VII Reytaniacka Liga Zadaniowa

VII Reytaniacka Liga Zadaniowa
IV seria (1 stycznia 2017 r. − 20 stycznia 2017 r.)
1. Udowodnij, że trzy proste przechodzące przez środki przeciwległych krawędzi czworościanu przecinają się w jednym punkcie.
2. Wykaż, że jeśli pewne cztery kolejne liczby nieparzyste są pierwiastkami wielomianu o współczynnikach całkowitych, to dla każdej
liczby nieparzystej wielomian ten przyjmuje wartość podzielną przez
3 · 27 .
3. Dane są równania dwóch środkowych trójkąta: 4x + 5y = 0,
x − 3y = 0 i wierzchołek A(2, −5). Znajdź równania boków i pozostałe
wierzchołki trójkąta.
4. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego jedna
z przyprostokątnych ma długość a. Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a dwie inne są nachylone do niej pod tym samym kątem α. Przekrój otrzymany w wyniku
przecięcia ostrosłupa płaszczyzną prostopadłą do podstawy jest kwadratem. Znajdź pole tego kwadratu.
Rozwiązania zadań, podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą należy dostarczyć do sekretariatu liceum najpóźniej
20 stycznia 2017 r. (piątek)
Uczestnikami Ligi mogą być tylko uczniowie VI LO im. T. Reytana.