda dostała
a)przynajmniej jedno ciasteczko?
b)przynajmniej 2 ciasteczka?
Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.
11.Do windy zatrzymującej się na 4 piętrach wsiadło 20 osób. Oblicz
prawdopodobieństwo iż na każdym z pięter wysiądzie dokładnie 5 osób.
Oblicz prawdopodobieństwo iż przynajmniej na jednym piętrze nikt nie
wysiądzie. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.
12.Z liczb 1-1001 wylosowano 2. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Oblicz prawdopodobieństwo iż ich suma jest podzielna przez 3.
2
13.Z tali brydżowej zawierającej 52 karty losuje 4. Policz
prawdopodobieństwo, że są wśród nich przynajmniej 2 damy.
14.Używając różnych cyfr ze zbioru Z = { 3,4,5,7,9} utworzono liczbę
trzycyfrową. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz
prawdopodobieństwo, że:
a)Jedną z cyfr jest 7
b)Jest to liczba parzysta.
3
Własności prawdopodobieństwa
1. Niech A,B,C będą zdarzeniami. Niech ponadto:
P ( A) = 0,5; P ( B ) = 0,2; P( C ) = 0,4; P( A ∩ C ) = 0,2; P( B ∩ C ) = 0,1; P( A ∩ B ) = 0,1; A ∩ B ∩ C = ∅
Policz prawdopodobieństwo:
a)zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń
b)zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A,B,C
c)zachodzą przynajmniej dwa ze zdarzeń A,B,C
d)nie zachodzi żadne z tych zdarzeń.
2.Udowodnij, że P ( A ∩ B ) ≥ P( A) + P( B ) − 1 .
1
1
3.Dane są P( A ∪ B ) = i P ( A ∩ B ) = , P( A \ B ) = P ( B \ A) . Oblicz P ( A) , P( A \ B ) .
2
4
1
3
4.Dane są P( A) = , P ( B ) = , A ∩ B = ∅ . Uporządkować rosnąco
4
4
P ( A ∪ B ) , P ( A ∪ B ′ ) , P ( A′ ∪ B ) .
5.Mając dane zdarzenia niezależne A i B o prawdopodobieństwach:
P ( A) = 0,4 oraz P( B ) = 0,6 , znajdź:
a) P ( A / B )
b) P( A ∪ B )
c) P ( A′ ∪ B ) .
6.Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezależne samo od siebie.
7. P ( A) = P ( B ) = 1 . Wykaż, że P( A ∩ B ) = 1 .
8.W szafce jest 10 par kaloszy w10 różnych kolorach i tym samym rozmiarze.
Człowiek nie rozróżniający kolorów dzieli je na pary: lewy z prawym. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa?
9.Na zabawie jest n par małżeńskich. W sposób losowy kobiety losują
mężczyzn do tańca. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie tańczy
ze swoją żoną?
10. Rzucam 101-krotnie monetą symetryczną. Policz prawdopodobieństwo
wyrzucenia parzystej liczby orłów.
11.Kot i mysz wędrują po kracie n na n (rys 1) , Startują z przeciwległych
rogów i zmierzają do rogów przeciwległych. Poruszają się w tym samym
tempie i zawsze do przodu. Jeśli spotkają się wygrywa kot, jeśli nie wygrywa
mysz. Jakie jest prawdopodobieństwo zwycięstwa dla każdego z nich?
4
Rys 1
5
Prawdopodobieństwo geometryczne
1.Z odcinka [ − 2,3] losujemy liczbę policz prawdopodobieństwo, iż:
a) wylosowana liczba będzie dodatnia
b) kwadrat wylosowanej liczby będzie mniejszy od 1
c) kwadrat wylosowanej liczby będzie większy od 2
d) będzie to liczba wymierna
2.Z odcinka [ − 1,2] losujemy 2 liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że:
a) ich suma jest dodatnia,
b) ich maksimum jest mniejsze od 1,
c) jedna z nich jest 2 razy większa od drugiej,
d) jedna jest wymierna,
e) obie są niewymierne.
3.Z odcinka [ 0,5] losujemy 3 liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że:
a) ich minimum jest większe od 2,
b) ich maksimum jest większe od 3,
c) jedna z nich jest liczbą naturalną.
4.Paradoks Bertranda. W kole o promieniu R poprowadzono w sposób losowy
cięciwę. Wyznacz prawdopodobieństwo że długość jej nie przekracza boku
trójkąta równobocznego wpisanego w to koło.
a) Cięciwę losujemy ustalając 1 punkt na obwodzie koła i losując drugi
punkt
b) Cięciwę losujemy poprzez wylosowanie z koła punktu będącego
środkiem cięciwy
c) Wymyśl inny sposób losowania cięciwy
Porównaj otrzymane wyniki.
5.Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dzielą go na trzy odcinki.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z tych 3 odcinków zbudować
trójkąt?
6.Na stół o kształcie koła i promieniu 60 cm rzucono monetę o promieniu 1 cm,
która upadła na stół. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie dotknęła
brzegu stołu?
7.Zadanie Bufona o igle. Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o
szerokości a ( l ≤ a ) . Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski?
6
Prawdopodobieństwo – inne modele, prawdopodobieństwo
warunkowe, badanie niezależności zdarzeń ,prawdopodobieństwo
całkowite i wzór Bayesa.
1.Rzucam 3 razy monetą dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki
jest 2 razy większe niż orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz
prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 orłów.
2.Rzucam sześcienną kostką, która ma 1 ściankę z 1 oczkiem, 2 ścianki z 2
oczkami i 3 ścianki z 3 oczkami. Rzucam tyle razy ile oczek wypadło w
pierwszym rzucie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 4
oczek?
3.Rzucam kostką a następnie monetą tylokrotnie ile wypadło oczek na kostce.
Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Znajdź prawdopodobieństwo
wyrzucenia
a)dokładnie 5 orłów.
b)przynajmniej 1 reszki
4.Do urny wkładam 5 kul zielonych, 4 niebieskie, oraz 2 białe. Z urny losuje
kolejno 3 kule. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz
prawdopodobieństwo wylosowania kul we wszystkich kolorach.
5.Rzucam kostką do gry do momentu wyrzucenia 6-stki. Opisz przestrzeń
zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo:
c)rzucaliśmy parzystą ilość razy
d)rzucaliśmy mniej niż 5 razy.
6.Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia 2 razy pod rząd tej samej strony
monety. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo
iż rzucaliśmy nieparzystą ilość razy.
7.Dwóch graczy A i B rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który
pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz
prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich.
8.Trzech graczy A ,B i C rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który
pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz
prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich.
9.Rzucam 2 razy kostką do gry. Niech A zdarzenie polegające na wyrzuceniu
szóstki w pierwszym rzucie, niech B zdarzenie polegające na wyrzuceniu 1
lub 2 w drugim rzucie, zaś C zdarzenie polegające na wyrzuceniu w sumie 7
oczek. Zbadaj niezależność:
a)Zdarzeń A i B
b)Zdarzeń A i C
c)Zdarzeń A,B,C razem.
10.Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej
kostce nie wypadła 6, jeśli na każdej kostce jest inny wynik.
11.Mamy trzy krążki. Jeden z dwóch stron jest biały, drugi ma obie strony
czarne a trzeci jedną czarną a drugą białą. Rzucaliśmy losowo wybranym
krążkiem i na wierzchu wypadła biała strona. Policz prawdopodobieństwo,
że po drugiej stronie jest kolor czarny.
12.Wybrano losowo rodzinę z dwójką dzieci i okazało się, że jedno z nich ma
na drugie imię Piotrek ( co nie znaczy że drugie nie ma na imię Piotrek). Jaka
jest szansa, że drugie dziecko też jest chłopcem.
7
13.Jaka jest szansa, że każdy z graczy S,E,W ma co najmniej 1 asa, jeśli
wiadomo, że gracz N nie dostał żadnego.
14.W urnie znajduje się 3 kule białe i 7 czarnych. Losuje z urny 10 razy ze
zwrotem. Policz prawdopodobieństwo tego, że:
e)Wylosuje 10 kul czarnych
f)Wylosuje 4 kule czarne
g)Wylosuje co najmniej 2 kule czarne.
1
15.Myśliwy trafia do dzika z prawdopodobieństwem p = . Ile razy powinien
5
strzelić aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,5 trafił dzika
przynajmniej raz.
16.Rzucono 10 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
w ostatnim rzucie wypadnie 3, jeśli wiadomo, że
h)otrzymano 4 trójki,
i)w pierwszych 9 rzutach wypadły same trójki?
17.Zadanie Banacha o zapałkach. Pewien matematyk nosi w kieszeniach
(lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa,
sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, że gdy po raz pierwszy
wyciągnie puste pudełko to w drugim będzie k zapałek?( k=1,2,3,...,m gdzie m
jest liczbą zapałek w pełnym pudełku. Zakładamy, że początkowo matematyk
ma 2 pełne pudełka.)
18.Rzucam kostką a następnie monetą tyle razy ile wypadło oczek na kostce.
Policz prawdopodobieństwo:
j)wyrzucenia 3 orłów,
k)wyrzucenia 6 oczek jeśli wypadły 3 orły,
l)wyrzucenia 6 oczek jeśli nie wypadł ani jeden orzeł
19.Z jednej urny zawierającej 4 białe, 3 zielone i 3 niebieskie kule do drugiej
zawierającej 8 białych kul przekładamy dwie losowo wybrane kule.
Następnie z drugiej urny losujemy 1 kule. Policz prawdopodobieństwo iż:
m)jest to kula biała,
n)przełożyliśmy dwie kule białe jeśli wylosowana kula okazała się
biała.
20.W urnie znajduje się a losów wygrywających, b losów przegrywających i c
losów „losuj dalej”. Po losowaniu los wrzucamy z powrotem do urny.
Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite policz
prawdopodobieństwo wygranej dla a=100 i b=200.
21.Dwaj gracze A i B rzucają na zmianę kostką symetryczną. Wygrywa ten z
nich który pierwszy wyrzuci 6. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo
całkowite policz prawdopodobieństwo wygranej dla każdego z graczy.
22.Fabryka A produkuje 500 000 samochodów rocznie, fabryka B produkuje
200 000 samochodów a pozostałe 1 300 000 samochodów pochodzi z
importu . 10% samochodów z fabryki A jest niebieskich, 20% z fabryki B ma
kolor niebieski i tylko 5% pochodzących z importu to samochody niebieskie.
Policz prawdopodobieństwo iż:
o)losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski
p)losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A
jeśli okazał się niebieski.
8
Zmienna losowa dyskretna
1.Rzucamy dwa razy kostką do gry, niech zmienna losowa X to suma oczek w
obu rzutach. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące
prawdopodobieństwa:
a) P( 0 ≤ X ≤ 10 )
b) P ( X > 5)
c) P( X ∈ ( 5,8] / X ≤ 7 )
2.Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X ilość
pól pod jego biciem. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące
prawdopodobieństwa:
a) P ( X ≥ 3)
b) P ( X < a ) , a ∈ R
1
. Niech
4
zmienna X ilość strzałów poprzedzających trafienie. Znajdź rozkład zmiennej
X.
4.W urnie znajduje się 10 kulek zielonych i 5 białych. Z urny losujemy 4 kule.
Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład
zmiennej X. Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję.
5.Znajdź rozkład zmiennej Y = 3 X − 4 dla zmiennej X z poprzedniego zadania.
6.Znajdź rozkład zmiennej Y = X 2 dla X z zadania 2. Znajdź wartość
oczekiwaną i wariancję zmiennej Y.
3.Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieństwem p =
k
 1
7.Niech P (k ) = c  , dla k = 0,1,2,... , dla jakiego c jest to rozkład pewnej
 3
zmiennej.
8. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję w podstawowych rozkładach
dyskretnych
a)0-1(zero-jedynkowym) z parametrem p ( P (1) = p, P (0) = 1 − p )
 n  k n− k
b)Bernouliego ( P (k ) =   p q , gdzie k = 0,1,2,..., n i p + q = 1
 k
k
c)Geometrycznym P (k ) = q p, gdzie k = 0,1,2,... i p + q = 1
λ k −λ
d)Poissona P ( k ) =
e , k = 0,1,2,...
k!
9.Gracz rzuca jeden raz symetryczną kostką i wygrywa 6 złoty jeśli wypadnie
6 oraz przegrywa s złotych jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest
sprawiedliwa.
10.Dwaj gracze grają w następującą grę:
Pierwszy losuje z urny zawierającej 5 kul białych i 5 czarnych do momentu
wylosowania kuli białej i zdobywa tyle punktów ile razy losował
Drugi rzuca monetą do momentu wyrzucenia orła, ale niezależnie od wyniku
kończy po maksymalnie 6 rzutach. Zdobywa on tyle punktów ile wykonał
rzutów monetą.
Wygrywa ten z graczy, który zdobędzie więcej punktów. Którym graczem
chcesz zostać?
9
11.Rzucamy kostką do momentu wyrzucenia 1 po raz drugi. Znajdź wartość
oczekiwaną ilości wykonanych rzutów kostką.
12.Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła po raz trzeci. Znajdź
wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów.
13.W urnie jest n kul spośród, których jedna jest biała. Losujemy z urny po 1
kuli do momentu wylosowania kuli białej. Niech X ilość losowań. Znajdź
rozkład X jeśli:
a)losujemy ze zwrotem,
b)losujemy bez zwracania.
10
Zmienna losowa ciągła
1.Z odcinka [ − 3,5] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie:
a) wybraną liczbą,
b) odległością wybranej liczby od 5,
c) odległością wybranej liczby od 0,
d) kwadratem wybranej liczby,
e) całością z wybranej liczby.
W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz
gęstość rozkładu( o ile istnieje).
2.Dwie osoby mają się spotkać między godziną 18 a 19 w pubie. Osoba która
przyjdzie pierwsza czeka na drugą, ale nie dłużej niż 15 minut. Zmienna
losowa X to czas oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza. Znajdź
dystrybuantę tego rozkładu. Zbadaj czy istnieje gęstość.
3.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
1
 2 dla − 2 ≤ x ≤ − 1

f ( x ) =  ax 2 dla 0 < x < 1
 0 dla pozostaych x


gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.
4.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
 λ e − λ x dla x > 0
f ( x) = 
dla x ≤ 0
0
gdzie pewna λ nieznana stała.(Rozkład mający powyższą gęstość to rozkład
wykładniczy). Znajdź λ wiedząc, że P{ϖ ∈ Ω : X ( w) < 2} = 2 P{ϖ ∈ Ω : X ( w) > 4} .
Policz dystrybuantę tej zmiennej.
5.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
 2e − ax dla x > 0
f ( x) = 
dla x ≤ 0
0
gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.
6.Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję (o ile istnieją) w podstawowych
rozkładach ciągłych:
a) jednostajnym nad odcinkiem [ a, b]
b) Couchiego
c) Gaussa
d) wykładniczego
7.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [ − 2,2] . Znajdź wartość
oczekiwaną i wariancję rozkładu Y = 2 X + 3 . Skorzystaj z własności wartości
oczekiwanej i wariancji.
8.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [ − 2,2] . Znajdź wartość
oczekiwaną rozkładu Y = X 2 . Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej.
9.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [ 0,2] . Znajdź rozkład
zmiennej Y = 2 X + 3 .
11
10.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [ − 2,2] . Znajdź rozkład
zmiennej Y = X .
11.Niech X ma rozkład
zmiennej Y = − X .
12.Niech X ma rozkład
zmiennej Y = X 2 .
13.Niech X ma rozkład
zmiennej Y = X .
14.Niech X ma rozkład
zmiennej Y = − 2 X + 3 .
jednostajny nad odcinkiem [ − 1,2] . Znajdź rozkład
jednostajny nad odcinkiem [ − 1,2] . Znajdź rozkład
wykładniczy z parametrem λ = 1 . Znajdź rozkład
wykładniczy z parametrem λ = 1 . Znajdź rozkład
1
.
X
16.Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y = 2 X .
17.Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami σ i m . Znajdź rozkład
X− m
zmiennej Y =
.
σ
18.Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami σ = 1 i m = 2 . Korzystając z
tablic matematycznych znajdź prawdopodobieństwo P{ 0 < X < 2} .
15.Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y =
12
Rozkłady dwuwymiarowe, niezależność zmiennych
1.Wektor losowy ( X , Y ) . Niech rozkład wektora losowego ( X , Y ) wyraża się
macierzą P gdzie Pi , j oznacza prawdopodobieństwo przyjęcia przez wektor X
1 1 
 4 3 0
 .
wartości ( xi , y j ) , gdzie y1 = 0, y 2 = 1, y 3 = 2 zaś x1 = 0, x j = 1 , P = 
 0 1 1

4 6 
Znajdź dystrybuantę wektora losowego, zbadaj niezależność zmiennych X,Y.
2.Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a
Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź
rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.
3.Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a
Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź
rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.
4.Rzucamy 2 razy kostką do gry. Niech X minimum wyników z obu rzutów, a
Y maksimum wyników z obu rzutów. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź
rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y.
 c x 2 y + y , dla x ∈ [ 0,1] i y ∈ [ 0,2]
5.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X ,Y ( x, y ) = 
dla pozostaych x, y
0
była gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe.
Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.
 ce − ( x + y ) , dla x > 0 i y > 0
6.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X ,Y ( x, y ) = 
była
dla pozostaych x, y
0
gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj
niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.
1

 cy, dla 0 < x < i y ∈ [ 0,1]
y
7.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X ,Y ( x, y ) = 
była
0
dla pozostaych x, y

gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj
niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową.
8.Znajdź macierz kowariancji dla wektorów losowych z zadań 1,2,3,4,5,6.
1
 , dla ( x, y ) ∈ D
9.Niech funkcja: f X ,Y ( x, y ) =  2
gdzie
 0 dla pozostaych x, y
(
D=
{( x, y ) ∈ R
)
}
: y − x < 1 i y + x < 1 , gęstość dwuwymiarowego wektora (X,Y).
Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Policz, że E(XY)=E(X)∙E(Y).
2
13
14